Collatz-Ulam

Collatz-Ulam-Zahlen
Felix Böckelmann
Proseminar
Implementierung mathematischer Algorithmen
12.12.2013
Gliederung
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Einleitung
Beschreibung des Problems
Lösungsansätze
Programme
Weitere Überlegungen
Fazit
Einleitung
Was sind Collatz-Ulam-Zahlen?
Definition 1.0
- Beginne mit einer natürlichen Zahl n
- Ist n gerade, nimm als Nächstes n/2
- Ist n ungerade, so nimm als Nächstes 3n + 1
Bsp.: 5, 16, 8, 4, 2, 1
Collatz-Vermutung: Jede so konstruierte Zahlenfolge mündet in den
Zyklus 4, 2, 1, egal, mit welcher natürlichen Zahl n man beginnt.
Einleitung
Ursprung und Geschichte
Wurde erstmals von Lothar Collatz kurz nach 1930 verbreitet
Es wurden immer wieder Belohnungen für einen Beweis oder
ein Gegenbeispiel geboten
Obwohl die Formulierung der Vermutung sehr einfach ist, gibt
es trotz großer Anstrengung bis heute keinen Beweis
Alle positiven ganzen Zahlen bis ca. 5, 76 ∗ 1018 als Startwerte
bestätigen die Vermutung
(lt. Wikipedia am 05.12.13 gem. Quelle: Toms Oliveira e
Silva: Empirical verification of the 3x+1 and related
conjectures in Lagarias (Hrsg.): The ultimate challenge: The
3x+1 problem, 2010, S. 189-207 (englisch),
Computational verification of the 3x+1 conjecture von Toms
Oliveira e Silva, 1. Januar 2012 (englisch))
Einleitung
Zitate
Mathematics is not yet ready for such problems.“
”
Hopeless. Absolutely hopeless.“
”
- Paul Erdos
Don’t try to solve these problems!“
”
- Richard Guy
Beschreibung des Problems
Definition
Definition 2.0
Eine natürliche Zahl n ≥ 1 werde nach Collatz wie folgt verändert:
(
n/2
wenn n gerade
T (n) =
(3n + 1)/2 wenn n ungerade
wobei T eine Abbildung von N nach N definiert. Nun wird stets
zwischen zwei Möglichkeiten gewählt:
fallend: n → n/2
(1)
wachsend: n → (3n + 1)/2
(2)
Beschreibung des Problems
Iteration
Da T von N nach N führt, kann es iteriert werden, wodurch jeder
natürlichen Zahl n eine Folge C (n) zugeordnet wird.
C (1) :1, 2, 1, 2, ... (1,2-periodisch)
C (2) :2, 1, 2, 1, 2, ...
C (5) :5, 8, 4, 2, 1, 2, ...
C (6) :6, 3, 5, C (5)
C (8) :8, 4, 2, C (2)
Offensichtlich ist: Sobald die Zahl 1 auftritt, kann man aufhören
weiter zu rechnen, da ab dieser Stelle 1, 2 - Periodizität herrscht.
Lösungsansätze
Plausibilitätsbetrachtung
Anzahl gerader und ungerader Zahlen in N ist gleich gro
Vermutung: fallende (f) und wachsende (w) Schritte sind
gleich häufig
f und w nacheinander ausgeführt ergeben nun:
1/2 ∗ (3n + 1)/2 ≈ 3/4 ∗ n
Die Folge (3/4)1 , (3/4)2 , ... fällt schnell
⇒ T k (n) fällt mit wachsendem k stark ab und mündet in 1
Lösungsansätze
Plausibilitätsbetrachtung
Nun handelt es sich bei dieser Überlegung um
Wahrscheinlichkeiten, d.h. es könnte auch Folgen C(n) geben,
bei denen die w-Schritte zeitweise überwiegen:
Beispiel: 2 w-Schritte, 1 f-Schritt:
3n
3n + 1
≈
2
2
3n
9n
→≈
2
4
9n
9n
→≈
4
8
9n
>n
8
Daraus folgt, dass eine Folge mit wachsenden und fallenden
Schritten im Verhältnis 2:1 kontinuierlich wächst.
n→
Lösungsansätze
Betrachtung der Perioden
1,2 ist die einzige Periode der Länge 2
a → (3a + 1)/2 → (3a + 1)/4 = a
⇒ 3a + 1 = 4a ⇒ a = 1
Die selbe Überlegung kann man nun auch für 3er Perioden
anstellen
Die Ergebnisse haben allerdings keine Lösungen in der Menge
der natürlichen Zahlen
Mit wachsendem Aufwand kann man dies fortsetzen, jedoch
kommt man zu keinem überraschenden Ergebnis
Programme
Matlab - Funktion
w h i l e c ( i −1) ˜= 1
i f ( mod ( c ( i −1) , 2 ) == 0 )
c ( i ) = c ( i −1)/2;
else
c ( i ) = ( 3 ∗ c ( i −1) + 1 ) / 2 ;
end
i = i +1;
end
Programme
Matlab - Schleife
f o r i = 1 : 200
[ l ( i ) , c{ i }] = c o l l a t z ( i ) ;
end
[ m a x s t e p s , i x ] = max( l )
c{ i x }
Programme
Matlab - Rekursion
w h i l e n ˜= 1
n = n +1;
j = 0;
w h i l e ( mod ( n , 2 ) == 0 )
n = n /2;
j = j +1;
end
n = n ∗3ˆ j −1;
w h i l e ( mod ( n , 2 ) == 0 )
n = n /2;
end
end
Programme
Matlab - Grafik
Programme
Weitere Überlegungen
Betrachtung anderer Folgen
Gibt es andere Folge mit den selben Eigenschaften?
Die Folge 3n-1 ist der Collatz-Vermutung sehr ähnlich, mit
der Ausnahme, dass es dort zusätzlich 2 Endlosschleifen gibt
⇒ (5, 14, 7, 20, 10) und (17, 50, 25, 74, 37, 110, 55, 164, 82,
41, 122, 61, 182, 91, 272, 136, 68, 34)
Man könnte sich nun auch noch überlegen, was passiert, wenn
man die 3n+1 Folge von den natürlichen Zahlen auf die
ganzen Zahlen ausweitet
Dabei entstehen auch Endlosschleifen, und zwar die selben,
wie bei 3n-1, allerdings mit negativem Vorzeichen
Fazit
Weiterführende Betrachtung
Da die numerischen Ansätze bis 5, 76 ∗ 1018 getestet wurde,
liegt es nahe, dass die Collatz-Vermutung zutrifft
Mit größeren Zahlen n erhöht sich insgesamt die Länge der
Folgen, wobei es immer wieder einzelne Werte gibt deren
Folgenlänge deutlich erhöht ist
Zu der Verteilung der Startwerte mit deutlich langen Folgen
kann man leider nicht viel sagen, bzw. es ist kein eindeutiges
Muster erkennbar
Kann man das Problem auch auf komplexe Zahlen erweitern?
Ist 3 ∗ n + 1 ersetzbar durch y ∗ n + 1 , für y ∈ R ?
Quellen
http://www.primini.de/
http://home.mathematik.uni-freiburg.de/
didaktik/material_download/collatzproblem.pdf
http://de.wikipedia.org/wiki/Collatz-Problem
http://amosnewcombe.info/wordpress/2011/10/04/
the-collatz-hailstone-3n1-problem/
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download;
jsessionid=1F3DDC15A3E017A11509993C8D88EED3?
doi=10.1.1.48.4482&rep=rep1&type=pdf