MC Blatt 5 - Okuson @ Math

Übungsblatt 5
Analysis I, II, Prof. Dr. Reiner Lauterbach, WS 2014/2015, SS 2015
Für Matrikelnummer: CHECKING ALL VARIANTS
Abgabezeitpunkt: Mon Nov 17 10:10:00 2014
Dieses Blatt wurde erstellt: Mon Jul 6 20:14:54 2015
1 Konvergenz und Cauchyfolgen
1
In einem metrischen Raum ist jede Cauchyfolge konvergent.
Konvergente Folgen sind Cauchyfolgen.
Monotone Folgen in R sind Cauchyfolgen.
Beschränkte Folgen in R sind Cauchyfolgen.
Wahr
Falsch
Wahr
Falsch
Wahr
Falsch
Wahr
Falsch
/ / / / 2 Konvergenz und Metrik
Es sei (X, d) ein metrischer Raum, wobei X nur aus einem Punkt be- Wahr / steht. Dann ist jede Folge in X konvergent.
Falsch
Konvergiert in einem metrischen Raum (X, d) jede Folge, so ist X ein- Wahr / punktig.
Falsch
In einem metrischen Raum (X, d), wobei X mindestens zwei Punkte Wahr / enthält, gibt es nicht konvergente Folgen.
Falsch
3 Konvergenz schließlich konstanter Folgen.
1
Eine Folge {xn }n∈N heißt schließlich konstant, wenn es ein N ∈ N gibt, Wahr / so dass für je zwei n1 , n2 ∈ N, n1 , n2 > N gilt xn1 = xn2 .
Falsch
Nimmt eine Metrik d eines metrischen Raumes nur die Werte 0 und 1
an, so ist jede konvergente Folge schließlich konstant.
Eine Folge {xn }n∈N heißt schließlich konstant, wenn es ein N ∈ N gibt, Wahr / so dass für je zwei n1 , n2 ∈ N, n1 , n2 > N gilt xn1 = xn2 .
Falsch
Eine schließlich konstante Folge ist konvergent.
Eine Folge {xn }n∈N heißt schließlich konstant, wenn es ein N ∈ N gibt, Wahr / so dass für je zwei n1 , n2 ∈ N, n1 , n2 > N gilt xn1 = xn2 .
Falsch
Es gibt nicht-konvergente schließlich konstante Folgen.
Die folgenden Aufgaben sind schriftlich zu bearbeiten.
1
4 (7 Punkte) (Dedekindsche Schnitte als Fundierung der reellen Zahlen) Ein Dedekindscher
Schnitt ist ein Paar (A, B) von nichtleeren, disjunkten Teilmengen von Q, so dass gilt:
(1) A ∪ B = Q.
(2) a < b für alle a ∈ A, b ∈ B.
(3) B besitzt kein kleinstes Element, d. h. zu jedem b ∈ B gibt es b0 ∈ B mit b0 < b.
Beachten Sie, dass wir hier – im Gegensatz zu Definition 2.5.7 aus der Vorlesung – zusätzlich
verlangen, dass B kein kleinstes Element besitzt. Dadurch wird die nachfolgende Konstruktion
etwas einfacher. Beide Konzepte sind gleichwertig – wer mag, überlege sich warum!
Es sei
R = {(A, B) | (A, B) Dedekindscher Schnitt} .
und
R0 = {C ⊂ Q | C, C c 6= ∅, C besitzt kein kleinstes Element , ∀c ∈ C, ∀c0 ∈ C c : c0 < c} .
(a) Zeigen Sie, dass die Abbildung
Φ : R → R0 , (A, B) 7→ B
eine wohldefinierte Bijektion ist (insbesondere ist also Φ(A, B) ∈ R0 ).
(b) Prüfen Sie nach, dass die Definition
C ≤ D =⇒ D ⊆ C
eine vollständige Ordnung auf R0 definiert, das heißt, ≤“ ist eine Ordnungsrelation
”
und für je zwei Elemente C, D ∈ R0 gilt C ≤ D oder D ≤ C.
(c) Zeigen Sie, dass die Menge R0 durch die Definition
C ⊕ D := {c + d | c ∈ C, d ∈ D}
mit
0 = {x ∈ Q | x > 0} ,
−C = {x ∈ Q | x + c > 0 ∀c ∈ C}
zu einer abelschen Gruppe wird und
C1 ≤ C2 , D1 ≤ D2 =⇒ C1 ⊕ D1 ≤ C2 ⊕ D2
für alle C1 , C2 , D1 , D2 ∈ R0 .
5 (3 Punkte) Q und N sind gleichmächtig, also gibt es eine Bijektion f : N → Q. Wir betrachten
die rationale Folge {xn }n∈N mit
xn = f (n).
Zeigen Sie, dass diese Folge unabhängig von der Wahl von f divergent ist.
6 (3 Punkte) Zeigen Sie direkt (d. h. ohne Verwendung der Tatsache, dass Cauchyfolgen in R
konvergent sind), dass jede reellwertige Cauchyfolge beschränkt ist.
7 (3 Punkte) Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle n ∈ N0 und 1 6= q ∈ R gilt
n
X
qk =
k=0
1 − q n+1
.
1−q
8 (5 Punkte) Zeigen Sie:
1. Für alle n ∈ N und 0 ≤ k ≤ n gilt
1 n
1
≤ .
k
n k
k!
2. Für alle k ∈ N mit k ≥ 1 gilt
1
≤ 2−k+1 .
k!
3. Für alle n ∈ N gilt
2≤
1
1+
n
n
≤ 3.
Den Abgabeschluss der multiple choice Aufgaben sehen Sie oben auf dem Blatt. Die Abgabe der
schriftlichen Aufgaben ist am selben Tag entweder vor Beginn der Übungen oder fünf Minuten
vor Beginn der Vorlesung Lineare Algebra.
Ex
Ex
Ex
Ex
1,
1,
1,
1,
Qu
Qu
Qu
Qu
1,
1,
1,
1,
Var
Var
Var
Var
1:
2:
3:
4:
[’Falsch’]
[’Wahr’]
[’Falsch’]
[’Falsch’]
Ex 2, Qu 1, Var 1: [’Wahr’]
Ex 2, Qu 1, Var 2: [’Wahr’]
Ex 2, Qu 1, Var 3: [’Wahr’]
Ex 3, Qu 1, Var 1: [’Wahr’]
Ex 3, Qu 1, Var 2: [’Wahr’]
Ex 3, Qu 1, Var 3: [’Falsch’]