Molekulardynamik

Hauptseminar: Strukturerhaltende Zeitintegratoren für
Anfangswertprobleme
Molekulardynamik
Franziska Dilger
Technische Universität München
27. Januar 2011
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Einleitung, Historisches und Motivation
Was ist Molekulardynamik?
Bewegungsgleichungen und
Hamiltonsches System
Potentiale / Kraftauswertung
kurzreichweitige Potentiale
langreichweitige Potenitale
Algorithmen zur effizienten Berechnung
Zeitintegrationsverfahren
Anforderungen
In MD-Simulationen verwendete
Verfahren
Fehler der Zeitintegration
Zusammenfassung und Ausblick
Parallelisierung
Was ist Molekulardynamik?
Einführung in die klassische MD :
• Computersimulationen im
Molekulardesign
• interagierende Teilchen als Partikel
modelliert; im einfachsten Fall als
Punktmassen
• Wechselwirkungen zwischen den Partikeln
→ Newtonsche Bewegungsgleichung →
Kräfteberechnung
• Bestimmung der Zeitentwicklung mittels
zeitdiskreter Integration
• Einsatzmöglichkeiten und
Anwendungsgebiete : Biologie, Chemie,
Physik, Astrophysik und
Materialwissenschaften
Historisches
• 1957 Einführung der MD-Methode für die Wechselwirkung von harten
Kugeln als Modell von Flüssigkeiten (Alder, Wainwright)
• 1964 erste Simulation mit realistischem Potential (Lennard-Jones) für
flüssiges Argon (Rahman)
• 1967 Verlet: effiziente Datenverwaltung mittels Nachbarschaftslisten,
Entwicklung eines Zeitintegrationsverfahrens
• 1974 erste MD-Simulation von Wasser (Stillinger, Rahman)
• 1977 SHAKE-Algorithmus
• 1986 Entwicklung einer Methode für Kraftberechnung
langreichweitiger Potentiale: Barnes-Hut Methode (Josh Barnes, Piet
Hut)
• 90er Jahre: MD-Simulation auf parallelen Prozessoren → größere
Systeme , längere Simulationszeiten
Hard-Sphere-Model
Modell harter Kugeln :
• Vereinfachung der Teilchen als
• ” schwebende runde Kreise ” im zweidimensionalen Raum
• ” schwebende runde Kugeln ” im dreidimensionalen Raum
!
Bewegungsgleichungen und Hamiltonsches System
N-Teilchen-System
Geg.: N Partikel mit jeweiligen Anfangeswerten (Masse
mi , Ort xi , Geschwindigkeit vi , Impuls pi )
• Newtonsche Bewegungsgleichung:
mi x¨i = Fi
i = 1, ..., N
Fi = −∇xi V (x1 , ..., xN )
mit
• im Hamilton-Formalismus:
x˙i = ∇pi H,
ṗi = −∇xi H,
mit
P
H(x1 , ..., xN , p1 , ...pN) = N
i=1
pi2
2mi
i = 1, ..., N
+ V (x1 , ..., xN )
Bewegungsgleichungen und Hamiltonsches System
• System von Differentialgleichungen erster Ordnung:
x˙i = mi−1 pi ,
ṗi = −∇xi V (x1 , ..., xN )
Potentiale
Vtot = Vbond + Vangle + ... + VvdW
Potentiale
Einige einfache Potentiale
Potentielle Energie:
V (x1 , ...xN ) =
N
N
X
X
rij := kxj − xi k
U(rij )
i=1 j=1,j>i
• van der Waals-Potential:
U(rij ) = −a
1
rij
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• Lennard-Jones-Potential:
U(rij ) = αε
σ
r ij
n
−
σ
r ij
m !
m<n
n 1
n−m
1
n
α=
m
n−m m
Potentiale
Einige einfache Potentiale
LJ-(12,6)-Potential:
Gravitationspotential:
U(rij ) = −GGrav
mi mj
rij
Potentiale
• Ziel: schnellere Auswertung der Potentiale ( naiv Aufwand O(N 2 ) )
Unterschiede zwischen:
• kurzreichweitigen Potentialen:
• Linked-Cell-Verfahren
• langreichweitigen Potentialen:
• Gitterbasierte Methoden:
Smooth-Particle-Mesh-Ewald-Methode(SPME)
• Baumverfahren: Barnes-Hut-Verfahren, Schnelles Multipolverfahren
Definition: kurzreichweitig/langreichweitiges Potential
Ein Potential heißt kurzreichweitig, wenn es für d > 2 mit zunehmendem r
schneller als r −d abfällt, andernfalls heißt das Potential langreichweitig.
