Zeichnen von Netzwerken unter Berücksichtigung von Kantenlängen
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Kolloquium zur Bachelorarbeit Zeichnen von Netzwerken unter Berücksichtigung von Kantenlängen Matthias Neumann Motivation Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 2 Motivation Übersichtliche Darstellung von Bahnverbindungen Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 2 Motivation Übersichtliche Darstellung von Bahnverbindungen Visualisierung von Reisezeiten Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 2 Vorangegangene Arbeiten Nöllenburg und Wolff: Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 3 Übersichtliche Darstellung Nöllenburg und Wolff: Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 3 Übersichtliche Darstellung Nöllenburg und Wolff: Automatischer Entwurf mit Hilfe linearer Optimierung Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 3 Übersichtliche Darstellung Nöllenburg und Wolff: Automatischer Entwurf mit Hilfe linearer Optimierung Auszeichnung von Haltestellen ohne Überlappung Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 3 Übersichtliche Darstellung Fink et al.: Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 4 Übersichtliche Darstellung Fink et al.: Kräftebasierter Algorithmus zum Zeichnungsentwurf Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 4 Übersichtliche Darstellung Fink et al.: Kräftebasierter Algorithmus zum Zeichnungsentwurf Darstellung der Kanten durch Beziérkurven Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 4 Darstellung der Reisezeit Galton: Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 5 Darstellung der Reisezeit Galton: Isochrone Karten: Linien gleicher Reisezeit ausgehend von einem Punkt Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 5 Darstellung der Reisezeit Haverkort: Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 6 Darstellung der Reisezeit Haverkort: Linienstärke: Je dicker die Linie, desto schneller die Verbindung. Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 6 Darstellung der Reisezeit Haverkort: Linienstärke: Je dicker die Linie, desto schneller die Verbindung. Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 6 Darstellung der Reisezeit Haverkort: Linienstärke: Wärmebild: Je dicker die Linie, desto schneller die Verbindung. Je dunkler die Farbe, desto langsamer die Verbindung. Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 6 Darstellung der Reisezeit Haverkort: Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 7 Darstellung der Reisezeit Haverkort: Oszillation: Je mehr sich die Linie schlängelt, desto langsamer die Verbindung. Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 7 Darstellung der Reisezeit Haverkort: Oszillation: Je mehr sich die Linie schlängelt, desto langsamer die Verbindung. Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 7 Darstellung der Reisezeit Haverkort: Oszillation: Einteilung in Zonen: Je mehr sich die Linie schlängelt, desto langsamer die Verbindung. Je mehr Zonen durchquert werden, desto langsamer die Verbindung. Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 7 Darstellung der Reisezeit Stevens: Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 8 Darstellung der Reisezeit Stevens: Fixed Minute Methode: Einteilung der Strecke in Etappen von einer Minute Fahrtzeit. Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 8 Darstellung der Reisezeit Weitere Hinweise auf die Reisezeit: Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 9 Darstellung der Reisezeit Weitere Hinweise auf die Reisezeit: • Maßstabsgetreue Karten • Fahrbahnkategorien Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 9 Darstellung der Reisezeit Weitere Hinweise auf die Reisezeit: • Maßstabsgetreue Karten • Fahrbahnkategorien Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 9 Darstellung der Reisezeit Weitere Hinweise auf die Reisezeit: • Maßstabsgetreue Karten • Einteilung in Tarifzonen • Fahrbahnkategorien Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 9 Mathematische Grundlagen Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 10 Ungerichtete