Unendliche GaloisErweiterungen - informatik.uni

Algebra II - Seminar-Vortrag
SS 2005
Sebastian Offermann
Datum: 30. Juni 2005
Aktualisierung: 9. März 2007
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Unendliche GaloisErweiterungen
Überblick
1 Motivation
2 Problemstellung
2.1 Hauptsatz der GaloisTheorie
2.2 Gegenbeispiel bei unendlicher GaloisErweiterung
3 Problemlösung
3.1 Idee zur Anpassung des Hauptsatzes
3.2 Eigenschaften der KrullTopologie
3.3 Angepasster Hauptsatz
4 Fazit
Anhang
Literatur
kurze Vorbemerkung
Im Folgenden wird das Zeichen T für verallgemeinerte Tupel-Darstellung verwendet. Es gilt
also:
x=
xi = (xi )i∈I ⇐⇒ x ∈
Mi , xi ∈ Mi , πi (x) = xi
×
T
i∈I
i∈I
Das Zeichen
Q ist zwar bisher nicht weit verbreitet, garantiert aber eine höhere Eindeutigkeit
gegenüber , welches für eine Vielzahl von Zusammenhängen verwendet wird (wie z.B. dem
kartesischen Produkt und dem elementweisen Mengenprodukt).
1
1
Motivation
Wir wollen die sogenannte absolute GaloisGruppe eines Körpers K betrachten, d.h. die GaloisGruppe Gal(K|K), wobei K der seperable Abschluss von K ist. Diese Erweiterung (K|K)
ist im Allgemeinen von unendlichem Grad. Sie hat aber den Vorzug, dass für alle galoisschen,
endlichen KörperErweiterungen L|K gilt, dass L bis auf Isomorphie im Abschluss K enthalten
ist.
2
Problemstellung
Der Hauptsatz gilt in seiner üblichen Form nur für endliche Gruppen und kann im unendlichen
Fall nicht verwendet werden.
Zur besseren Übersicht definieren wir die Menge der ZwischenKörper E, so dass E|K eine
endliche Erweiterung ist:
E(L, K) := {E
2.1
| K ⊆ E ⊆ L, E|K endliche Erweiterung}
Hauptsatz der GaloisTheorie
Satz. Sei L|K eine endliche GaloisErweiterung mit GaloisGruppe G = Gal(L|K). Dann gilt
(i) Ist E|K eine ZwischenErweiterung, so ist L|E galoissch.
(ii) Die Abbildungen ξ und ζ
ξ : {H ⊆ G
|
H Gruppe} → E(L, K)
H 7→ LH = {a ∈ L
ζ : E(L, K) → {H ⊆ G
|
|
∀ϕ ∈ H : ϕ(a) = a}
H Gruppe}
E 7→ Gal(L|E)
sind bijektiv und invers zueinander.
ξ bildet also jede Untergruppe H von G auf den entsprechenden Fixkörper unter H ab, ζ
liefert die zur Erweiterung L|E gehörende GaloisGruppe.
2.2
Gegenbeispiel bei unendlicher GaloisErweiterung
Betrachte den separablen Abschluss (enspricht dem algebraischen Abschluss) Fp von Fp .
Sei G = Gal(Fp |Fp ).
Offenkundig ist der Frobenius-Automorphismus ϕ mit ϕ(x) = xp ein Element der GaloisGruppe, also ϕ ∈ G. Somit gilt aber auch: (ϕ) = {ϕn | n ∈ Z} ⊂ G. Die vom FrobeniusAutomorphismus erzeugte Untergruppe hat denselben Fixkörper wie G, nämlich Fp .
Wir zeigen nun, dass (ϕ) 6= G, somit ist die Abbildung ξ aus dem Hauptsatz nicht mehr injektiv.
Dafür konstruieren wir ein Element der GaloisGruppe, welches nicht in der von ϕ erzeugten
Untergruppe liegt.
