(P/R = Lehrbuch Pindyck/Rubinfeld)

Dr. M. Ruiz HWI-B.Sc. WS1011 Fragen zur Vorl. vom 25.11.10 Seite 1 von 2 Seiten.
Frage 49
Studieren Sie die Aufgabe im Abschnitt 5.1.3 im Pindyck/Rubinfeld. (Siehe Frage 45)
Tragen Sie die Parameter beiden Job-Alternativen als zwei Punkte in ein Koordinatensystem ein mit
dem erwarteten Einkommen auf der Ordinate und der Standardabweichung auf der Abzisse. Erläutern
Sie, was man hier unter einem risikoaversen Investor A, einem risikofreudigen Investor B und unter
einem risikoneutralen Investor C versteht. Wie würden sich A, B und C jeweils bei der Entscheidung
zwischen den beiden Anstellungen verhalten?
Frage 50 (Hinweis: Studieren Sie P/R 5.3.1. S. 232f und Tabelle 5.5 , dort findet sich eine ähnliches
Beispiel, die Vorteile einer Diversifikation bei einer kombinierten Produktion von Klimaanlagen und
Heizgeräten betreffend.)
Ein Unternehmer erwägt, 20 Euro in ein Projekt I oder ein Projekt II zu investieren, bei dem es jeweils
drei mögliche Ergebnisse mit den folgenden Wahrscheinlichkeiten gibt:
i
1
2
3
Wahrscheinlichkeit wi
0,2
0,4
0,4
Projekt I
Ertrag Xi
100 Euro
50 Euro
-25 Euro
Projekt II
Ertrag Xi
-40 Euro
10 Euro
85 Euro
a) Erläutern Sie: Was versteht man ganz allgemein unter dem Erwartungswert E(X) und was unter der
Varianz s2(X) bzw der Standardabweichung s(X) einer Zufallsvariable X?
Berechnen Sie für das Projekt I und für das Projekt II jeweils den Erwartungswert der Erträge und die
Standardabweichung s der Erträge (Maß für das Risiko, das häufig zusätzlich zum Erwartungswert zur
Beurteilung herangezogen wird).
(Erwartungswert E(X) = w1X1 + w2x2 + w3X3
Standardabweichung s(X) = ( w1(X1-E(X) )2 + w2(X2-E(X))2 + w3(X3-E(X))2 )0,5
Projekt I: 30 / 48,48 Projekt II: 30 / 48,48 beide Projekte haben hier die gleichen Parameter E
und s)
b) Ein Unternehmer will auf jeden Fall investieren und entscheidet sich nach dem Maximin-Kriterium,
was wird er tun?
(Wahl von Projekt I. Wenn er, entgegen der obigen Fragestellung auch die zusätzliche Alternative III
"nicht investieren" prüft, würde er nicht investieren und Euro 20 sicher haben.)
c) Erläutern Sie, was man unter einem stark risikoaversen Investor A, einem risikofreudigen Investor
B und unter einem risikoneutralen Investor C versteht. Wie würden Sie sich gegenüber Projekt I
verhalten? (mit Begründungen)
(A: investiert nicht, weil er das Risiko möglichst vermeidet, es sei denn, er wird durch einen besonders
hohen Anstieg des Erwartungswertes für das Risiko entschädigt.
B: investiert, weil er neben dem
Erwartungswert auch das Risiko und die Chance auf hohe Erträge schätzt. C: investiert, weil er sich
nur nach der Höhe des Erwartungswertes orientiert und ihm das Risiko egal ist.) (Zum Verständnis
vgl. Pindyck/Rubinfeld Abschnitt 5 Einleitung.) Beachten Sie, das "Risiko" als Fachbegriff hier ein
zweiseitiges Konzept ist mit der Möglichkeit zu niedrigeren Erträgen als dem Erwartungswert, aber
auch zu höheren Erträgen! Im Alltag wird der Begriff meist nur für Verluste verwendet.
d) Der risikoaverse Investor A erwägt, gleichzeitig zweimal 20 Euro zu investieren, nachdem man ihm
erzählt hat, dass er durch "Diversifikation" , also durch Aufteilung der Ressourcen auf verschiedene
Projekte das Risiko seiner Gesamtanlage unter Umständen vermindern kann. ("Nicht alle Eier in
einen Korb legen!") Errechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung einer solchen
kombinierten Investition aus Projekt I und Projekt II. Was wird Investor A jetzt tun?
(Projekt I + Projekt II: Der Erwartungswert beträgt 60 Euro, die Standardabweichung ist in diesem
speziellen Fall sogar gleich 0! Der risikoaverse Investor A wird jetzt investieren, weil er aus sicheren
40 Euro in der Ausgangslage hier 60 Euro sicher erzielen kann, ohne das Risiko zu erhöhen. Richtige
Diversifikation kann also das Risiko einer kombinierten Anlage u.U. sogar auf Null senken!!! )
Dr. M. Ruiz HWI-B.Sc. WS1011 Fragen zur Vorl. vom 25.11.10 Seite 2 von 2 Seiten.
