Lsg 6 - Luchsinger Mathematics AG

Dr. Christoph Luchsinger
Übungsblatt 6 zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsgrössen
Herausgabe des Übungsblattes: Woche 13, Abgabe der Lösungen: Woche 14 (bis Freitag, 16.15 Uhr), Besprechung: Woche 15
Must
Aufgabe 32 [X und |X|]
Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Sei |X| eine Zufallsgrösse. Zeigen Sie anhand eines Beispiels,
dass dann X nicht zwingend eine Zufallsgrösse sein muss (die Umkehrung ist aber richtig: X Zufallsgrösse,
dann auch |X| Zufallsgrösse; kommt noch in Vlsg).
Standard
Aufgabe 33 [einfaches Beispiel zur mb] [2+2+2+2 Punkte]
Sei Ω := {1, 2, 3, 4, 5, 6} und F := σ({1, 2, 3, 4}, {3, 4, 5, 6}).
a) Geben Sie alle Elemente von F an.
b) Sei die Funktion X folgendermassen definiert:
X(ω) :=
2
7
falls ω ∈ {1, 2, 3, 4}
falls ω ∈ {5, 6}.
Ist X auch mb bzgl F und damit eine ZG auf (Ω, F)?
c) Geben Sie ein Beispiel einer Funktion auf Ω an, die nicht mb ist bzgl (Ω, F).
d) Geben Sie ein P auf (Ω, F) an, so dass jedem Ereignis entweder 0 oder 1 zugewiesen wird.
Aufgabe 34 [PX ] [4 Punkte]
Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Sei X eine Zufallsgrösse auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum.
Zeigen Sie: durch
PX (B) := P [X −1 (B)] := P [{ω|X(ω) ∈ B}]
wird eine Wahrscheinlichkeit auf (R, B(R)) definiert.
Honours
Aufgabe 35 [Verknüpfung von messbaren Abbildungen] [2 Punkte]
Seien (E1 , E1 ), (E2 , E2 ) und (E3 , E3 ) drei Messräume. Seien f : E1 → E2 und g : E2 → E3 jeweils E1 − E2 messbare bzw E2 − E3 -messbare Abbildungen. Zeigen Sie:
h := g ◦ f : E1 → E3
ist E1 − E3 -messbar.
Frühjahrsemester 2012
Olivier Warin
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Übungsblatt 6 zur Vorlesung “Wahrscheinlichkeitstheorie”
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Olivier Warin
15. April 2012
Aufgabe 32 [X und |X|]
Seien Ω = {©, §}, A = {∅, Ω} und X : Ω → R definiert durch
(
2,
falls ω = ©
X(ω) =
−2, falls ω = §.
Nun gilt
X −1 ((−1, 3]) = {©} 6∈ A,
also kann X nach Definition 2.4 keine Zufallsgrösse sein.
Weiter gilt
|X(ω)| = 2, für alle ω ∈ Ω.
Folglich gilt für alle B ∈ B(R):
X
−1
(B) =
(
Ω ∈ A, falls 2 ∈ B
∅ ∈ A, falls 2 6∈ B.
Nach Definition 2.4 ist also |X| eine Zufallsgrösse.
Aufgabe 33 [einfaches Beispiel zur mb]
Sei Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} und F = σ({1, 2, 3, 4}, {3, 4, 5, 6}).
a) Es gilt
F = {Ω, ∅, {1, 2, 3, 4}, {5, 6}, {3, 4, 5, 6}, {1, 2}, {1, 2, 5, 6}, {3, 4}}.
b) Die Funktion X : Ω → R sei wie folgt definiert:
(
2, falls ω ∈ {1, 2, 3, 4}
X(ω) =
7, falls ω ∈ {5, 6}.
Behauptung: Die Funktion X ist messbar (mb).
Beweis: Sei B ∈ B(R).
Falls 2 ∈ B und 7 ∈ B folgt X(ω) ∈ B, für alle ω ∈ Ω und damit
X −1 (B) = Ω ∈ F.