2
Wähle eine Folge (an )n∈N von ganzen Zahlen derart, dass gilt:
6 ∃a ∈ Z ∀n ∈ N : an ≡ a mod n
(2.1)
m|n =⇒ an ≡ am mod m
(2.2)
Diese Folge existiert jedenfalls, z.B. kann man sie mit folgender Überlegung konstruieren:
Zerlege n in die größt-mögliche Potenz von p und einen Rest n′ : also n = n′ · pvp (n) mit p 6 | n′
(somit ist vp (n) also der p-Anteil von n). Wegen ggT (n′ , p) = 1, existieren nach Euklid xn und
yn dergestalt, dass gilt: 1 = n′ · xn + yn · pvp (n) (beispielsweise ergeben sich für vp (n) = 0 die
Werte xn = 0 und yn = 1); wähle dann an = n′ · xn .
Da m|n, existiert ein ñ, so dass
n = ñ · m
n′ = ñ′ · m′ .
∧
(2.3)
=:k+l
=:k
z }| {
z }| {
v
(n)
′
′
p
und 1 = m · xm + ym · pvp (m) . Somit also:
Nach Euklid gilt außerdem: 1 = n · xn + yn · p
n′ · xn + yn · pk+l = m′ · xm + ym · pk
=⇒
n′ · xn − m′ · xm = ym · pk − yn · pk+l
(2.4)
Weiter gilt:
(2.3)
(2.4)
m′ ·(ñ′ ·xn −xm ) = ñ′ ·m′ ·xn −m′ ·xm = n′ ·xn −m′ ·xm = ym ·pk −yn ·pk+l = pk ·(ym −yn ·pl ).
Damit ist an − am = n′ · xn − m′ · xm sowohl durch m′ als auch durch pk und somit auch durch
m′ · pk = m teilbar. Daher ist an ≡ am mod m (Gleichung (2.2) ist also erfüllt).
=:k
z }| {
′
Nun zeigen wir noch, dass Bedingung (2.1) erfüllt ist. Sei n = n · pvp (n) .
Für k = 0 (also ggT (n, p) = 1 bzw. n = n′ ) gilt: (n′ · xn ) mod n = (n · xn ) mod n = 0. Nach
(2.1) gilt dann aber a ≡ 0 mod n. Da n aber nicht näher bestimmt ist (außer p 6 | n), muss jede
beliebige PrimzahlPotenz q k mit q 6= p ein Teiler von a sein; daher gilt also: a = 0.
Also angenommen, für n = pk · n′ (mit k 6= 0) gelte ebenfalls: n′ · xn ≡ 0 mod n. Dann gilt:
n′ · xn = c · n für ein c ∈ Z und somit pk |xn (da pk |n und p 6 |n′ ). Somit wäre aber
n′ · xn + yn · pk = n′ · pk · x̂ + yn · pk = pk · (n′ · x̂ + yn ) 6= 1
| {z }
∈Z
(Produkt von p > 1 mit ganzer Zahl ist ungleich 1).
Somit sind beide Eigenschaften gezeigt, es gibt also Folgen, die den beiden Bedingungen genügen.
Setze nun
ψn = ϕan |Fpn ∈ Gal(Fpn |Fp ).
Fpm ⊆ Fpn
=⇒
(2.2)
m|n
=⇒
an ≡ am mod m
=⇒
ψn |Fpm = ϕan |Fpm = ϕam |Fpm = ψm
Somit definiert ψ einen Automorphismus von
∞
S
n=1
Fpn = Fp , welcher somit in G liegt.
Aber ψ 6∈ (ϕ), denn sonst ψ = ϕa , also ψ|Fpn = ϕan |Fpn = ϕa |Fpn und somit gilt für alle n ∈ Z
an ≡ a mod n, damit wäre aber Bedingung (2.1) der Definition von an verletzt. Somit gilt der
Hauptsatz der GaloisTheorie bei unendlichen Erweiterungen nicht in seiner üblichen Form.