Graphen Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 10 Ungerichtete Graphen Grad deg(𝑢) eines Knotens 𝑢 Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 10 Ungerichtete Graphen Grad deg(𝑢) eines Knotens 𝑢 • Anzahl 𝑖 der benachbarten Knoten 𝑣1 , … , 𝑣𝑖 • Unabhängig von ein- und ausgehenden Kanten Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 10 Ungerichtete Graphen 3 1 2 3 0 2 4 1 Grad deg(𝑢) eines Knotens 𝑢 • Anzahl 𝑖 der benachbarten Knoten 𝑣1 , … , 𝑣𝑖 • Unabhängig von ein- und ausgehenden Kanten Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 10 Beziérkurven Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 11 Beziérkurven • Kurve vom Grad 𝑛 durch 𝑛 + 1 Beziérpunkte bestimmt Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 11 Beziérkurven • Kurve vom Grad 𝑛 durch 𝑛 + 1 Beziérpunkte bestimmt • 𝐶 𝑡 = Einführung 𝑛 𝑖=0 𝐵𝑖,𝑛 Grundlagen 𝑡 𝑃𝑖 mit 𝐵𝑖,𝑛 𝑛 𝑖 𝑡 = 𝑡 (1 − 𝑡)𝑛−𝑖 𝑖 Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 11 Beziérkurven • Kurve vom Grad 𝑛 durch 𝑛 + 1 Beziérpunkte bestimmt • 𝐶 𝑡 = 𝑛 𝑖=0 𝐵𝑖,𝑛 𝑡 𝑃𝑖 mit 𝐵𝑖,𝑛 𝑛 𝑖 𝑡 = 𝑡 (1 − 𝑡)𝑛−𝑖 𝑖 • Beziérpunkte spannen Kontrollpolygon auf Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 11 Übergänge zwischen Beziérkurven Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 12 Übergänge zwischen Beziérkurven • Angleichen der Tangenten im Übergangspunkt Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 12 Übergänge zwischen Beziérkurven • Angleichen der Tangenten im Übergangspunkt • Tangenten verlaufen entlang der Kanten des Kontrollpolygons Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 12 Länge einer Beziérkurve • Länge einer Kurve: Einführung Grundlagen 𝑏 𝑎 𝑓𝑥′ (𝑡)2 + 𝑓𝑦′ (𝑡)2 𝑑𝑡 Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 13 Länge einer Beziérkurve • Länge einer Kurve: 𝑏 𝑎 𝑓𝑥′ (𝑡)2 + 𝑓𝑦′ (𝑡)2 𝑑𝑡 • Ab Beziérkurven vom Grad 𝑛 = 3, Polynome fünften oder Höheren Grades im Wurzelausdruck Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 13 Länge einer Beziérkurve • Länge einer Kurve: 𝑏 𝑎 𝑓𝑥′ (𝑡)2 + 𝑓𝑦′ (𝑡)2 𝑑𝑡 • Ab Beziérkurven vom Grad 𝑛 = 3, Polynome fünften oder Höheren Grades im Wurzelausdruck • Allgemeine Polynome fünften oder höheren Grades nicht mehr durch Wurzelausdrücke auflösbar (Satz von Abel-Ruffini) Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 13 Länge einer Beziérkurve • Länge einer Kurve: 𝑏 𝑎 𝑓𝑥′ (𝑡)2 + 𝑓𝑦′ (𝑡)2 𝑑𝑡 • Ab Beziérkurven vom Grad 𝑛 = 3, Polynome fünften oder Höheren Grades im Wurzelausdruck • Allgemeine Polynome fünften oder höheren Grades nicht mehr durch Wurzelausdrücke auflösbar (Satz von Abel-Ruffini) → Approximative Bestimmung der Länge Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 13 Algorithmus zur Längenberechnung Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 14 Algorithmus zur Längenberechnung • Annäherung der Berziérkurve durch Strecken Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 14 Algorithmus zur Längenberechnung • Annäherung der Berziérkurve durch Strecken Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 14 Algorithmus zur Längenberechnung • Annäherung der Berziérkurve durch Strecken Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 14 Algorithmus zur Längenberechnung • Annäherung der Berziérkurve durch Strecken • Summe der Streckenlängen entspricht näherungsweise der Länge der Kurve Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 14 Erstellen eines Streckenplanes Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 15 Erstellen eines Streckenplanes Würzburger Straßenbahnnetz: • Koordinaten der Haltestellen aus OpenStreetMap Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 15 Erstellen eines Streckenplanes Würzburger Straßenbahnnetz: Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 16 Erstellen eines Streckenplanes Würzburger Straßenbahnnetz: • Fahrtzeiten aus den Fahrplänen des VVM Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 16 Vorverarbeitung Kreuzungen: Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 17 Vorverarbeitung Kreuzungen: • Kommen selten vor • Einfügen von Scheinknoten an Schnittpunkten zur