Kapitel 1-2 - Fakultät Statistik (TU Dortmund)

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DORTMUND
FAKULTÄT STATISTIK
Dr. M. Arnold
Dipl.-Stat. R. Walter
Sommersemester 2011
Übungen zur Vorlesung Statistische Methoden
Kapitel 1-2
Aufgabe 1:
Gegeben ist eine diskrete Zufallsvariable X mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion:
xi
0
f (xi ) 0.1
1
0.5 − c
2
3
0.5 − c c
(a) Bestimmen Sie die Konstante c und stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion
grafisch dar.
(b) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion von X und zeichnen Sie diese.
(c) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.
(d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten
• P (X ≤ 2.5),
• P (1.5 < X ≤ 3),
• P (X > 1).
Aufgabe 2:
Für eine stetige Zufallsvariable X gilt:


0≤x<1
4cx
f (x) = −cx + 0.5 1 ≤ x ≤ 5


0
sonst
(a) Bestimmen Sie den Parameter c so, dass f (x) eine Dichtefunktion von X ist und
zeichnen Sie diese.
(b) Ermitteln sie die zugehörige Verteilungsfunktion und skizzieren Sie deren Verlauf.
(c) Berechnen Sie den Erwartungswert sowie die Varianz von X.
(d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P (0 < X ≤ 1) mit Hilfe der Dichtefunktion
und mit Hilfe der Verteilungsfunktion.
Aufgabe 3:
Beweisen Sie den Verschiebungssatz
Var(X) = E(X 2 ) − (E(X))2 .
Aufgabe 4:
Sei Y = aX + b und Z = dX + e, wobei X die Zufallsvariable aus Aufgabe 2 ist.
Berechnen Sie
(a) den Erwartungswert von Y und von X 2 ,
(b) die Varianz von Y ,
(c) die Kovarianz von Y und Z,
(d) die Varianz von Y + Z.
Aufgabe 5:
Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz der Exponentialverteilung, also E(X) und
Var(X), wobei X ∼ Exp(λ) mit Dichte
f (x; λ) = λe−λx ,
x ≥ 0.
Aufgabe 6:
Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion einer exponentialverteilten Zufallsvariablen X
für beliebiges λ. Zeichnen Sie anschließend die Dichte und Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung für λ = 0.5. Berechnen Sie außerdem P (2 ≤ X < 3) mit Hilfe der
Dichte- und Verteilungsfunktion und erläutern Sie, wie man die berechnete Wahrscheinlichkeit anhand der Zeichnungen ablesen kann.
Aufgabe 7:
Die Firma Osram nimmt an, dass die Lebensdauer ihrer 60 Watt Glühbirnen normalverteilt ist, allerdings sind die Parameter der Normalverteilung unbekannt. Sei X die
Lebensdauer, dann gilt also X ∼ N(µ, σ 2 ), mit µ und σ 2 unbekannt. Zur Überprüfung
der Vermutung der Normalverteilung und Einschätzung der Parameter werden Lebensdauern von 1000 Glühbirnen erhoben.
Lebensdauer
[600, 700)
absolute Häufigkeit
1
Lebensdauer
[1000, 1100)
absolute Häufigkeit
324
[700, 800)
32
[800, 900)
135
[1100, 1200)
131
[900, 1000)
350
[1200, 1300)
25
[1300, 1400)
2
(a) Zeichnen Sie das Histogramm der Lebensdauern! Kann hier von einer Normalverteilung ausgegangen werden?
(b) Skizzieren Sie die Dichten der Normalverteilungen mit folgenden Parametern in
die Zeichnung aus (a):
– µ1 = 900, σ12 = 50000
– µ2 = 1000, σ22 = 10000
– µ3 = 1100, σ32 = 100000
(c) Welche der Parameter aus (b) sind vermutlich die tatsächlichen?
