Lineare Algebra I

Lineare Algebra I
LVA 405.070
Prüfungsinformationen und -katalog, SS 2017
C. Fuchs
16.03.2017
Die Vorlesungsprüfung ist schriftlich (105 Minuten) und richtet sind nach dem Vorlesungsstoff.
Neben Rechenfertigkeiten sollten die wichtigsten Resultate aus der Vorlesung wiedergegeben
werden können. Ausserdem sollte man, die in diesen Sätzen auftretenden Begriffe erklären, sowie die wichtigsten Beweisideen angeben können.
Hier eine Liste von möglichen Prüfungsfragen aufgelistet in der Reihenfolge der zugehörigen
Kapitel:
1. Was versteht man unter der Treppenform einer Matrix?
2. Was versteht man unter der Treppennormalform einer Matrix?
3. Wie lauten die elementaren Zeilenumformungen?
4. Wie lauten die elementaren Spaltenumformungen?
5. Beschreibe das Gaußsche Eliminationsverfahren.
6. Beschreiben das Verfahren von Gauß-Jordan.
7. Was versteht man unter der Normalform einer Matrix?
8. Formuliere und beweise den Satz von Kronecker-Capelli.
9. Wie sieht die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems aus?
10. Definiere formal korrekt, was man unter einer Matrix versteht.
11. Was versteht man unter einer (inneren) Verknüpfung?
12. Was versteht man unter einer Gruppe?
13. Nenne Eigenschaften einer Gruppe und beweise sie.
14. Was ist eine Untergruppe? Wie lautet das Untergruppenkriterium?
15. Formuliere und beweise das Untergruppenkriterium.
16. Was versteht man unter einem Gruppenhomomorphismus und welche Eigenschaften haben sie?
17. Was versteht man unter einem Ring? Wann heißt ein Ring ein Körper?
18. Welche Eigenschaften gelten in Körpern?
19. Was versteht man unter einem Vektorraum?
20. Welche allgemeinen Eigenschaften gelten in einem Vektorraum?
21. Was versteht man unter einem Unterraum?
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22. Formuliere und beweise das Unterraumkriterium.
23. Sei M eine Menge und K ein Körper. Wie kann man aus der Menge der Abbildungen von
M nach K einen Vektorraum machen?
24. Zeige, dass der Durchschnitt von Unterräumen wieder ein Unterraum ist. Warum ist das
wichtig?
25. Was versteht man unter der Hülle? Gib zwei verschiedene Beschreibungen.
26. Was versteht man unter einer Linearkombination?
27. Wann nennt man eine Menge von Vektoren linear unabhängig?
28. Charakterisiere die lineare Unabhängigkeit einer Menge von Vektoren (inklusive Beweis).
29. Was versteht man unter einem Erzeugendensystem? Was versteht man unter einer Basis?
30. Wie lässt sich eine Basis charakerisieren (inklusive Beweis)?
31. Zeige, dass jeder endlich-erzeugte Vektorraum eine Basis besitzt.
32. Was sagt der Basisergänzungssatz?
33. Was sagt der Basisverkürzungssatz?
34. Formuliere und beweise das Austauschlemma.
35. Was sagt der Austauschsatz von Steinitz?
36. Beweise den Austauschsatz von Steinitz.
37. Was folgt aus dem Austauschsatz von Steinitz?
38. Was versteht man unter der Dimension eines Vektorraumes?
39. Was ist am Dimensionsbegriff so schwierig?
40. Wann sind zwei Vektorräume isomorph (inklusive Beweis)?
41. Wie ist die Summe von zwei Unterräumen definiert?
42. Formulieren den Dimensionssatz.
43. Beweise den Dimensionssatz.
44. Wann heißt eine Summe direkt?
45. Charakterisiere direkte Summen (inklusive Beweis).
46. Was versteht man unter einem Komplement? Zeige, dass in einem endlich-dimensionalen
Vektorraum Komplemente stets existieren.
47. Wie ist die direkte Summe von mehr als zwei Unterräumen definiert?
48. Was versteht man unter einer linearen Abbildung?
49. Welche wichtigen Eigenschaften haben lineare Abbildungen?
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50. Zeige, dass die Komposition von linearen Abbildungen wieder linear ist.
51. Was versteht man unter einem Endomorphismus eines Vektorraumes?
52. Was versteht man unter dem Kern einer linearen Abbildung? Zeige, dass der Kern ein
Untervektorraum ist.
53. Wie hängt der Kern mit der Injektivität zusammen?
54. Was versteht man unter einer Faser?
55. Formuliere und beweise die Rangformel.
56. Was besagt der Faktorisierungssatz?
57. Was versteht man unter dem Faktorraum? Wie sind die Vektorraumoperationen definiert?
58. Formuliere und beweise den Homomorphiesatz für lineare Abbildungen.
59. Formuliere und beweise den Fortsetzungssatz für lineare Abbildungen.
60. Zeige, dass jede lineare Abbildung von K n nach K m durch eine eindeutig bestimmte
Matrix gegeben ist.
61. Was versteht man unter einer Koordinatisierung?
62. Was versteht man unter der Koordinatisierung einer linearen Abbildung?
63. Was versteht man unter der Koordinatenmatrix einer linearen Abbildung?
64. Was steht in den Spalten der Koordinatenmatrix Mβγ (f )?
65. Was besagt das Normalformenproblem für lineare Abbildungen? Wie lautet die Lösung
(inklusive Begründung)?
66. Wie hängt die Verkettung von Abbildungen mit dem Matrizenprodukt zusammen (inklusive Beweis)?
67. Wann heißt eine Matrix regulär? Wie nennt man eine nicht reguläre Matrix?
68. Charakterisiere reguläre Matrizen über lineare Abbildungen.
69. Zeige, dass die regulären Matrizen eine Gruppe bilden.
70. Was ist die inverse Matrix? Welche Eigenschaften hat sie?
71. Was versteht man unter einem Koordinatenwechsel?
72. Was ist die Transformationsmatrix? Was steht in den Spalten der Transformationsmatrix
Tβγ ?
73. Formuliere und beweise die Transformationsformel.
74. Wann nennt man zwei Matrizen äquivalent?
75. Wann nennt man zwei Matrizen ähnlich?
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76. Charakterisiere äquivalente Matrizen (inklusive Beweis).
77. Warum stimmen Zeilen- und Spaltenrang einer Matrix überein?
78. Was versteht man unter einer Elementarmatrix? Was ist die Bedeutung von Elementarmatrizen?
79. Zeige, dass jede invertierbare Matrix als Produkt von Elementarmatrizen dargestellt werden kann.
80. Was versteht man unter der Determinante einer Matrix der Dimension n?
81. Was besagt die Regel von Sarrus?
82. Nenne (und beweise) Eigenschaften der Determinante.
83. Wie lautet der Cauchy’sche Produktsatz für Determinanten (inklusive Beweis)?
84. Wie lautet die Leibniz’sche Definition der Determinante?
85. Zeige, dass die Leibniz’sche Formel eine Determinante definiert.
86. Zeige, dass die Determinante von A und t A übereinstimmt.
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