KA LK M2 13 – 18. 11. 05 I. ANALYSIS Leistungsfachanforderungen

KA LK M2 13 – 18. 11. 05
I. ANALYSIS
Leistungsfachanforderungen
Für jedes t > 0 ist eine Funktion f t gegeben durch
x 
f t ( x ) =  + 1 ⋅ e t − x ;
t

x ∈ IR.
Der Graph von f t sei G t .
a)
Untersuche G t auf Asymptoten, Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte. Bei der
Untersuchung auf Wendepunkte kann auf die Überprüfung der hinreichenden
Bedingung verzichtet werden.
Zeichne die Graphen von f1 und f1 ' im Bereich − 1 ≤ x ≤ 4 in dasselbe
Koordinatensystem (Längeneinheit auf beiden Achsen: 1 cm).
 1− x  t−x
 x − 2  t−x
Zur Kontrolle: f t ' ( x ) = 
− 1 ⋅ e und f t ' ' ( x ) = 
+ 1 ⋅ e .
 t

 t

b)
Zeige, dass für jedes t > 0 G t mit dem Graphen von f t ' genau einen Punkt
gemeinsam hat.
Die Graphen von f t und f t ' schneiden aus der Geraden x =1 eine Strecke aus. Für
welchen Wert von t ist die Länge dieser Strecke am kleinsten?
c)
G1 , die x-Achse und die Gerade x = u mit u > -1 schließen eine Fläche ein.
Berechne deren Inhalt A(u) und lim A(u) .
d)
G t schneidet die x-Achse im Punkt N t . Die Tangente an G t im Punkt
2


Pt  2 − t / ⋅ e 2 t −2  schneidet die x-Achse im Punkt R t .
t


Zeige, dass das Dreieck N t R t Pt gleichschenklig ist mit der Spitze in Pt .
Welche Bedingung muss t erfüllen, damit das Dreieck N t R t Pt rechtwinklig ist?
Zeige, dass für t = 1 diese Bedingung erfüllt ist.
II. ANALYTISCHE GEOMETRIE
Leistungsfachanforderungen
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte P(5 / 1 /-2) und Q(1 /-1 /2)
gegeben sowie die Gerade g und die Ebene E durch
 − 1
 − 2
 
 
g : x =  4  + r ⋅  2  und E : 2x 1 + x 2 + 2x 3 + 6 = 0.
7 
−1
 
 
Die Gerade durch P und Q heißt h.
a)
Welchen Abstand hat P von E? Unter welchem Winkel schneiden sich g und E?
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene F, die g enthält und zu E
orthogonal ist.
b)
Bestimme den Schnittpunkt der x 3 -Achse mit der Ebene E.
2
  − 2 
  