Aufgabe 8:
Die im Landtag von Nordrhein-Westfalen vertretenen Parteien entsenden folgende Anzahlen von Abgeordneten:
Partei
CDU SPD Grüne FDP Summe
männlich
77
43
6
10
136
weiblich
12
31
6
2
51
Summe
89
74
12
12
187
(a) Sind die Ereignisse A: Ein(e) zufällig ausgewählte(r) Abgeordnete(r) ist Mitglied
”
der SPD“ und B: Ein(e) zufällig ausgewählte(r) Abgeordnete(r) ist weiblich“
”
stochastisch unabhängig? Schätzen Sie die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten
durch die relativen Häufigkeiten.
(b) Sind die Ereignisse C: Ein(e) zufällig ausgewählte(r) Abgeordnete(r) ist Mitglied
”
der Grünen“ und D: Ein(e) zufällig ausgewählte(r) Abgeordnete(r) ist weiblich“
”
stochastisch unabhängig? Schätzen Sie auch hier die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten durch die relativen Häufigkeiten.
Hinweis zur Erinnerung: zwei Ergeignisse A und B sind genau dann stochastisch unabhängig, falls eine der drei (äquivalenten) Bedingungen zutrifft
– P (A ∩ B) = P (A) · P (B)
– P (A|B) = P (A)
– P (B|A) = P (B)
Aufgabe 9:
Sei X ∼ N(2, 16). Berechnen Sie
(a) P (X ≤ 10),
(b) P (0 ≤ X ≤ 4),
(c) P (|X| > 3).
Aufgabe 10:
Die Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn seien unabhängig und identisch verteilt mit bekanntem
Erwartungswert E(Xi ) = µ, i = 1, . . . , n. Die Varianz σ 2 ist unbekannt und soll deshalb
geschätzt werden. Dazu stehen Ihnen die Schätzfunktionen
n
σ̂12
1X
(Xi − µ)2 ,
=
n i=1
n
σ̂22
1 X
=
(Xi − µ)2 ,
n − 1 i=1
1
σ̂32 = (X12 + X22 + Xn2 ) − µ2
3
zur Verfügung. Welche dieser Schätzer sind erwartungstreu für σ 2 ? Berechnen Sie die
Verzerrungen der drei Schätzer! Sind die verzerrten Schätzer asymptotisch erwartungstreu?
Aufgabe 11:
Beweisen Sie den Steinerschen Verschiebungssatz
n
n
1X
1X
(xi − x̄)2 =
(xi − d)2 − (x̄ − d)2 ,
n i=1
n i=1
d ∈ R.
Aufgabe 12:
Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen
n
1X
X̄ =
Xi ,
n i=1
wenn X1 , . . . , Xn unabhängig und identisch verteilt sind mit Erwartungswert µ und
Varianz σ 2 .
Aufgabe 13: (vgl. Beispiel 2.2 (b))
Es seien X1 , . . . , Xn unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen mit unbekanntem Erwartungswert µ und unbekannter Varianz σ 2 . Zeigen Sie, dass
n
1 X
(Xi − X̄)2
S =
n − 1 i=1
2
ein erwartungstreuer Schätzer für σ 2 ist.
Aufgabe 14:
Die Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn (n gerade) seien unabhängig und identisch verteilt mit
unbekanntem Erwartungswert µ und bekannter Varianz σ 2 . Zur Schätzung von µ stehen
Ihnen folgende zwei Funktionen zur Auswahl:
1
µ̂1 = (X1 + X2 + Xn−1 + Xn ),
4
1
3
3
1
µ̂2 = X1 + X n2 + X n2 +1 + Xn .
8
8
8
8
Welcher dieser beiden Schätzer ist effizienter für die Schätzung von µ?
Aufgabe 15:
Es seien X1 , . . . , Xn unabhängig bernoulliverteilte Zufallsvariablen. Die Erfolgswahrscheinlichkeit des zu Grunde liegenden Zufallsexperiments wird mit p bezeichnet. Zeigen
Sie, dass p̂ = X̄ ein im quadratischen Mittel konsistenter Schätzer für p ist.