Effiziente Kraftauswertung
Linked-Cell-Verfahren für kurzreichweitige Kräfte:
• Idee: Zerlegung des Simulationsraums Ω in uniforme Teilgebiete
(Zellen)
• kurzreichweitige Wechselwirkungen → Abschneideradius rcut
• wähle Seitenlänge der Zellen ≥ rcut → Interaktionen auf Partikel
benachtbarter Zellen beschränkt
• Fi ≈
P
Zelle kc,
kc∈N (ic)
P
j∈{Partikel der Zelle kc}
j6=i
Fij
→ Aufwand O(N)
Effiziente Kraftauswertung
Barnes-Hut-Verfahren:
• Aufbau des Baumes, Quadtree/Octtree
• rekursive Zerlegung des Simulationsgebiets in gleich große Teilgebiete
(Zellen), pro Zelle höchstens ein Partikel =
b Blätter des Quadtrees/
Octtrees
• Berechnung der Masseverteilung
• Pseudopartikel =
b innere Knoten des Octtrees, repräsentieren Zellen mit
mehreren Partikeln
• geometr. Koord =
b massengewichtete Mittelung über Koord. aller
Partikeln in der jeweiligen Zelle
• Masse =
b Gesamtmasse aller Partikel der Zelle
• Berechnung der Kräfte
Effiziente Kraftauswertung
Barnes-Hut-Verfahren:
• Berechnung der Kräfte
• Idee: Approximation der Kraft von mehreren Teilchen j auf Teilchen i
durch Kraft des Pseudopartikels (Zelle in dem Teilchen j liegen) auf das
Teilchen i
• Näherung zulässig, falls gilt:
Θ≤
d
r
mit Θ < 1
d =
b Seitenlänge Größe der Zelle
r =
b Entfernung des Teilchens vom Massenschwerpunkt des Knotens
• Iteration über Knoten des Baumes, prüfe Wert von Θ
• Θ > Schwellwert erneute Unterteilung des Quadranten und
Überprüfung, andernfalls Kraftauswertung
→ Aufwand O(N log N)
Effiziente Kraftauswertung
Schnelles Multipolverfahren:
• Erweiterung des Barnes-Hut-Verfahrens
• anstatt Partikel-Cluster-Wechselwirkungen betrachte nun nur noch
Cluster-Cluster Wechselwirkungen
→ Aufwand O(N)
Zeitintegrationsverfahren
Anforderungen an den Algorithmus
• Exaktheit
• Stabilität
• Energieerhaltung
• Symplektizität
• Reversibilität
• rechnerische Effizienz
• soll große Schrittweiten ermöglichen, trotzdem Stabilität
• nur eine Kraftauswertung pro Zeitschritt → implizite Verfahren sind
ausgeschlossen
Zeitintegrationsverfahren
Möglichkeiten um Zeitintegrationsverfahren zu beschleunigen:
• Integrationsverfahren höherer Ordnung → bessere
Konvergenzordnung → Fehler der Simulation verkleinert , verbesserter
Stabilitätsbereich → größere Zeitschritte
• Multiple Zeitschrittverfahren bei molekularen Problemen verschiedene
Zeitskalen durch Verschiedenheit der Längenskala der
Bindungs-,Winkel-,Torsionswinkel-, Lennard-Jones und
Coulombanteile der Gesamtpotentialfunktion im Problem vorhanden
• Fixieren hochfrequenter Moden durch das Erfüllen zusätzlicher
Nebenbedingungen: Bsp. Shake- und Rattleverfahren
Zeitintegrationsverfahren
Symplektische Verfahren für die Zeitintegration
• Störmer-Verlet Verfahren / Geschwindigkeits-Störmer-Verlet
Verfahren
• Mehrschrittverfahren (Rückwärtsdifferenzenverfahren (BDF) )
→ nächste Woche
• Splittingverfahren
• Kompositionsverfahren
• partitionierte Runge-Kutta-Verfahren
Multiple Zeitschrittverfahren - das Impuls-Verfahren
→ Vortrag Hochoszillierende Probleme vom 20.01.2011 Landskron,
Richard
Zwangsbedingungen - der Rattle Algorithmus
→ Vortrag SHAKE-und RATTLE vom 16.12.2010 Hofmann, Tobias
Zeitintegrationsverfahren
Fehler der Zeitintegration für Einschrittverfahren:
lokaler Fehler in einem Zeitschritt für ein Verfahren der Ordnung p:
k x n+1 − x(h + tn ) k= O(hp+1 )
k p n+1 − p(h + tn ) k= O(hp+1 )
globaler Fehler für ein Verfahren der Ordnung p
k x n − x(tend ) k≤ C · hp ·
e M(tend −t0 ) − 1
M
= t0 + n · h mit Zeitschritt h
k p n − p(tend ) k≤ C · hp ·
für festes Zeitintervall (t0 , tend ), tend
e M(tend −t0 ) − 1
M
Zeitintegrationsverfahren
Experiment chaotisches Verhalten
• zur Untersuchung des exponentiellen Fehlerwachstums betrachte zwei
einfach Simulationen mit jeweils tausend Partikeln und
unterschiedlichen Anfangsbedingungen zweier Partikel
• Erwartung: diese kleine Störung der Anfangsbedingungen verstärkt
sich exponentiell in der Zeit
Zusammenfassung
MD-Simulation ist eine etablierte und mittlerweile sehr robuste
Simulationstechnik.
Ständig neue Anwendungsgebiete durch:
• Beschleunigung der Algorithmen
• Zunahme der Prozessorgeschwindigkeit
• Parallelisierung der Programme
Ende
Ende
Quellen
• Numerische Simulation in der Moleküldynamik, Griebel · Knapek ·
Zumbusch · Caglar
• Numerische Mathematik 2, Peter Deuflhard · Folkmar Bornemann
• www5.in.tum.de · Algorithms of Scientific Computing II - Winter 10
,→ Arbeitsgruppe Lehrstuhl Info 5