Musterlösung 8. Aufgabenblatt

Einführung in die digitale Signalverarbeitung WS11/12
Prof. Dr. Stefan Weinzierl
Musterlösung 8. Aufgabenblatt
1.
Periodizität der diskreten Fouriertransformation (DFT)
Zeigen Sie, dass das DFT/IDFT Paar X[k] und x[n] die Signalperiodizität N
aufweist.
Zu zeigen ist: X [ k'] = X [ k + Nm] = X [ k ]
€
Beweis:
Die Analysegleichung der DFT lautet:
Es gilt also
X [ k'] =
€
2π
2π
2π
2π
− jn
k'
− jn (k +Nm )
− jn
k − jn
Nm
1 N −1
1 N −1
1 N −1
N
N
N
N
x[n]e
=
X
k
+
Nm
=
x[n]e
=
x[n]e
e
[
]
∑
∑
∑
N n =0
N n =0
N n =0
− jn
2π
Nm
Der zweite Term in der letzteren Form der Analysegleichung, e N , ist für n
und m ganze Zahlen immer gleich 1. Deshalb wird die zu prüfende Gleichung:
2π
− jn
k
1 N −1
X [ k'] = X [ k + Nm] = ∑ x[n]e N ⋅ 1 = X[k]
N n =0
€
Somit ist die Signalperiodizität gezeigt.
€
2.
Symmetrie der diskreten Fouriertransformation (DFT)
Zeigen Sie dass das Spektrum X[n] der diskreten Fouriertransformation einer
Zeitfolge x[k] bezüglich der Achse bei n = N/2 symmetrisch ist.
Zu zeigen ist:
Es gilt also zu zeigen, dass
1.
und
2.
Beweis:
Die Analysegleichung der DFT lautet:
Dadurch ergibt sich in unserem Fall:
Jetzt, dass wir die Analysegleichung in einem reellen und einem imaginären
Teil aufgespaltet haben kann es getrennt für jeden Teil (1. und 2.) untersucht
werden, ob die Symmetrie stimmt.
Beweis für 1.:
mit
Beweis für 2.:
mit
3.
Diskrete Fouriertransformation (DFT) und inverse DFT
Gegeben sei folgender Betrags- und Phasenfrequenzgang eines Signals:
3.1
Erweitern Sie das Betrags- und Phasenspektrum derart, dass sich bei der
Rücktransformation in den Zeitbereich ein reelles Signal ergibt.
3.2
Rekonstruieren Sie das Zeitsignal durch inverse Fouriertransformation.
Nach wievielen Samples wiederholt sich das Signal periodisch?
Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass
ergibt
sich:
Die Periode der Kosinus-Funktion beträgt 2π. Um die Periode der beiden
Terme herauszufinden ist es also von Interesse, wann das Argument des
Kosinus den Wert eines Vielfachen von 2π annimmt.
Die Frequenzen der Kosinus-Terme sind
und
, die Phasenterme (
bzw. -π) können vernachlässigt werden, da sie keinen Einfluss auf die Periode
des Signals haben.
Der erste Term erreicht demnach nach 8 Samples den Wert 2π, der zweite
Term erreicht ebenfalls nach 8 Samples ein Vielfaches von 2π (nämlich 3·2π =
6π). Da das kleinste gemeinsame Vielfache von 8 und 8 ebenfalls 8 ist, beträgt
die Periode des Gesamtsignals 8 Samples.
3.3
Skizzieren Sie das Zeitsignal innerhalb einer Periode und skalieren Sie die
Zeitachse unter Berücksichtigung der Annahme, dass die oben gezeigten
Frequenzstützstellen (Frequenzbins) einen Abstand von 500 Hz haben.
Unter der Annahme, dass die Frequenzstützstellen einen Abstand von Δf = 500
Hz haben, ergibt sich bei einer FFT-Länge von N = 16 als Samplerate ein Wert
von fs = N·Δf = 16·500 Hz = 8 kHz. Demnach haben die Samples einen Abstand
von 1/8000 s = 0,125 ms.
Für eine Matlab Implementation der IFFT siehe Datei:
„Uebung8_Aufgabe3.m“