Die Ebene E schneidet die Kugel K:  x −  1  = 9 in einem Kreis k.
  − 1 


Zeige, dass k mit der x 3 -Achse genau einen Punkt B gemeinsam hat.
Ermittle eine Gleichung der Tangentialebene an die Kugel K in B.
Auf dem Kreis k liegen die Berührpunkte aller Tangenten, die man von einem
Punkt R aus an die Kugel K legen kann. Berechne die Koordinaten von R.
c)
Zeige, dass die Geraden g und h windschief sind.
Berechne den Abstand von g und h.
Bestimme Mittelpunkt und Radius der Kugel, die g und h in den Endpunkten
eines Durchmessers berührt.
d)
Es gibt eine Gerade i durch A(6 / 0 / 3), die g und h schneidet. Stelle eine
Gleichung dieser Geraden auf.
Hinweis: Gib zuerst eine Gleichung der durch A und g bestimmten Ebene an.
III. STOCHASTIK
1.
Leistungsfachanforderungen
Eine Hühnerfarm verkauft Eier in den Gewichtsklassen IV, III, II und I. Längere
Beobachtungen ergaben folgende Verteilung auf die vier Gewichtsklassen:
Gewichtsklasse
Gewichtsintervall (in g)
Anteil
2.
IV
III
II
I
<45 [45;50[ [50;55[ ≥ 55
0,30 0,22
0,28
0,20
a)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind unter vier eingesammelten Eiern alle
Gewichtsklassen vertreten?
Es werden 100 Eier eingesammelt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält
man mindestens zwei Eier der Gewichtsklasse I?
b)
Die Hälfte der Eier der Hühnerfarm ist weiß, die andere Hälfte ist braun.
Die Eier werden ohne Berücksichtigung der Farbe in Schachteln zu je
vier Stück verpackt.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind in einer Schachtel mehr weiße als
braune Eier?
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass von zehn Schachteln höchstens
eine mehr weiße als braune Eier enthält.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält eine Schachtel gleich viele weiße
wie braune Eier?
Beim Roulette handelt es sich um ein Zufallsexperiment mit der Ergebnismenge
S = {0; 1; 2;.....;35; 36} , wobei alle 37 Ergebnisse mit der gleichen
Wahrscheinlichkeit eintreten. Es sei A = {1; 2;....; 12} und
B = {10; 11; 12; 13; 14; 15} .
a)
Das Zufallsexperiment wird einmal durchgeführt. Ein Spieler I setzt 10 €
darauf, dass das Ereignis A eintritt. Ist dies der Fall, so bekommt er den
dreifachen Einsatz ausbezahlt. Tritt A nicht ein, sind die 10 € verloren.
Mit welchem Gewinn pro Spiel kann der Spieler im Mittel rechnen? Führe
dazu eine Zufallsvariable X ein, die den Gewinn beschreibt.
Nun wird das Zufallsexperiment 15mal durchgeführt. Berechne die
Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse:
C:
A tritt genau 5mal ein
D:
A ∪ B tritt genau 5mal ein
E:
Die 15 auftretenden Ergebnisse sind alle verschieden
b)
Ein Spieler II setzt 10 € auf das Ereignis A. Tritt A ein, so erhält er den
dreifachen Einsatz ausbezahlt und hört mit dem Spielen auf. Tritt A nicht
ein, so verdoppelt er den vorhergehenden Einsatz und spielt
entsprechend weiter so lange, bis zum ersten Mal A eintritt
(Verdoppelungsstrategie), höchstens jedoch 10mal.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler II nach dem 5. Spiel
aufhört? Wie viel hat er dann gewonnen?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er nach dem 10. Spiel immer noch
nicht gewonnen?
KA LK M2 13 – 18. 11. 05
I. ANALYSIS
Grundfachanforderungen
Für jedes t > 0 ist eine Funktion f t gegeben durch
x 
f t ( x ) =  + 1 ⋅ e t − x ;
t

x ∈ IR.
Der Graph von f t sei G t .
a)
Untersuche G t auf Asymptoten, Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte. Bei der
Untersuchung auf Wendepunkte kann auf die Überprüfung der hinreichenden
Bedingung verzichtet werden.
Zeichne die Graphen von f1 und f1 ' im Bereich − 1 ≤ x ≤ 4 in dasselbe
Koordinatensystem (Längeneinheit auf beiden Achsen: 1 cm).
 1− x  t−x
 x − 2  t−x
Zur Kontrolle: f t ' ( x ) = 
− 1 ⋅ e und f t ' ' ( x ) = 
+ 1 ⋅ e .
 t

 t

b)
Zeige, dass für jedes t > 0 G t mit dem Graphen von f t ' genau einen Punkt
gemeinsam hat.
Die Graphen von f t und f t ' schneiden aus der Geraden x =1 eine Strecke aus.
Berechne die Länge dieser Strecke für t = 2.
c)
G1 , die x-Achse und die Gerade x = u mit u > -1 schließen eine Fläche ein.
Berechne deren Inhalt A(u) und lim A(u) .
d)
G t schneidet die x-Achse im Punkt N t . Die Tangente an G t im Punkt
2