Vermeidung Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 17 Vorverarbeitung Umwandlung der Kanten in Beziérkurven: Kreuzungen: • Kommen selten vor • Einfügen von Scheinknoten an Schnittpunkten zur Vermeidung Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 17 Vorverarbeitung Umwandlung der Kanten in Beziérkurven: Kreuzungen: • Kommen selten vor • Einfügen von Scheinknoten an Schnittpunkten zur Vermeidung Einführung Grundlagen • Einfügen von zwei zusätzlichen Punkten Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 17 Vorverarbeitung Umwandlung der Kanten in Beziérkurven: Kreuzungen: • Kommen selten vor • Einfügen von Scheinknoten an Schnittpunkten zur Vermeidung Einführung Grundlagen • Einfügen von zwei zusätzlichen Punkten • Ergeben Beziérkurve vom Grad drei Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 17 Kräftebasierter Algorithmus Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 18 Kräftebasierter Algorithmus • Anwendung von Kräften auf Knoten und Kanten, um diese in eine gewünschte Form/Position zu bringen Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 18 Kräftebasierter Algorithmus • Anwendung von Kräften auf Knoten und Kanten, um diese in eine gewünschte Form/Position zu bringen • Kräfte wirken über mehrere Iterationen hinweg Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 18 Kräftebasierter Algorithmus • Anwendung von Kräften auf Knoten und Kanten, um diese in eine gewünschte Form/Position zu bringen • Kräfte wirken über mehrere Iterationen hinweg • Abbruch bei bestimmter Anzahl Iterationen oder wenn Änderungen bei Form/Position < 𝜀 Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 18 Kräfte und deren Berechnung Abstoßende und anziehende Kräfte: Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 19 Kräfte und deren Berechnung Abstoßende und anziehende Kräfte: • Streben an Knoten in Abstände 𝑧 proportional zur Fahrtzeit zwischen ihnen zu setzen Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 19 Kräfte und deren Berechnung Abstoßende und anziehende Kräfte: • Streben an Knoten in Abstände 𝑧 proportional zur Fahrtzeit zwischen ihnen zu setzen • 𝐹𝐴𝐵 𝑢, 𝑣 = Einführung 2 𝑧 𝑑(𝑢,𝑣) Grundlagen ∙ 𝑢𝑣 und 𝐹𝐴𝑁 𝑢, 𝑣 = Zeichenalgorithmus Ergebnisse 𝑑(𝑢,𝑣) 𝑧 ∙ 𝑣𝑢 Ausblick 19 Kräfte und deren Berechnung Abstoßende und anziehende Kräfte: • Streben an Knoten in Abstände 𝑧 proportional zur Fahrtzeit zwischen ihnen zu setzen • 𝐹𝐴𝐵 𝑢, 𝑣 = 2 𝑧 𝑑(𝑢,𝑣) ∙ 𝑢𝑣 und 𝐹𝐴𝑁 𝑢, 𝑣 = 𝑑(𝑢,𝑣) 𝑧 ∙ 𝑣𝑢 • Wirken auf alle Knoten Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 19 Kräfte und deren Berechnung Kraft zur Beibehaltung der geographischen Lage: Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 20 Kräfte und deren Berechnung Kraft zur Beibehaltung der geographischen Lage: • Strebt an Knoten an ihrer ursprünglichen Position zu halten Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 20 Kräfte und deren Berechnung Kraft zur Beibehaltung der geographischen Lage: • Strebt an Knoten an ihrer ursprünglichen Position zu halten • 𝐹𝐺𝐸𝑂 = 𝑢𝑢𝑔𝑒𝑜 Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 20 Kräfte und deren Berechnung Kraft zur Beibehaltung der geographischen Lage: • Strebt an Knoten an ihrer ursprünglichen Position zu halten • 𝐹𝐺𝐸𝑂 = 𝑢𝑢𝑔𝑒𝑜 • Wirkt auf alle Knoten Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 20 Kräfte und deren Berechnung Kraft zur Veranschaulichung der Fahrtzeit: Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 21 Kräfte und deren Berechnung Kraft zur Veranschaulichung der Fahrtzeit: • Strebt an Knoten in Abständen proportional zur Fahrtzeit zwischen ihnen zu setzen Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 21 Kräfte und deren Berechnung Kraft zur Veranschaulichung der Fahrtzeit: • Strebt an Knoten in Abständen proportional zur Fahrtzeit zwischen ihnen zu setzen • 𝐹𝑍𝐸𝐼𝑇 𝑢, 𝑣 = Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus 𝑑(𝑢,𝑣) ∙ 𝑣𝑢 + 𝑧(𝑢,𝑣) 𝑧(𝑢,𝑣) 2 ∙ 𝑢𝑣 𝑑(𝑢,𝑣) Ergebnisse Ausblick 21 Kräfte und deren Berechnung Kraft zur Veranschaulichung der Fahrtzeit: • Strebt an Knoten in Abständen proportional zur Fahrtzeit zwischen ihnen zu setzen • 𝐹𝑍𝐸𝐼𝑇 𝑢, 𝑣 = 𝑑(𝑢,𝑣) ∙ 𝑣𝑢 + 𝑧(𝑢,𝑣) 𝑧(𝑢,𝑣) 2 ∙ 𝑢𝑣 𝑑(𝑢,𝑣) • Wirkt bei Kanten mit einem Knoten vom Grad eins nur auf diesen Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 21 Kräfte und deren Berechnung Weitere Kräfte für eine optisch ansprechende Darstellung: Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 22 Kräfte und deren Berechnung Weitere Kräfte für eine optisch ansprechende Darstellung: Kraft auf Kontrollpunkte zur Glättung der Übergänge zwischen Kurven. Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 22 Kräfte und deren Berechnung Weitere Kräfte für eine optisch ansprechende Darstellung: Kraft auf Kontrollpunkte zur Glättung der Übergänge zwischen Kurven. Einführung Kräfte auf Knoten und Tangenten zur Verringerung der Kurvenkrümmung. Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 22 Kräfte und deren Berechnung Weitere Kräfte für eine optisch ansprechende Darstellung: Kraft auf Kontrollpunkte zur Glättung der Übergänge zwischen Kurven. Einführung Kräfte auf Knoten und Tangenten zur Verringerung der Kurvenkrümmung. Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Kraft auf Tangenten zur besseren Auflösung. Ausblick 22 Weitere Anpassungen Vermeidung von Kreuzungen: Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 23 Weitere Anpassungen Vermeidung von Kreuzungen: • Überprüfe alle Kantenpaare auf Kreuzungen Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 23 Weitere Anpassungen Vermeidung von Kreuzungen: • Überprüfe alle Kantenpaare auf Kreuzungen • Tritt eine Kreuzung auf halbiere Betrag aller Kräfte Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 23 Weitere Anpassungen Vermeidung von Kreuzungen: • Überprüfe alle Kantenpaare auf Kreuzungen • Tritt eine Kreuzung auf halbiere Betrag aller Kräfte • Wiederhole dies, bis keine Kreuzungen mehr auftreten Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 23 Weitere Anpassungen Vermeidung von Kreuzungen: • Überprüfe alle Kantenpaare auf Kreuzungen • Tritt eine Kreuzung auf halbiere Betrag aller Kräfte • Wiederhole dies, bis keine Kreuzungen mehr auftreten Zusammenfassen von Kanten: 𝑣 • 𝑒1 = 𝑢, 𝑣 , 𝑒2 = 𝑣, 𝑤 • deg 𝑣 = 2 𝑢 𝑤 Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 23 Weitere Anpassungen Vermeidung von Kreuzungen: • Überprüfe alle Kantenpaare auf Kreuzungen • Tritt eine Kreuzung auf halbiere Betrag aller Kräfte • Wiederhole dies, bis keine Kreuzungen mehr auftreten Zusammenfassen von Kanten: 𝑣 • 𝑒1 = 𝑢, 𝑣 , 𝑒2 = 𝑣, 𝑤 • deg 𝑣 = 2 • 𝑒 = 𝑢, 𝑤 kreuzt keine Kante 𝑢 𝑤 Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 23 Weitere Anpassungen Vermeidung von Kreuzungen: • Überprüfe alle Kantenpaare auf Kreuzungen • Tritt eine Kreuzung auf halbiere Betrag aller Kräfte • Wiederhole dies, bis keine Kreuzungen mehr auftreten Zusammenfassen von Kanten: • 𝑒1 = 𝑢, 𝑣 , 𝑒2 = 𝑣, 𝑤 • deg 𝑣 = 2 • 𝑒 = 𝑢, 𝑤 kreuzt keine Kante 𝑢 𝑤 Einführung Grundlagen → Ersetze 𝑒1 und 𝑒2 durch 𝑒 Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 23 Einzeichnen zuvor entfernter Knoten 𝑣 1 2 𝑢 𝑤 Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 24 Einzeichnen zuvor entfernter Knoten 𝑢 3 𝑤 Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 24 Einzeichnen zuvor entfernter Knoten 𝑢 𝑤 𝑢 3 𝑤 Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 24 Einzeichnen zuvor entfernter Knoten 𝑢 1 𝑣 2 𝑤 𝑢 3 𝑤 Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 24 Einzeichnen zuvor entfernter Knoten 𝑢 1 𝑣 2 𝑤 𝑢 3 𝑤 • Knoten werden nicht gleichmäßig verteilt Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 24 Einzeichnen zuvor entfernter Knoten 𝑢 1 𝑣 2 𝑤 𝑢 3 𝑢 𝑤 𝑤 • Knoten werden nicht gleichmäßig verteilt Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 24 Einzeichnen zuvor entfernter Knoten 𝑢 1 𝑣 2 𝑤 𝑢 3 𝑢 1 𝑣 𝑤 2 𝑤 • Knoten werden nicht gleichmäßig verteilt • Entsprechend der Fahrtzeiten zwischen einander gesetzt Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 24 Ergebnisse Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 25 Straßenbahn Würzburg Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 25 Straßenbahn Würzburg Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 25 Straßenbahn Würzburg • Rote Kanten mindestens 