Übungen 6

Westfälische Wilhelms-Universität Münster
Institut für Didaktik der Mathematik und Informatik
Dr. Astrid Brinkmann
Wintersemester 2009/10
Arithmetik
Übungen 6
Die Mathematik ist mehr ein Tun als eine Lehre.
(L. E. J. Brouwer)
Aufgabe 1 (9 Punkte)
a) Geben Sie jeweils zwei natürliche Zahlen an, deren Teilermengen die unten angegebenen
Hasse-Diagramme (i) bzw. (ii) bzw. (iii) besitzen.
b) Wie lautet jeweils die kleinste mögliche Zahl?
(i)
(ii)
(iii)
Aufgabe 2 (14 Punkte)
a) Geben Sie die kanonische Primfaktorzerlegung1 für 108 und für 108000 an.
b) Geben Sie T (108) an und zeichnen Sie das zugehörige Hasse-Diagramm.
c) Bestimmen Sie die Anzahl der Elemente von T (108000) .
d) Vervollständigen Sie folgende Hasse-Diagramme:
81
75
Aufgabe 3 (5 Punkte)
Finden Sie ein „Primzahlloch“ aus mindestens 10 aufeinander folgenden natürlichen Zahlen,
die keine Primzahlen sind.
Aufgabe 4 (20 Punkte)
a)
Wir definieren analog zu Primzahlzwillingen die Primzahldrillinge als drei Primzahlen
der Form p, p + 2 und p + 4 . Beweisen oder widerlegen Sie:
3, 5 und 7 sind die einzigen Primzahldrillinge.
b) Geben Sie alle Primzahlen der Form 3n − 1 mit n ∈ ℕ an (mit Begründung).
c)
Bestimmen Sie mit dem Sieb des Eratosthenes die Primzahlen bis 120. Schreiben Sie
dazu je 12 Zahlen in eine Reihe.
d) Überprüfen Sie die Goldbachsche Vermutung an den Zahlen 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80
90 und 100.
Aufgabe 5 (11 Punkte)
Man betrachte mindestens vier der ersten aufeinander folgenden Primzahlen, z. B. 2, 3, 5 und
7. Teilt man diese Zahlen nun in 2 beliebige Gruppen (wobei in jeder Gruppe mehr als nur
eine Zahl sein soll), wie beispielsweise in eine Gruppe mit den Zahlen 5 und 7 und eine mit 2
und 3, und bildet jeweils das Produkt der Zahlen einer Gruppe, erhält man 2 Zahlen, nämlich
im Beispiel 35 und 6, die keine Primzahlen sind. Auffällig ist nun, dass die Summe und die
Differenz der beiden errechneten Zahlen Primzahlen ergeben.
Ist damit eine Formel zur Berechung von Primzahlen gefunden?
a)
1
Führen Sie dieses Verfahren an einem Beispiel mit den ersten 5 Primzahlen durch und
überprüfen Sie, ob auch dann Primzahlen herauskommen.
Aus einer Primfaktorzerlegung erhält man die sog. kanonische Primfaktorzerlegung, indem man die Primfaktoren nach der Größe der Basen sortiert und gleiche Faktoren zu Potenzen zusammenfasst.
b) Die beiden Produkte aus Primzahlen sind im Beispiel 35 und 6. Auffällig ist, dass diese
Zahlen keine gemeinsamen Teiler haben. Ist das immer so? (mit Begründung)
c)
In der Tat liefert dieses Verfahren bei kleinen Zahlen viele Primzahlen. Begründen Sie
(mathematisch oder in Worten) warum dieses Verfahren viele Primzahlen liefert.
(Hinweis: Sie haben in (b) schon einen wesentlichen Gedanken dazu verfolgt.)
d) Wann kann man sich sicher sein, dass man eine Primzahl errechnet hat? Warum?
Aufgabe 6 (8 Punkte)
In einer Klausur wurde folgende Aufgabe gestellt: „Es sei n eine Primzahl und n > 3 . Zeigen
Sie: n 2 − 1 ist durch 24 teilbar.“
a)
Beurteilen Sie folgende Lösung:
„Beweis durch vollständige Induktion:
Induktionsanfang n = 5 . Dann ist n 2 − 1 = 24 , also durch 24 teilbar.
Induktionsannahme: Beh. für n richtig.
Schluss auf n + 1 : (n + 1) 2 − 1 = n 2 + 2n + 1 − 1 = n 2 + 2n = n(n + 1) . Da n durch 24 teilbar,
ist n(n + 1) auch durch 24 teilbar.“
b) Finden Sie eine richtige Lösung.
Abgabetermin: Freitag, 27.11.09