Pt  2 − t / ⋅ e 2 t −2  schneidet die x-Achse im Punkt R t .
t


Zeige, dass das Dreieck N t R t Pt gleichschenklig ist mit der Spitze in Pt .
Weise nach, dass dieses Dreieck für t = 1 auch rechtwinklig ist.
II. ANALYTISCHE GEOMETRIE
Grundfachanforderungen
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte P(5 / 1 /-2) und Q(1 /-1 /2)
gegeben sowie die Gerade g und die Ebene E durch
 − 1
 − 2
 
 
g : x =  4  + r ⋅  2  und E : 2x 1 + x 2 + 2x 3 + 6 = 0.
7 
−1
 
 
Die Gerade durch P und Q heißt h.
a)
Welchen Abstand hat P von E? Unter welchem Winkel schneiden sich g und E?
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene F, die g enthält und zu E
orthogonal ist.
b)
Bestimme den Schnittpunkt der x 3 -Achse mit der Ebene E.
2
  − 2 
  
Die Ebene E schneidet die Kugel K:  x −  1  = 9 in einem Kreis k.
  − 1 


Zeige, dass k mit der x 3 -Achse genau einen Punkt B gemeinsam hat.
Ermittle eine Gleichung der Tangentialebene an die Kugel K in B.
c)
Zeige, dass die Geraden g und h windschief sind.
Berechne den Abstand von g und h.
Bestimme Mittelpunkt und Radius der Kugel, die g und h in den Endpunkten
eines Durchmessers berührt.
III. STOCHASTIK
1.
Grundfachanforderungen
Eine Hühnerfarm verkauft Eier in den Gewichtsklassen IV, III, II und I. Längere
Beobachtungen ergaben folgende Verteilung auf die vier Gewichtsklassen:
Gewichtsklasse
Gewichtsintervall (in g)
Anteil
2.
IV
III
II
I
<45 [45;50[ [50;55[ ≥ 55
0,30 0,22
0,28
0,20
a)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind unter vier eingesammelten Eiern alle
Gewichtsklassen vertreten?
Es werden 100 Eier eingesammelt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält
man mindestens zwei Eier der Gewichtsklasse I?
b)
Die Hälfte der Eier der Hühnerfarm ist weiß, die andere Hälfte ist braun.
Die Eier werden ohne Berücksichtigung der Farbe in Schachteln zu je
vier Stück verpackt.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind in einer Schachtel mehr weiße als
braune Eier?
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass von zehn Schachteln höchstens
eine mehr weiße als braune Eier enthält.
Beim Roulette handelt es sich um ein Zufallsexperiment mit der Ergebnismenge
S = {0; 1; 2;.....;35; 36} , wobei alle 37 Ergebnisse mit der gleichen
Wahrscheinlichkeit eintreten. Es sei A = {1; 2;....; 12} und
B = {10; 11; 12; 13; 14; 15} .
a)
Das Zufallsexperiment wird einmal durchgeführt. Ein Spieler I setzt 10 €
darauf, dass das Ereignis A eintritt. Ist dies der Fall, so bekommt er den
dreifachen Einsatz ausbezahlt. Tritt A nicht ein, sind die 10 € verloren.
Mit welchem Gewinn pro Spiel kann der Spieler im Mittel rechnen? Führe
dazu eine Zufallsvariable X ein, die den Gewinn beschreibt.
Nun wird das Zufallsexperiment 15mal durchgeführt. Berechne die
Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse:
C:
A tritt genau 5mal ein
D:
A ∪ B tritt genau 5mal ein
b)
Ein Spieler II setzt 10 € auf das Ereignis A. Tritt A ein, so erhält er den
dreifachen Einsatz ausbezahlt und hört mit dem Spielen auf. Tritt A nicht
ein, so verdoppelt er den vorhergehenden Einsatz und spielt
entsprechend weiter so lange, bis zum ersten Mal A eintritt
(Verdoppelungsstrategie), höchstens jedoch 10mal.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler II nach dem 5. Spiel
aufhört? Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er nach dem 10. Spiel immer
noch nicht gewonnen?
Datum: 18.12.2005
Zeit: 22:07:56
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