Trägheitsmoment (TRÄ)

Trägheitsmoment (TRÄ)
Gruppe 8
Simone Lingitz, Sebastian Jakob
1. Einleitung
Das Trägheitsmoment ist eine physikalische Größe, der bei Drehbewegung von Körpern eine
wesentliche Bedeutung zukommt. Es entspricht der Masse bei einer geradlinigen Bewegung. Ähnlich
schwer, wie eine große Masse zu beschleunigen ist, einen Körper mit großem Trägheitsmoment in
Drehung zu versetzen.
In diesem Versuch wird die Winkelrichtgröße statisch und dynamisch bestimmt, d.h. entweder direkt
über die Kraft oder über die Schwingungszeit T, welche wiederum eine Lösung der dazugehörigen
Differentialgleichung darstellt.
Vorüberlegungen:
•
Wie groß darf die Winkelabweichung bei der Bestimmung des Trägheitsmoments vom idealen
90° Winkel abweichen?
M = F ×r
M = F ⋅ r ⋅ sin α
Der Sinus ist im Idealfall gleich eins (bei 90°). Um eine Abweichung von weniger als 0,5% zu
bekommen darf der Winkel α um höchstens 5° abweichen (Berücksichtigung der Abweichung
in zwei Richtungen).
85° ≤ α ≤ 95°
0,996 ≤ sin α ≤ 0,996
•
Wie weit darf der Schwerpunkt von der Drehachse der Puppe und beim Menschen entfernt sein
ohne Messfehler zu erhalten?
J g = J s + ma 2
ml 2
für Stab
12
J g − J s ma 2 ⋅ 12 12a 2
=
= 2
Js
ml 2
l
Js =
Wiederum für einen Fehler von 1% gilt:
12a 2
≤ 0,01
l2
a=
0,01 ⋅ l 2
≈ 2,9% ⋅ l
12
•
Wie kann man den Einfluss der Hysterese auf die Messwerte möglichst gering halten?
Bei Aufbringung einer Vorkraft vor jeder Messung kann das Hystereseverhalten herabgesetzt
werden.
•
Wie kann man den Einfluss auf Nichtlinearitäten möglichst gering halten?
Indem man vermeidet, dass die Feder überdehnt wird und dass sich das Federblatt gegenseitig
berührt, kann man verhindern, dass Nichtlinearitäten zustande kommen.
2. Trägheitsmomentmesssung
2.1 Puppe
genauen Aufbau bzw. Versuchsdurchführung siehe Anleitung TRÄ.
2.1.1 Statische Bestimmung der Winkelrichtgröße
a) & b)
Es wird in 45° Schritten die rückstellende Kraft in beiden Richtungen gemessen.
Kraft [N]
Kraft-Auslenkwinkel
-4
-3
-2
-1
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-0,2 0
-0,4
-0,6
-0,8
-1
Auslenkung [rad]
1
2
3
4
F= 0,236x + 0,001
R2 = 0,999
Excel berechnet eine Steigung von 0,236N/rad und einen Regressionskoeffizienten von 0,999, was auf
einen sehr linearen Zusammenhang schließen lässt.
Anmerkung: Der Abstand der Geraden zum Nullpunkt ist geringer als die Auflösung der Federwaage,
also offensichtlich ohne Bedeutung.
c)
D* =
F
ϕ
⋅ r = m ⋅ r = 0,236 N ⋅ 0,1m = 0,024 Nm
d) systematischer Fehler
s F = 2%
s r = 2mm ≈ 2%
s ϕ = 1 ° ≈ 2%
s ges = 6%
e) statistischer Fehler
u F = 10%
u r = 2mm ≈ 2%
uϕ = 2° ≈ 4%
u ges = 10 2 + 2 2 + 4 2 = 10,95%
f) Gesamtfehler
f ges = s ges + u ges ≈ 15,72%
Hierbei dominiert in erster Linie der statistische Anteil des Kraftfehlers, dies liegt einerseits an
möglichen Winkelabweichungen (nicht tangential) der Messung, andererseits an den nur schwer
ablesbaren Federwaagen.
