1 Relationen 2 Abbildungen

TUM
Ferienkurs Lineare Algebra 1
WiSe 08/09
Dipl.-Math. Konrad Waldherr
Hinweis: Die mit * gekennzeichneten Aufgaben sind Zusatzaufgaben.
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Relationen
Aufgabe 1 Auf R2 sei die Relation σ gegeben durch (a, b)σ(c, d) :⇐⇒ a + b ≤ c + d. Ist σ reflexiv,
symmetrisch, transitiv, antisymmetrisch?
Aufgabe 2 Es sei A := {1, 2, 3, 4} und die Relationen R1 und R2 auf A seien gegeben durch
R1 = ∅
R2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 3), (3, 2), (2, 1), (4, 4)}
i) Man untersuche R1 und R2 bzgl. der Eigenschaften reflexix, symmetrisch, antisymmetrisch,
transitiv.
ii) Man konstruiere R2∗ als kleinste Äquivalenzrelation, die R2 enthält.
Aufgabe 3* Es sei ∼ eine Äquivalenzrelation auf einer nichtleeren Menge X. Man zeige, dass dann
für beliebige x, y ∈ X entweder [x]∼ = [y]∼ oder [x]∼ ∩ [y]∼ = ∅ gilt.
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Abbildungen
Aufgabe 0 (siehe Blatt4, H10) