Lsg 7 - Luchsinger Mathematics AG

Übungsblatt 7 zur Vorlesung “Wahrscheinlichkeitstheorie”
Seite 1 von 3
Übungsblatt 7 zur Vorlesung “Wahrscheinlichkeitstheorie”
Olivier Warin
2. Mai 2014
Aufgabe 36 (alternative Definition Zufallsgrösse I)
Es sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Weiter sei X : Ω → R eine Funktion.
Behauptung: Die folgenden Aussagen sind äquivalent.
a) Für alle reellen Zahlen a gilt {ω ∈ Ω | X(ω) 6 a} ∈ A.
b) Für alle reellen Zahlen b gilt {ω ∈ Ω | X(ω) < b} ∈ A.
c) Für alle reellen Zahlen c gilt {ω ∈ Ω | X(ω) > c} ∈ A.
d) Für alle reellen Zahlen d gilt {ω ∈ Ω | X(ω) > d} ∈ A.
Beweis:
“a) ⇒ b)” Es gilt für alle reellen Zahlen b
{ω ∈ Ω | X(ω) < b} =
S∞
n=1 {ω
∈ Ω | X(ω) 6 b − 1/n} ∈ A.
“b) ⇒ c)” Es gilt für alle reellen Zahlen c
{ω ∈ Ω | X(ω) > c} = {ω ∈ Ω | X(ω) < c}c ∈ A.
“c) ⇒ d)” Es gilt für alle reellen Zahlen d
{ω ∈ Ω | X(ω) > d} =
S∞
n=1 {ω
∈ Ω | X(ω) > d + 1/n} ∈ A.
“d) ⇒ a)” Es gilt für alle reellen Zahlen a
{ω ∈ Ω | X(ω) 6 a} = {ω ∈ Ω | X(ω) > a}c ∈ A.
Aufgabe 37 (alternative Definition Zufallsgrösse II)
Es sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω → R eine Funktion.
Behauptung: Die folgenden Aussagen sind äquivalent.
a) Für alle reellen Zahlen a gilt {ω ∈ Ω | X(ω) 6 a} ∈ A (WTS-Definition 2.1).
b) Für alle Borel-Mengen B gilt X −1 (B) ∈ A. (WT-Definition 2.4).
Beweis:
“a) ⇒ b)” Aufgrund von Lemma 2.2, der Definition von B(R) und Definition 1.1, reicht es zu zeigen,
dass für alle reellen Zahlen a, b mit a < b gilt X −1 ((a, b]) ∈ A.
Mit Lemma 2.2 können wir schliessen:
X −1 ((a, b])c = X −1 ((a, b]c ) = X −1 ((−∞, a] ∪ (b, ∞)) = X −1 ((−∞, a]) ∪ X −1 ((b, ∞))
= {ω ∈ Ω | X(ω) 6 a} ∪ {ω ∈ Ω | X(ω) > b}.
Nach Aufgabe 36 liegen diese beiden Mengen in A. Es folgt sofort X −1 ((a, b])c ∈ A und damit
X −1 ((a, b]) ∈ A.
Frühjahrsemester 2012
Olivier Warin
Seite 1 von 3
Übungsblatt 7 zur Vorlesung “Wahrscheinlichkeitstheorie”
Seite 2 von 3
“b) ⇒ a)” Sei a ∈ R. Nun gilt
{ω ∈ Ω | X(ω) 6 a} = X −1 ((−∞, a]) ∈ A,
da (−∞, a] ∈ B(R).
Aufgabe 38 (σ(X))
Es sei Ω eine nicht-leere Menge und X : Ω → R eine Funktion.
Behauptung: Die σ-Algebra σ(X) = {X −1 (B) | B ∈ B(R)} aus Lemma 2.9 ist die kleinste σ-Algebra
von Ω, bezüglich der X messbar ist.
Beweis: Es sei A eine σ-Algebra, derart dass X bezüglich A messbar ist. Wir zeigen jetzt A ⊃ σ(X).
Da X bezüglich A messbar ist, ist dies klar denn dies bedeutet ja genau, dass für jede Borel-Menge
B gilt X −1 (B) ∈ A. Also ist per Definition jedes Element von σ(X) auch in A enthalten.
Dies bedeutet genau, dass σ(X) die kleinste σ-Algebra ist, bezüglich welcher X messbar ist.