2.1.2 Dynamische Bestimmung der Winkelrichtgröße
g) Trägheitsmomente
(punktförmig)
J r = 2m ⋅ a 2
Die Masse beider Gewichte betrug 52g.
Abstand a1 = 6cm :
J 1 = 0,37 ⋅ 10 −3 kg ⋅ m 2
Abstand a 2 = 14cm :
J 2 = 2,04 ⋅ 10 −3 kg ⋅ m 2
Abstand a3 = 10cm :
J 3 = 1,04 ⋅ 10 −3 kg ⋅ m 2
h) Vergleich mit Trägheitsmoment Zylinder
⎛ R2 h2 ⎞
J Z = m ⋅ ⎜⎜
+ ⎟⎟ = 3,2 ⋅ 10 −6 kg ⋅ m 2 << 0,37 ⋅ 10 −3 kg ⋅ m 2
⎝ 4 12 ⎠
Das bedeutet, das die Massen als punktförmig angenommen werden dürfen.
i) Diagramm
4,5
4
3,5
T² [s²]
3
2,5
90°
135°
2
Linear (135°)
1,5
Linear (90°)
1
0,5
0
0
0,0005
0,001
0,0015
0,002
0,0025
J [kg*m²]
y = 1733,8x + 0,4794
Anmerkung: 90° und 135° Überlagern sich ⇒ Nahezu Auslenkungsunabhängig
j)
Die Steigung der Ausgleichsgerade ist proportional zu 1 / D * . Die Ausgleichsgerade geht nicht durch den
Nullpunkt. Der Achsenabschnitt hängt vom Eigenträgheitsmoment des Messsystems ab.
k) Bestimmung der Winkelrichtgröße
k
1
k K Steigung
=
D * 4π 2
4π 2
*
= 0,0228Nm
D =
k
l) Eigenträgheitsmoment bestimmen
Unter Verwendung der Ausgleichsgerade:
0 = 1733,8 ⋅ J D − 0,4794
JD =
0,4794
kg ⋅ m 2 = 2,77 ⋅ 10 − 4 kg ⋅ m 2
1733,8
m) kann das Eigenträgheitsmoment vernachlässigt werden?
T=
4π 2
(J D + J r ) = 1,51s
D*
T=
4π 2
(J r ) = 1,34s
D*
Daraus ergibt sich eine Abweichung von 0,17s von. Diese Abweichung kann vernachlässigt werden und
das Eigenträgheitsmoment spielt keine große Rolle.
n) systematischer Fehler
sT ≈ 0,1%
sr = 2mm ≈ 5%
sm = 0,1%
s ges = 5,2%
o) statistischer Fehler
uT ≈ 1%
u r = 2mm ≈ 5%
u m ≈ 0,1%
u ges = (5%) 2 + (0,1%) 2 + (1%) = 5,1%
p) Gesamtfehler
f ges = s ges + u ges = 5,2% + 5,1% = 10,3%
q) Vergleich
statisch: D * = 0,024 Nm ± 0,0026 Nm
dynamisch: D * = 0,023Nm ± 0,0024 Nm
Innerhalb der Fehlergrenzen stimmen beide Werte überein.
2.1.3 Dynamische Bestimmung des Trägheitsmoments der Puppe
r) Bestimmung Trägheitsmoment Puppe
4π 2
T 2 = * ⋅ (J P + J D )
D
T 2 ⋅ D*
JP =
− JD
4π 2
J P1 = 6,6 ⋅ 10 −5 kg ⋅ m 2
mit T = 0,767 s
angelegte Arme:
2
ausgestreckte Arme: J P 2 = 10,9 ⋅ 10 − 5kg ⋅ m mit T = 0,988s
s) Verhältnis angelegte/ausgestreckte Arme
J P1
= 0,61
J P2
t) Verfälschung bei Abweichung um 1mm
∆J = m ⋅ r 2 = 1,82 ⋅ 10 −7 kg ⋅ m 2 mit m=180g und r=1mm
Für eine geschätzte Abweichung von 1cm gilt:
∆J = m ⋅ r 2 = 1,82 ⋅ 10 −5 kg ⋅ m 2
Diese Verschätzung hat nur minimale Auswirkungen auf unsere Messergebnisse.