Falls 2 ∈ B und 7 6∈ B, so folgt
X −1 (B) = {1, 2, 3, 4} ∈ F.
Analog folgt, falls 2 6∈ B und 7 ∈ B, dass
X −1 (B) = {5, 6} ∈ F.
Schliesslich gilt noch im Fall, dass 2 6∈ B und 7 6∈ B:
X −1 (B) = ∅ ∈ F.
Zusammengefasst gilt in jedem Fall X −1 (B) ∈ F, also ist X messbar (mb).
Frühjahrsemester 2012
Olivier Warin
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c) Wir definieren Y : Ω → R durch Y (ω) = ω. Nun ist Y nicht messbar, denn es gilt zum Beispiel
Y −1 ((0, 1]) = {1} 6∈ F.
d) Wir wählen das folgende Dirac-Mass P auf (Ω, F):
(
1, falls 1 ∈ A
P (A) =
0, sonst.
Es ist nun leicht, einzusehen, dass dies eine Wahrscheinlichkeit definiert. Ausserdem ist nach Konstruktion offensichtlich, dass jedem Ereignis entweder 0 oder 1 zugewiesen wird.
Aufgabe 34 [PX ]
Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Sei X eine Zufallsgrösse auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum.
Behauptung: Die Abbildung PX : B(R) → R, definiert durch
PX (B) = P [X −1 (B)] = P [{ω ∈ Ω | X(ω) ∈ B}],
definiert eine Wahrscheinlichkeit auf (R, B(R)).
Beweis: Aufgrund der Messbarkeit von X, ist zunächst einmal PX wohldefiniert. Das heisst hier, dass für
alle Borelmengen B X −1 (B) in der σ-Algebra A liegt und somit der Ausdruck P [X −1 (B)] Sinn macht.
(Beachte, dass die Wahrscheinlichkeit P nur auf Mengen aus A definiert ist!)
Weiter gilt
PX (R) = P [X −1 (R)] = P [Ω] = 1.
Ausserdem gilt für jede Borel-Menge B klar PX (B) = P [X −1 (B)] > 0.
Sei nun (Bn )n∈N eine paarweise disjunkte Folge von Borel-Mengen. Damit sind die Ereignisse X −1 (Bn )
wegen Lemma 2.2 d) ebenfalls disjunkt. Wir schliessen
∞
∞
X
X
S
S∞
−1 S ∞
−1
−1
PX [ ∞
B
]
=
P
[X
(
B
)]
=
P
[
X
(B
)]
=
P
[X
(B
)]
=
PX [B].
n
n
n=1 n
n=1 n
n=1
n=1
n=1
Somit ist die Behauptung gezeigt.
Aufgabe 35 [Verknüpfung von messbaren Abbildungen]
Seien (E1 , E1 ), (E2 , E2 ) und (E3 , E3 ) drei Messräume. Seien f : E1 → E2 und g : E2 → E3 jeweils
E1 − E2 -messbare bzw. E2 − E3 -messbare Abbildungen.
Behauptung: Die Abbildung h = g ◦ f : E1 → E3 ist E1 − E3 -messbar.
Beweis: Sei A3 ∈ E3 . Da g E2 − E3 -messbar ist, folgt dass g −1 (A3 ) ∈ E2 . Die Abbildung f ist nach
Voraussetzung E1 − E2 -messbar. Somit folgt
f −1 (g −1 (A3 )) ∈ E1 .
Weiter gilt
e1 ∈ f −1 (g −1 (A3 )) ⇔ f (e1 ) ∈ g −1 (A3 ) ⇔ g(f (e1 )) = h(e1 ) ∈ A3 ⇔ e1 ∈ h−1 (A3 ),
also h−1 (A3 ) = f −1 (g −1 (A3 )) ∈ E1 . Folglich ist h E1 − E3 -messbar.
Frühjahrsemester 2012
Olivier Warin
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