Aufgabe 16:
Ein alternativer Schätzer zu X̄ aus Aufgabe 15 sei durch
√
n
n
√ 0.5
X̄ +
p̃ = √
n+n
n+ n
gegeben. Bestimmen Sie Erwartungswert, Verzerrung und Varianz von p̃. Für welchen
Wert von p ist p̃ unverzerrt? Berechnen Sie außerdem den MSE von p̃. Ist p̃ für beliebiges
p asymptotisch unverzerrt und konsistent im quadratischen Mittel?
Zeichnen Sie anschließend für p ∈ {0.25, 0.5, 0.75} die Verzerrung von p̃ in Abhängigkeit
von n (für n = 1, . . . , 10) und interpretieren Sie die Darstellung.
Aufgabe 17:
Zeigen Sie, dass der MSE des Schätzers X(n) für den Parameter der Re[0, θ]-Verteilung
folgendermaßen gegeben ist:
MSE(X(n) , θ) =
2θ2
,
(n + 1)(n + 2)
wenn gilt:
nxn−1
θn
Zeichnen Sie den MSE für n = 1, . . . , 20 und θ = 2. Was können Sie an der graphischen
Darstellung ablesen?
fX(n) (x) =
Aufgabe 18:
Zeigen Sie die Behauptung aus Bemerkung 2.4:
Sei θ̂ erwartungstreu für θ und g(θ) = a · θ + b, a, b ∈ R eine lineare parametrische
Funktion. Dann ist g(θ̂) erwartungstreu für g(θ).
Aufgabe 19:
Eine Grundgesamtheit besitze den Mittelwert µ und die Varianz σ 2 . Die Stichprobenvariablen X1 , . . . , X5 seien unabhängige Ziehungen aus dieser Grundgesamtheit. Man
betrachtet als Schätzfunktionen für µ die Stichprobenfunktionen
T1 = X̄ =
1
(X1 , . . . , X5 )
5
1
(X1 + X2 + X3 )
3
1
1
= (X1 + X2 + X3 + X4 ) + X5
8
2
= X 1 + X2
= X1
=5
T2 =
T3
T4
T5
T6
(a) Welche Schätzfunktionen sind erwartungstreu für µ?
(b) Welche Schätzfunktion ist die effizienteste unter allen erwartungstreuen Schätzern?
(c) Bestimmen Sie den MSE der Schätzer und zeichnen Sie diesen in Abhängigkeit
von µ (µ ∈ [0, 10]) für σ 2 = 1. Interpretieren Sie die Abbildung.
Aufgabe 20:
Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch? Begründen Sie Ihre Antwort kurz (jeweils drei Punkte für richtige Begründung).
a) Jeder UMVU-Schätzer ist erwartungstreu.
b) Jeder im quadratischen Mittel konsistente Schätzer ist erwartungstreu.
c) Jeder erwartungstreue Schätzer ist konsistent im quadratischen Mittel.
Aufgabe 21:
Sei X1 , . . . , Xn eine Stichprobe aus einer Normalverteilung mit unbekanntem Erwartungswert E(Xi ) = µ und unbekannter Varianz Var(Xi ) = σ 2 .
Hinweis: Es gilt
!
!
n
n
X
X
E
(Xi − X̄)2 = (n − 1)σ 2 , Var
(Xi − X̄)2 = 2(n − 1)σ 4 .
i=1
i=1
P
a) Betrachten Sie für c > 0 die Klasse von Schätzern fürP
σ 2 der Form c ni=1 (Xi − X̄)2 .
Berechnen Sie den mittleren quadratischen Fehler von c ni=1 (Xi − X̄)2 bezüglich σ 2 in
Abhängigkeit von c.
b) Angenommen, es gelte
!
n
X
MSE c
(Xi − X̄)2 , σ 2 = 2c2 (n − 1)σ 4 + [c(n − 1) − 1]2 σ 4 .
i=1
Für welches c > 0 wird der mittlere quadratische Fehler innerhalb dieser Klasse von
Schätzern minimal?