2.2 Mensch
genauen Aufbau bzw. Versuchsdurchführung siehe Anleitung TRÄ.
2.2.1 Statische Bestimmung der Winkelrichtgröße
a) & b) Diagramm
Messwerte
Drehteller
Linear (Messwerte)
15
F= 5,94x - 0,24
10
Kraft [N]
5
0
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
-5
-10
-15
Auslenkung [rad]
Die Nichtlinearitäten entstehen dadurch, dass sich die Windungen der Spiralfeder berühren, und somit
eine zusätzliche Kraft den Kurvenverlauf beeinflusst. Außerdem ist die Kraft für Auslenkungen im und
gegen den Uhrzeigersinn etwas unterschiedlich, da diese Feder nicht so viele Windungen besitzt, wie die
des kleinen Drehtellers.
c) Ermittlung der Winkelrichtgröße
mit der Steigung aus obigem Diagramm ergibt sich:
F
D* = ⋅ r = 5,94 N ⋅ r = 1,78 Nm
ϕ
d) systematischer Fehler
s F = 0,05 N ≈ 1%
s r = 3mm ≈ 1%
s φ = 1° ≈ 5%
s ges = 7%
e) statistischer Fehler
u F = 0,2 N ≈ 5%
u r = 2mm ≈ 1%
uφ = 2° ≈ 10%
u ges = 5 2 + 12 + 10 2 % = 11,2%
f) Gesamtfehler
f ges = 18,22%
g) Eigenträgheitsmoment
mR 2 R 2 ⋅ h ⋅ π ⋅ ρ ⋅ R 2 R 4 ⋅ h ⋅ π ⋅ ρ
=
=
J=
2
2
2
2
J 0 = ∑ J 0i ≈ J 01 = 0,687kgm
i
Die Reduktion auf eine Scheibe ist sinnvoll, da die restlichen Elemente wie z.B. die Stange
vernachlässigbar sind (vor allem wegen R4).
2.2.2 Dynamische Bestimmung der Winkelrichtgröße
h) Dämpfungs-Zeitkonstante
Umrechnung (XT-Diagramm):
1min 100mm (Einstellung Gerät)
⇒ 1mm 0,6s
90° =
π
20mm
2
⇒ 1°=0,0349rad
0,22mm
Die Dämpfungskonstante d berechnet sich aus d = 2λ ⋅ m ,
wobei m=15,3kg und λ der Abklingkoeffizient ist. Dieser läßt sich aus dem XT-Diagramm ablesen:
50°
⎛1⎞ ϕ
= 15,9°
f ⎜ ⎟ = max =
e
e
⎝λ⎠
1
=> λ = 0,060
s
=> d = 2λ ⋅ m = 1,84 ⋅ kg / s
i) Bestimmung der dynamischen Winkelrichtgröße
mit T= 4,2s (aus Diagramm) ergibt sich:
4 ⋅π 2 ⋅ J 0
= 1,54 Nm
D* =
T2
2.2.3 Dynamische Bestimmung des Trägheitsmoments
j) & k) Trägheitsmoment Mensch
T 2 ⋅ D*
JM =
− J 0 = 0,486kg ⋅ m 2
2
4π
angelegte Arme:
J M 1 = 0,486kgm 2 mit T= 5,1s (aus Diagramm)
ausgestreckte Arme: J M 2 = 1,28kgm mit T= 6,6s (aus Diagramm)
J
Verhältnis: M1 = 0,381
J M2
l) Verfälschung
∆J = m ⋅ r 2 = 0,0047kgm 2
mit m=46,85kg und r=0,01m
3.Vergleich der Trägheitsmomente
3.1 Geometrische Bestimmung des Trägheitsmoments
a) Mensch als Zylinder (Länge und Masse)
m
m ⋅ R2
R=
= 9,48cm
J=
2
π ⋅l ⋅ ρ
mit ρ = 1g / cm 3
J = 0,211kgm 2
b) Mensch als Zylinder (Durchmesser und Masse)
R = U / 2π = 0,13m in obige Formel eingesetzt:
J = 0,396kgm 2