10% zu lang Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 25 Straßenbahn Würzburg • Rote Kanten mindestens 10% zu lang • Grüne Kanten 10% zu kurz Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse mindestens Ausblick 25 Straßenbahn Würzburg • Rote Kanten mindestens 10% zu lang • Grüne Kanten 10% zu kurz mindestens • Durchschnittliche Abweichung von der gewünschten Kantenlänge 11,08% Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 25 U-Bahn Montreal • Rote Kanten mindestens 10% zu lang • Grüne Kanten 10% zu kurz Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse mindestens Ausblick 26 U-Bahn Montreal • Rote Kanten mindestens 10% zu lang • Grüne Kanten 10% zu kurz mindestens • Durchschnittliche Abweichung von der gewünschten Kantenlänge 8,11% Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 26 U-Bahn Wien • Hellrote/dunkelrote Kanten mindestens 10%/15% zu lang • Hellgrüne/grüne/dunkelgrüne Kanten mindestens 10% /15% /20% zu kurz Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 27 U-Bahn Wien • Hellrote/dunkelrote Kanten mindestens 10%/15% zu lang • Hellgrüne/grüne/dunkelgrüne Kanten mindestens 10% /15% /20% zu kurz • Durchschnittliche Abweichung von der gewünschten Kantenlänge 8,68% Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 27 Vorortslinien Sydney Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 28 Vorortslinien Sydney • Rot markierter Bereich mit vielen Kanten ohne gewünschte Länge Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 28 Vorortslinien Sydney • Rot markierter Bereich mit vielen Kanten ohne gewünschte Länge • Durchschnittliche Abweichung von der gewünschten Kantenlänge 22,23% Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 28 Einfluss des Vorfaktors von 𝐹𝑍𝐸𝐼𝑇 Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 29 Einfluss des Vorfaktors von 𝐹𝑍𝐸𝐼𝑇 Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 29 Einfluss des Vorfaktors von 𝐹𝑍𝐸𝐼𝑇 Vorfaktor nahe null, durchschnittliche Abweichung von gewünschter Länge 16,19% Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 29 Einfluss des Vorfaktors von 𝐹𝑍𝐸𝐼𝑇 Vorfaktor nahe null, durchschnittliche Abweichung von gewünschter Länge 16,19% Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 29 Einfluss des Vorfaktors von 𝐹𝑍𝐸𝐼𝑇 Vorfaktor nahe null, durchschnittliche Abweichung von gewünschter Länge 16,19% Einführung Grundlagen Vorfaktor sehr groß, durchschnittliche Abweichung von gewünschter Länge 19,50% Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 29 Ausblick Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 30 Einführung neuer Kräfte Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 30 Einführung neuer Kräfte Zusätzliche Kraft, die Knoten von Kanten abstößt: Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 30 Einführung neuer Kräfte Zusätzliche Kraft, die Knoten von Kanten abstößt: Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 30 Einführung neuer Kräfte Zusätzliche Kraft, die Knoten von Kanten abstößt: Kartenausschnitt Sydney: Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 30 Weitere Anpassung der Kantenlänge Einfügen zusätzlicher Krümmung: Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 31 Weitere Anpassung der Kantenlänge Einfügen zusätzlicher Krümmung: Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 31 Weitere Anpassung der Kantenlänge Einfügen zusätzlicher Krümmung: • Verlängerung der Kante Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 31 Weitere Anpassung der Kantenlänge Einfügen zusätzlicher Krümmung: • Verlängerung der Kante • Positionen der Knoten bleiben gleich Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 31 Vergrößerung unübersichtlicher Regionen Haunert und Sering: Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 32 Vergrößerung unübersichtlicher Regionen Haunert und Sering: Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 32 Vergrößerung unübersichtlicher Regionen Haunert und Sering: Setzen einer Fokusregion in schwer überschaubaren Bereichen. Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick 32 Einführung Grundlagen Zeichenalgorithmus Ergebnisse Ausblick