3
3
3.1
Problemlösung
Idee zur Anpassung des Hauptsatzes
Durch eine Korrektur kann man den Hauptsatz ausdehnen. Hierfür muss man bemerken, dass
die GaloisGruppe G = Gal(L|K) einer jeden galoisschen Erweiterung mit einer kanonischen
Topologie (vgl. Anhang), KrullTopologie genannt, ausgestattet ist.
Als Umgebungsbasis (vgl. Anhang) für ein σ ∈ G wird die Menge der Nebenklassen σG(L|E)
über alle endlichen, galoisschen Erweiterungen E|K hergenommen.
Es gilt also für die Menge T der offenen Mengen:
T = {M ∈ P(G) | ∀σ ∈ M ∃E ∈ Z(L, K) : σG(L|E) ⊆ M },
wobei Z(L, K) := {E | K ⊆ E ⊆ L, E|K endliche, galoissche Erweiterung} die Menge der
ZwischenKörper E darstellt, für die die Erweiterung E|K endlich und galoissch ist.
Verifizieren wir nun die Topologie-Eigenschaften: Jedenfalls sind ∅, G ∈ T . Für beliebige Vereinigungen (über
S beliebigen Indexmengen I) von offenen Mengen Mi ∈ T, i ∈ I existiert zu jedem
Mi insbesondere ein Index ı̌ ∈ I mit σ ∈ Mı̌ . Somit existiert also auch ein gaElement σ ∈
i∈I
S
Mi . Daher ist die Vereinigung
loisscher ZwischenKörper E ∈ Z(L, K) mit σG(L|E) ⊆ Mı̌ ⊆
i∈I
S
Mi ebenfalls eine offene Menge.
i∈I
Zu zwei offenen Mengen M1 , M2 ∈ T und einem Element σ ∈ M1 ∩ M2 existieren jedenfalls E
und F mit σG(L|E) ⊆ M1 und σG(L|F ) ⊆ M2 . Betrachte nun die von den Elementen aus E ∪ F
bzgl. L erzeugte Galois-Erweiterung L|KE∪F . Für diese gilt: σG(L|KE∪F ) ⊆ σG(L|E) ⊆ M1 .
Ebenso lässt sich die Inklusion in M2 ersehen. Damit ist aber σG(L|KE∪F ) ⊆ (M1 ∩ M2 ) und
somit der Schnitt wieder eine offene Menge. Insgesamt sind hiermit die Topologie-Eigenschaften
verifiziert.
Mit der Multiplikation G×G → G, (σ, τ ) 7→ στ und der Inversenbildung G → G, σ 7→ σ −1 ergibt
sich eine topologische Gruppe, sofern die beiden Abbildungen stetig sind, was im Folgenden
gezeigt wird.
Jede offene Menge im Bild von Multiplikation oder Inversenbildung ist als Vereinigung offener
Basisumgebungen darstellbar (z.B. als Vereinigung der offenen Umgebungen zu jedem Element).
Somit ist das Urbild jeder offenen Menge eine Vereinigung von Urbildern von offenen Umgebungen, also eine Vereinigung von offenen Mengen und somit wiederum eine offene Menge. Es genügt
also zu zeigen, dass die Urbilder von offenen BasisUmgebungen offen sind.
Die Urbilder der offenen Umgebungen στ G(L|E) und σ −1 G(L|E) enthalten die offenen Umgebungen σG(L|E) × τ G(L|E) und σG(L|E), da mit der Normalteiler-Eigenschaft der Galoisgruppen G(L|E) folgt:
σG(L|E)τ G(L|E)
=
=
NT
=
(σG(L|E))
−1
σ(τ τ −1 )G(L|E)τ G(L|E)
στ τ −1 G(L|E)τ G(L|E)
στ G(L|E)G(L|E)
−1
=
G(L|E)σ
=
(σ −1 σ)G(L|E)σ −1
σ −1 σG(L|E)σ −1
=
NT
=
σ −1 G(L|E)
Somit sind dann auch die Urbilder offene Mengen.
