5.2 Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße

LK Mathematik
Stochastik
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5.2 Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße
Definition: X sei eine Zufallsgröße mit der Wertemenge { x1; x2; ...; xk}.
Dann heißt eine Funktion F: ℝ a ℝ mit F( x ) = P( X ≤ x ) = ∑ P( X = x i ) Verteilungsfunktion.
xi ≤x
Dabei ist F(x) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X höchstens den Wert x annimmt.
Beispiel:
Zweimaliges Werfen einer Münze
Ergebnismenge: Ω = {WW, WZ, ZW, ZZ}; Zufallsgröße X ≔ Anzahl Wappen
Wahrscheinlichkeitsverteilung:
X = xi
0
1
2
P(X = xi) 0,25 0,5 0,25
Verteilungsfunktion:
 0

 0,25
F(x) = 
 0,75
 1
Veranschaulichung der Verteilungsfunktion:
F(x)
für −∞ < x < 0
für 0 ≤ x < 1
für 1 ≤ x < 2
für 2 ≤ x < ∞
1
0,9
P(X = 2)
0,8
0,7
0,6
P(X = 1)
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
P(X = 0)
1
2
3 x
Eigenschaften der Verteilungsfunktion
1. P(X > a) = 1 – P(X ≤ a) = 1 – F(a)
2. P(a < X ≤ b) = P(X ≤ b) – P(X ≤ a) = F(b) – F(a)
3. P(X = xi) = P(X ≤ xi) – P(X ≤ xi-1) = F(xi) – F(xi-1)
4. a) F ist eine nicht stetige, monoton steigende Treppenfunktion mit endlich vielen Sprungstellen x1, x2, ..., xk.
Die Sprunghöhe an der Stelle xi beträgt P(X = xi).
b) F ist rechtsseitig stetig, da
lim F( x ) = F( xi ) .
x→xi +o
c) Grenzwerte von F: lim F( x ) = 0 ,
x → −∞
lim F( x ) = 1
x →∞
Aufgabe:
Die Zufallsgröße X gibt an, wie oft beim dreimaligen Werfen einer Laplace-Münze Zahl erscheint.
a) Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X.
b) Berechne die Verteilungsfunktion von X.
c) Stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung und die Verteilungsfunktion grafisch dar.
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Lösung der Aufgabe:
Zu a) Ω = {ZZZ;ZZW;ZWZ;WZZ;ZWW;WZW;WWZ;WWW}; |Ω| = 8
X=k
0
1
2
3
P(X = k)
1
8
3
8
3
8
1
8
für
für
für
für
für
−∞ < x < 0
0 ≤ x <1
1≤ x < 2
2≤x<3
3≤x<∞
 0

 0,125
Zu b) F(x) =  0,5
 0,875

 1
F(x)
P(X = xi)
Zu c)
1
3/8
P(X = 3)
0,9
1/4
0,8
P(X = 2)
0,7
1/8
0,6
0,5
0
1
2
3
X = xi
0,4
P(X = 1)
0,3
0,2
0,1
P(X = 0)
1
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