Aufgabe 39 (Algebraische Operationen von Zufallsgrössen I)
Es sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A sei ein Ereignis. Weiter seien X und Y zwei Zufallsgrössen auf (Ω, A, P ).
Behauptung: Die Funktion Z : Ω → R, definiert durch
(
X(ω), falls ω ∈ A
Z(ω) =
Y (ω), falls ω ∈ Ac ,
ist eine Zufallsgrösse.
Beweis: Sei B eine Borel-Menge. Nun gilt
Z −1 (B) = (A ∩ Z −1 (B)) ∪ (Ac ∩ Z −1 (B)) = (A ∩ X −1 (B)) ∪ (Ac ∩ Y −1 (B)) ∈ A.
Beachte dazu, dass gilt
A ∩ Z −1 (B) = {ω ∈ A | Z(ω) ∈ B} = {ω ∈ A | X(ω) ∈ B} = A ∩ X −1 (B)
Ac ∩ Z −1 (B) = {ω ∈ Ac | Z(ω) ∈ B} = {ω ∈ Ac | Y (ω) ∈ B} = Ac ∩ Y −1 (B).
Also ist Z eine Zufallsgrösse.
Aufgabe 40 (Algebraische Operationen von Zufallsgrössen II)
Es sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X, Y zwei Zufallsgrössen darauf.
Behauptung: Die Mengen {X 6 Y }, {X < Y } und {X = Y } sind Ereignisse.
Beweis: Nach Lemma 2.10 a) ist Z = X − Y eine Zufallsgrösse. Damit folgt
{X 6 Y } = {Z 6 0} = Z −1 ((−∞, 0]) ∈ A
{X < Y } = {Z < 0} = Z −1 ((−∞, 0)) ∈ A
{X = Y } = {Z = 0} = Z −1 ({0}) ∈ A.
Aufgabe 41 (Random Walk und Filtration)
Es sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Weiter sei T = {0, 1, 2, 3} und (Xi )3i=1 seien iid Be(p)Zufallsgrössen mit P [Xi = 1] = P [Xi = −1] = 0.5. Konkret nehmen wir hier
Ω = {•••, ••◦, •◦•, •◦◦, ◦••, ◦•◦, ◦◦•, ◦◦◦},
Frühjahrsemester 2012
Olivier Warin
Seite 2 von 3
Übungsblatt 7 zur Vorlesung “Wahrscheinlichkeitstheorie”
Seite 3 von 3
A = P(Ω), P [{ω}] = 1/|Ω| = 1/8 für alle ω ∈ Ω und für i = 1, 2, 3:
(
1,
falls xi = •,
Xi (x1 x2 x3 ) =
−1, falls xi = ◦.
Weiter definieren wir für n = 0, 1, 2, 3: Sn =
Pn
i=1
Xi .
Nun setzen wir
A0 = σ(S0 ) = {∅, Ω}
A1 = σ(A0 ∪ σ(S1 )) = {∅, {•••, ••◦, •◦•, •◦◦}, {◦••, ◦•◦, ◦◦•, ◦◦◦}, Ω}
A2 = σ(A1 ∪ σ(S2 )) = {∅, {•••, ••◦}, {•◦•, •◦◦}, {◦••, ◦•◦}, {◦◦•, ◦◦◦}, {•••, ••◦, •◦•, •◦◦},
{•••, ••◦, ◦••, ◦•◦}, {•••, ••◦, ◦◦•, ◦◦◦}, {•◦•, •◦◦, ◦••, ◦•◦}, {•◦•, •◦◦, ◦◦•, ◦◦◦},
{◦••, ◦•◦, ◦◦•, ◦◦◦}, {•••, ••◦, •◦•, •◦◦, ◦••, ◦•◦}, {•••, ••◦, •◦•, •◦◦, ◦◦•, ◦◦◦},
{•••, ••◦, ◦••, ◦•◦, ◦◦•, ◦◦◦}, {•◦•, •◦◦, ◦••, ◦•◦, ◦◦•, ◦◦◦}, Ω}
A3 = P(Ω).
Für n = 0, 1, 2, 3 ist damit nach Konstruktion Sn An − B(R)-messbar. Ausserdem gilt offensichtlich
A0 ( A1 ( A2 ( A3 , wie in der Aufgabenstellung gewünscht. Beachte dazu |A0 | = 2, |A1 | = 4,
|A2 | = 16, |A3 | = 256.
Frühjahrsemester 2012
Olivier Warin
Seite 3 von 3