c) Mensch mit Einzelträgheitsmomente
Körperteil
R
[cm]
Kopf
l
[cm]
m
[kg]
n
[]
J
[kg*m²]
8,79
3,43
1
2 / 5 ⋅ m ⋅ R 2 = 0,011
Rumpf
13,1
22,92
1
m ⋅ R 2 / 2 = 0,197
Unterarm
3,02
17,25
0,80
2
Oberarm
3,58
18
1,26
2
Hand
5,5
19,5
0,37
2
Oberschenkel
7
10
4,54
2
Unterschenkel
4,93
6
2,48
2
Fuß
5
6
0,80
2
17
22
a
[cm]
Gesamt
46,85
(
2(m ⋅ R
)
/ 2 + m ⋅ a ) = 0,083
2 ( m /12((2 R ) + l ) + m ⋅ a ) = 0, 031
2(m ⋅ R / 2 + m ⋅ a ) = 0,113
2(m ⋅ R / 2 + m ⋅ a ) = 0,024
2 ( m /12((2 R ) + l ) + m ⋅ a ) = 0, 014
2 m ⋅ R 2 / 2 + m ⋅ a 2 = 0,048
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0,521
d) Extrapolieren der Puppe auf Menschen
JM
⎛l
= J P ⋅ ⎜⎜ m
⎝ lP
2
⎞ mM
⎟⎟ ⋅
= 0,50kgm 2
⎠ mp
e) Vergleich
Die Werte für das Trägheitsmoment des „Menschen als Zylinder“ liegendeutlich unterhalb den anderen
beiden Werten. Das liegt daran, dass bei der Betrachtung des Menschen als Zylinder starke
Vereinfachungen angenommen werden. Dabei ist es allerdings sinnvoller den Menschen durch einen
Zylinder mit Durchmesser und Masse anzunähern.
4. Fragen:
4.1 Erklären Sie wie durch sich berührende Windungen einer Spiralfeder Nichtlinearitäten in der
Rückstellkraft verursacht werden.
Berühren sich die Windungen einer Spiralfeder, so wird Reibung erzeugt und die Rückstellkraft wird
kleiner. Sobald aber keine Berührung mehr vorliegt, ist wieder die „normale“ Rückstellkraft
vorhanden. Es kann kein linearer Zusammenhang erkannt werden, da sich die Windungen nicht
immer unbedingt am selben Punkt berühren.
4.2 Berechnen Sie das Trägheitsmoment des Menschen als Zylinder und als elliptischer Zylinder.
Nehmen Sie an, daß beim elliptischen Zylinder die große Halbachse doppelt so groß wie die kleine
Halbachse sein soll. Beachten Sie, daß die Gesamtmasse der Person dabei konstant bleibt. Um
wieviel Prozent ist das elliptische Trägheitsmoment größer als das zylindrische Trägheitsmoment ?
2
m ⋅ RZ
JZ =
2
J Z = 0,618kgm 2
mit
RZ =
u Hüfte
89cm
= 14,16cm = 0,142m
2π
(
)
( )
m 2 2 m
⋅ a +b = ⋅ 5b 2
4
4
2
= 0,766kgm
J Ze =
J Ze
2π
=
mit
a = 2b
VZ = πRZ h = 0,103m3
2
VZ = VZe = πabh
⇒ a ⋅ b = 0,020m 2
⇒ b = 0,10m
Daraus ergibt sich, dass das Trägheitsmoment des elliptischen Zylinders um 23,95% größer ist als
das des Zylinders.
4.3 Ein Stab rotiere frei um seine Längsachse.
Kann diese Rotation durch elastisches Anstoßen an einen Gegenstand unter Drehimpuls- und
Energieerhaltung in eine Rotation um die Querachse übergehen ?