4
=
στ G(L|E)
3.2
Eigenschaften der KrullTopologie
Satz 3.1. Für jede galoissche Erweiterung L|K ist die GaloisGruppe G = Gal(L|K) bzgl. der
KrullTopologie hausdorffsch und kompakt (vgl. Anhang).
Bemerkung. Ein Element σ der GaloisGruppe ist genau dann die Identität, wenn es auf allen
endlichen, galoisschen ZwischenKörpern die Identität ist, also
⇐⇒
σ = id
∀E ∈ Z(L, K) : σ|E = idE
Beweis zu Satz 3.1. i)
σ, τ ∈ G, σ 6= τ
Bem
=⇒
∃E ∈ Z(L, K) : σ|E 6= τ |E
=⇒
σG(L|E) 6= τ G(L|E)
Nebenklassen
σG(L|E) ∩ τ G(L|E) = ∅
=⇒
(Da Nebenklassen Äquivalenzklassen sind, folgt aus der Nicht-Gleichheit die Disjunktheit.)
Somit haben wir also zu zwei beliebigen Punkten σ und τ die entsprechenden disjunkten Umgebungen; G ist somit hausdorffsch bzgl. T .
ii) Betrachte die Abbildung
h:G→
×
G(E|K) =: P,
σ 7→
T
σ|E
E∈Z(L,K)
E∈Z(L,K)
Die endlichen Gruppen G(E|K) sind bzgl. der diskreten Topologie kompakte topologische Gruppen, somit folgt nach dem Satz von Tychonov, dass ihr Produkt ein kompakter topologischer
Raum ist.
Der Homomorphismus h ist injektiv, da ker(h) = {σ ∈ G | h(σ) =
T idE } = {idL },
E∈Z(L,K)
denn angenommen, es existiere ein Element σ ∈ ker(h) mit σ 6= idL . Dann gibt es ein a ∈ L
mit σ(a) 6= a. Da aber jedenfalls der Zerfällungskörper Z des Minimalpolynoms zu a in Z(L, K)
liegt, wäre somit σ|Z 6= idZ , was σ ∈ ker(h) widerspricht.
b
Die Urbildmengen der Projektionen aufdie Komponente des
 Zwischenkörpers E ∈ Z(L, K) bzgl.
b
σ ) = {b
σ} × 
σ
b ∈ G(E|K),
also π −1
b (b
E
×
E∈Z(L,K)
b
E6=E
G(E|K), bilden eine Subbasis (vgl. Anhang)
von P . Die Faktoren G(E|K) sind endlich mit diskreter Topologie, daher ist nach Definition
σ ) offen, aber auch abgeschlossen, da sie stetige
der ProduktTopologie (vgl. Anhang) jedes π −1
b (b
E
Urbilder der abgeschlossenen Menge {b
σ } darstellen.
σ)
Um die Stetigkeit von h zu zeigen, genügt es, zu zeigen, dass die Urbilder dieser Mengen π −1
b (b
E
−1
−1
b was wiederum offen ist,
σ )) = σG(L|E),
offen sind. Ist σ ∈ G ein Urbild von σ
b, so ist h (π b (b
E
somit ist h stetig.
b
σ ). Die Umkehrabbildung h−1 ist also ebenfalls
Desweiteren gilt h(σG(L|E))
= h(G) ∩ π −1
b (b
E
stetig, h ist insgesamt also ein Homöomorphismus auf die Bildmenge h(G).
Noch zu zeigen ist, dass h(G) in der kompakten Menge P abgeschlossen ist (da jede abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge wieder kompakt ist).
5
Da h(G) =
T
F ⊂F ′
F,F ′ ∈Z(L,K)
MF ′ |F , wobei für jedes Paar F ⊂ F ′ , F, F ′ ∈ Z(L, K) die Menge MF ′ |F
definiert ist durch
MF ′ |F =
(
T
σE ∈ P
| σF ′ |F = σF
E∈Z(L,K)
)
,
genügt es, die Abgeschlossenheit der MF ′ |F zu zeigen (da Durchschnitte von abgeschlossenen
Mengen abgeschlossen sind).