Erläuterung:
In beiden Aufgaben 46 und 50 wird untersucht, ob eine Situation I mit einem mit Sicherheit
verfügbarer Betrag einer anderen Situation II mit einem bestimmten Erwartungswert und positivem
Risiko vorgezogen wird, oder ob beide Situationen als äquivalent angesehen werden, oder ob
Situation II der Situation I vorgezogen wird.
Ein risikoaverser Mensch verlangt für die Übernahme des Risikos in Situation II eine sog.
Risikoprämie in Form eines höheren Erwartungswertes, nur dann empfindet er beide Situationen I und
II als gleichwertig.
In 50c geht es darum, ob Situation I ( Ausgangssituation 20 Euro sicher, Risiko gleich Null) besser ist
als Situation II (Investition mit Erwartungswert 30 Euro und Risiko s= 48). Nur in diesem Falle wird
investiert. Ein risikofeindlicher Investor wird prüfen, ob die Risikoprämie in Höhe des zusätzlichen
Erwartungswertes von +10 Euro ausreicht, um I zu verlassen und die Übernahme des Risikos in II zu
rechtfertigen. Ein sehr risikofeindlicher Investor wird das verneinen und I vorziehen..
In 46e geht es darum, welche Situation I (welcher mit Sicherheit zu zahlende Preis der Lotterie) als
angemessen empfunden wird, wenn man dafür eine Situation II (Lotterie mit Gewinn-Erwartungswert
27 und Gewinn-Varianz 841) erhält. Ein risikoaverser Lotteriespieler würde nur dann spielen (die
Situation II der Situation I vorziehen), wenn er für die Übernahme des Risikos eine hinreichend große
Prämie bekommt. Seine Prämie ergibt sich bei gegebenem Erwartungswert der Lotterie von 27
daraus, daß der Lotterie-Preis deutlich niedriger liegt als der Gewinn-Erwartungswert der Lotterie. Nur
wenn die Prämie (Erwartungswert minus Preis) als angemessen empfunden wird, wird der
risikoaverse Mensch Situation II wählen. Je höher seine Risikoabneigung und seine geforderte
Risikoprämie, desto niedriger der von ihm akzeptierte Preis. j In den Ihnen bekannten Lotterien
liegen die Preise in der Regel wesentlich höher als die Gewinn-Erwartungswerte. Daraus kann man
schließen, dass die Lotterie-Teilnehmer in Bezug auf Lotterien recht risikofreundig sind.)
Frage 51
a) X sei die Körpergröße von männlichen Studenten in Hamburg. X hängt bekanntlich von vielen
Einflußgrößen ab. Der Erwartungswert sei 1,78 m. Erläutern Sie: Wie wird die Dichtefunktion f(X)
vermutlich aussehen? (Zeichnung mit f(x) auf der Ordinate und X auf der Abzisse).
b) Zeichnen Sie für eine Aktie in ein Diagramm mit den Wahrscheinlichkeiten f(x) auf der Ordinate und
den Gewinnen x auf der Abzisse, mit welchen Wahrscheinlichkeiten welche Gewinne auftreten
können. Unterstellen Sie dabei, dass die Zufallsvariable "Gewinn" gemäß der Gauss´schen
Normalverteilung (Glockenkurve) normalverteilt ist mit einem Erwartungswert von 10 Euro und einer
gegebenen Standardabweichung. Beschreiben Sie die Eigenschaften einer solchen "Dichtefunktion".
c) Die beiden Aktien "Commerzbank" und "Münchener Rück" waren in einem vergangenen Jahr
dadurch gekennzeichnet, dass der Erwartungswert des Gewinns für beide gleich groß ist, aber die
Commerzbank hatte ein mehrfach höheres Risiko (viel höhere Standardabweichung s) aufzuweisen.
Zeichnen Sie die Dichtefunktionen dieser beiden Aktien in ein Diagramm, wie unter b beschrieben.
d) In den vier Quadranten einer sog. Risk-Return-Map kann man verschiedene Aktien als Punkte
eintragen, wobei jede Aktie (jeder Punkt) durch die zwei Parameter Erwartungswert und Risiko
gekennzeichnet ist.
Beschreiben Sie allgemein: Welche Aktien stehen im Nordwest-Quadranten, im Nordost-Quadranten,
im Südwest-Quadranten und im Südostquadranten??
- Für welchen Quadrant interessiert sich ein Anleger, der an moderaten Gewinnen interessiert ist, aber
das Risiko auf jeden Fall klein halten möchte?
- Für welchen Quadrant interessiert sich ein waghalsiger und risikofreudiger Anleger, der mit hohen
Gewinnen belohnt werden möchte?
- Welcher Quadrant kommt für keinen rationalen Anleger in Frage? (mit Begründung)
e) Informieren Sie sich über die Eigenschaften der 30 DAX-Aktien in den letzten 52 Wochen im
Internet zb. unter www.onvista.de /
Aktien / risk-return-map
(Einstellungen:DAX, 52 Wochen, relative Skala)
Welche Aktie hatte in den vergangen 52 Wochen die höchste Performance (Erwartungswert) und
welche die niedrigste, welche Aktie hatte die höchste Volatilität (Variationskoeffizient , und welche die
niedrigste?????