Sobald der Stab angestoßen wird, hängt seine Bewegung sowohl von der „alten“ Rotation, als auch
von der neuen, durch das Anstoßen verursachten Rotation. Der Stab beschreibt nun kreisende
Bewegungen um seinen Schwerpunkt. Hierbei handelt es sich weder um reine Rotation um die
Längs- noch um die Querachse. Sofern die Reibung vernachlässigt werden kann, wird der Stab nie in
eine überwiegende Rotation zurückkehren.
Ein kompletter Übergang der Rotation von einer Achse auf eine andere ist somit nur möglich, wenn
dem System von außen Energie zugeführt wird (z.B. Bremsen der Erstrotation).
4.4 Wodurch zeichnet sich die Rotationsachse unter vielen parallelen Achsen aus, die bei
Drehimpulserhaltung zur schnellsten Drehung führt ?
Die schnellste Drehung bekommt man um diejenige Achse, bei der das Trägheitsmoment am
kleinsten ist. Das ist bei der Schwerpunktsachse der Fall.
4.5 Eine Hängeschaukel ist ein Holzbrett das mittels 2 Seilen an einer Stange befestigt ist und frei
schwingen kann. Auf der Schaukel sitze ein Mensch.
a) Welche Energieformen treten während einer Schwingung auf ?
Es treten kinetische und potentielle Energie auf. Die kinetische Energie wird null, wenn die
Geschwindigkeit null wird also in den Umkehrpunkten und die potentielle Energie ist im
Nulldurchgang null.
b) Wann ist der Drehimpuls maximal, wann ist er null ?
Der Drehimpuls berechnet sich aus der Formel L = m ⋅ v ⋅ r . Er wird maximal, wenn die
Geschwindigkeit v maximal wird (m und r sind konstant) und das ist im Nulldurchgang der Fall.
In den Umkehrpunkten wird die Geschwindigkeit null und damit auch der Drehimpuls.
c) Wie wird das Trägheitsmoment beeinflusst wenn der Schaukelnde den Oberkörper absenkt (nach
hinten kippt)?
Das Trägheitsmoment berechnet sich aus J = m ⋅ r 2 . Wenn die Person den Oberkörper nach
hinten kippt vergrößert sich der Radius und damit das Trägheitsmoment.
d) Wie verändert sich die Energie des Systems Schaukel - Mensch wenn der Schaukelnde dauerhaft
den Oberkörper absenkt ?
Wenn der Oberkörper dauerhaft nach hinten gekippt ist, stellt sich nach kurzer Zeit wieder ein
energetische Gleichgewicht ein.
e) Durch welches periodische Verhalten kann der Schaukelnde die Veränderung des
Trägheitsmoments nutzen, um dem System Energie zuzuführen?
(Stichwort: parametrische Resonanz)
Hinweis: Energie die der Schaukelnde in Form von Muskelarbeit aufbringt gilt als dem System
zugeführt, Energie die er zurückgewinnt gilt als dem System entzogen. Die chemische Energie
bleibt unberücksichtigt.
Die beste Position, um dem System Energie zuzuführen ist der Nulldurchgang. D.h. der
Schaukler muss den Radius an den Umkehrpunkten möglichst gering halten, um ein kleines
Trägheitsmoment zu haben und so möglichst hoch schaukeln zu können und beim
zurückschwingen durch den Nulldurchgang muss er den Oberkörper absenken und somit Radius
und Trägheitsmoment vergrößern. So wird der Drehimpuls L = Iω größer und dem Schaukler
wird eine größere Geschwindigkeit verliehen Iω = mvr .
f) Was bedeutet dieses Verhalten für den maximalen Drehimpuls während der Schaukelbewegung,
bzw. für den maximalen Drehwinkel?
Durch ein solches Verhalten wird der Drehimpuls größer und somit auch der maximale
Drehwinkel. D.h. mit einer periodischen Bewegung nach vorne und hinten wird dem System
Energie zugeführt und man schaukelt höher.