Da F eine endliche Erweiterung ist, ist G(F |K) = {σ1 , . . . , σn }. Wenn dann Si ⊂ G(F ′ |K) die
Mengen der Erweiterungen von σi auf F ′ sind, dann ist



n
[ 


G(E|K) × Si × {σi } ,
MF ′ |F =

i=1
×
E∈Z(L,K)
E6=F,F ′
also MF ′ |F als Urbild abgeschlossener Mengen unter der Projektion abgeschlossen.
Somit ist also h(G) kompakt und mittels des Homöomorphismus somit auch G (= h−1 (h(G))).
3.3
Angepasster Hauptsatz
Theorem 3.2. Sei L|K eine galoissche Erweiterung. Dann ist die Zuordnung
E 7→ G(L|E)
eine Bijektion zwischen den TeilErweiterungen E|K von L|K und den abgeschlossenen Untergruppen von G(L|K).
Zusatz: Die offenen Untergruppen von G(L|K) entsprechen dabei gerade den endlichen Teilerweiterungen von L|K.
Vorbemerkung. Das Komplement einer offenen Untergruppe U ⊆ G(L|K) ist Vereinigung
offener Nebenklassen σU , somit ebenfalls offen. Offene Untergruppen sind somit ebenfalls abgeschlossen.
Beweis. Hat man nun eine endliche TeilErweiterung E|K, so besitzt jedes σ ∈ G(L|E) eine
offene Umgebung, nämlich σG(L|N ) in G(L|E), wenn N die normale Hülle von E|K ist, somit
ist G(L|E) offen.
Für eine bel. TeilErweiterung E|K gilt:
\
G(L|E) =
G(L|F ).
(3.1)
F ∈E(E,K)
Die Inklusion von links nach
T rechts ist trivial (da F ⊆ E), für die Gegenrichtung nehmen wir
G(L|F ) gibt mit ϕ 6∈ G(L|E). Dann existiert aber ein x ∈ E,
an, dass es ein ϕ ∈
F ∈E(E,K)
welches nicht invariant ist bzgl. ϕ, also ϕ(x) 6= x. Jedenfalls wird der Körper K({x}), welcher
durch Adjunktion von {x} an K ensteht, durch eine endliche Teilerweiterung von E|K erzeugt,
also K({x}) ∈ E(E, K). Für diesen würde nun gelten ϕ(x) 6∈ G(L|K({x})), da x ∈ K({x})
und ϕ(x) 6= x. Insgesamt kann ϕ somit nicht in obigen Schnitt liegen, was ein Widerspruch zur
Voraussetzung ist.
Wegen Gleichung (3.1) ist G(L|E) als Schnitt abgeschlossener Mengen abgeschlossen.
6
Die Zuordnung E 7→ G(L|E) ist injektiv, da E der Fixkörper von G(L|E) ist. Nun ist noch die
Surjektivität zu zeigen. Man muss also zeigen, dass für eine beliebige abgeschlossene Untergruppe
H von G(L|K) mit Fixkörper E gilt, dass H = G(L|E); H ⊂ G(L|E) ist trivial.
Sei also σ ∈ G(L|E). Für eine endliche galoissche Erweiterung F |E in L|E ist nun σG(L|F )
eine fundamentale offene BasisUmgebung von σ in G(L|E). Die Abbildung H → G(F |E) ist
surjektiv, denn das Bild H hat Fixkörper E und ist somit nach dem Hauptsatz der GaloisTheorie (für endliche Erweiterungen) G(F |E). Wähle also ein τ ∈ H mit τ |F = σ|F und somit
τ ∈ H ∩ σG(L|F ). Somit liegt σ im Abschluß (vgl. Anhang) von H in G(L|E), das ist aber H
selbst, somit H = G(L|E).
ad Zusatz): Sei H ⊂ G(L|K) eine offene Untergruppe, und damit auch abgeschlossen (vgl. oben),
somit H = G(L|E). G(L|K) ist aber (disjunkte) Vereinigung der offenen Nebenklassen von H
und außerdem kompakt, weswegen schon endlich viele Nebenklassen die Gruppe überdecken,
somit gibt es nur endlich viele. Der Index von G(L|E) ist somit endlich in G(L|K), damit also
E|K endlich.
