Blatt 7

Übungsblatt 7
Analysis 1, HS14
Ausgabe Donnerstag, 23. Oktober.
Abgabe Donnerstag, 30. Oktober. Bitte Lösungen bis spätestens 17 Uhr in den Briefkasten des jeweiligen Übungsleiters am J- oder K-Geschoss von Bau Y27 legen.
In diesem Übungsblatt dürfen Sie alle Ergebnisse der Kapitel 5 und 6 benützen.
Übung 1.
Finden Sie den Limes von jeder der folgenden Folgen, falls er existiert (im Sinne der
Definition 5.1.1 oder Definition 5.6.1). Beweisen Sie Ihre Behauptung.
√
√
1 √
a) n − 1 − n. Hint: √n−1+
.
n
b)
c)
√
2n − 1 −
√
n.
2
3n+1
3
(n+1)(2n+5) n .
Übung 2.
Sei (bn )n∈N\{0} eine Folge reeller Zahlen:
1
1
b1 = , b2 =
1
1+
1
1
, b3 =
1
1
, · · · , bn =
=
1
1 + bn−1
1 + 1+ 1
1+
1
|
1
,···
1
1+
{z
n
1
1+···
}
a) Zeigen Sie 0 < bn ≤ 1 für alle n ∈ N\{0}.
b) Beweisen Sie mittels des Induktionsprinzips b2n+1 < b2n−1 und b2n+2 > b2n für alle
n ∈ N\{0}.
c) Zeigen Sie, dass die Gleichung x =
Finden Sie die Lösung.
x+1
x+2
1
hat eine eindeutige Lösung in R+ ∪ {0}.
d) Beweisen Sie, dass (bn ) konvergiert und finden Sie den Limes.
Hinweis: Sie können (b2n−1 )n∈N\{0} und (b2n )n∈N\{0} anschauen; Sie können den
Satz 5.2.1 verwenden;
√
5−1
2 .
e) Sei (cn )n∈N\{0} die Fibonacci-Zahlen:
c1 = c2 = 1,
Zeigen Sie limn→∞
cn
cn+1
√
=
cn+2 = cn+1 + cn ,
n ∈ N\{0}
5−1
2 .
Übung 3.
1
Sei Potenzreihe
an z n und L := lim supn→∞ |an | n . Der Konvergenzradius ist als das
Supremum aller Zahlen r ≥ 0 definiert, für welche die Potenzreihe für alle z mit |z| < r
konvergiert:
n
o
X
R := |z| ≥ 0 |
an z n ist konvergent
P
Der Konvergenzradius lässt sich mit der Formel von Cauchy-Hadamard (Satz 6.6.4)
berechnen: R = L1 . Benutzen Sie die Formel von Cauchy-Hadamard, um den jeweiligen
Konvergenzradius R von jeder der folgenden Reihen zu berechnen.
a)
∞
X
zn
n(n + 1)
n=1
b)
∞ X
n=1
nπ
1 + 2 cos
4
n
zn
c)
∞
X
4n + (−3)n n
z
n
n=1
Übung 4.
a) Beweisen Sie die folgende Variante von Korollar 6.3.2 (Majorantenkriterium):
P
P
Sei N0 ∈ N. Sei an eine Reihe komplexer Zahlen und bn eine Reihe nichtnegaP
tiver reeller Zahlen, so dass |an | ≤ bn für alle n > N0 . Falls bn eine konvergente
P
Reihe ist, dann konvergiert an .
Und schreiben Sie den Kontraposition.
Hint: Lesen Sie den Beweis für Korollar 6.3.2.
b) Sei (an )n≥1 eine Folge reeller Zahlen. Nehmen wir an, dass limn→∞ nan = a 6= 0.
P
Beweisen Sie, dass die Reihe ∞
n=1 an divergiert.
2
c) [Bonus] Sei (an )n≥1 eine monoton fallende Folge nichtnegativer reeller Zahlen. und
P
an+1 ≤ an for n ∈ N\{0}. Nehmen wir an, dass ∞
n=1 an konvergiert. Beweisen
Sie, dass limn→∞ nan = 0.
Übung 5.
Sei x0 ∈ R. Geben Sie jeweils Funktionen f, g : R → R an, für die eine der folgenden
Aussagen gilt, oder zeigen Sie, warum die Aussage für keine Funktion zutrifft.
a) f ist nicht stetig in x0 , aber g und f + g sind stetig in x0 ;
b) f ist nicht stetig in x0 , aber g und f · g sind stetig in x0 ;
c) f und g sind beiden nicht stetig in x0 , aber f + g ist stetig in x0 ;;
d) f und g sind beiden nicht stetig in x0 , aber f · g ist stetig in x0 .
3