4
Fazit
Man sieht also, dass man unter Verwendung topologischer Begriffe den Hauptsatz der GaloisTheorie dergestalt erweitern kann, dass die Aussagen für beliebige (also endliche und unendliche)
galoissche Erweiterungen gelten.
Anhang
Der Anhang soll der Klärung einiger ausgewählter Begriffe dienen, sie ist dabei keinesfalls
erschöpfend, sondern soll lediglich beim Lesen begleiten.
Topologie
Definition. Sei X eine Menge und T eine Teilmenge der Potenzmenge P(X).
• T heißt Topologie (auf X), wenn folgende vier Axiome erfüllt sind:
– ∅∈T
– X∈T
– Mi ∈ T, i ∈ I
– M1 , M2 ∈ T
=⇒
=⇒
S
i∈I
Mi
∈T
M1 ∩ M2 ∈ T
Die Elemente von T heißen dann offene Teilmengen.
Eine Teilmenge von X heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist.
Definition. Sei I eine beliebige Indexmenge und seien (Xi , Ti ) topologische Räume (für i ∈ I).
Dann ist die Produkttopologie auf X = × Xi definiert durch
i∈I
T =

n
[ \

(Oj,k )
πi−1
j,k
| J bel. Indexmenge, n ∈ N, ij,k ∈ I, Oj,k ∈ Tij,k
j∈J k=1
7



Definition. Sei (X, T ) ein Topologischer Raum und p ∈ X ein Punkt des Raumes.
• Eine Teilmenge U ⊆ X heißt Umgebung von p, falls es eine offene Menge O (also O ∈ T )
gibt mit p ∈ O ⊆ U .
• Eine Menge von Umgebungen B von p heißt UmgebungsBasis von p, wenn jede Umgebung von p eine Umgebung aus B als Teilmenge hat.
• Eine Menge M ⊆ X heißt Subbasis, wenn alle Basiselemente als endliche Durchschnitte
der Elemente von M konstruiert werden können.
Definition. Eine Abbildung f : A → B zwischen zwei topologischen Räumen heißt stetig,
wenn das Urbild f −1 (M ) jeder offenen Menge M wieder offen ist.
Definition.
i) Ein Topologischer Raum ist genau dann hausdorffsch, wenn für je zwei Punkte immer
Umgebungen existieren, die disjunkt sind.
ii) Ein Topologischer Raum heißt kompakt, wenn zu jeder offenen Überdeckung eine endliche
Teilüberdeckung existiert.
Definition. Sei (X, T ) ein Topologischer Raum. Dann bezeichnet der Abschluss M einer Menge
M ⊆ X den Schnitt aller abgeschlossenen Obermengen von M :
\
M :=
N
N⊇M
N abgeschlossen
Bemerkung. In der Tat wird der Begriff Abschluss auch für weitere, ähnliche Konstruktionen
verwendet. Dabei bezeichnet der Abschluss immer die wie oben erzeugte Obermenge, die eine
bestimmte Eigenschaft erfüllt. Die enstsprechende Eigenschaft wird dann adjektivisch vorgestellt
(z.B. der separable Abschluss oder der algebraische Abschluss).
Definition. Eine Abbildung f : X → Y zwischen zwei Topologischen Räumen heißt Homöomorphismus, wenn sie die folgenden Bedingungen erfüllt:
• f ist bijektiv
• f ist stetig
• f −1 ist stetig
Literatur
[1 ] Neukirch,Jürgen:”Algebraische Zahlentheorie”. Springer-Verlag. Berlin,1992. Kapitel IV,§1.
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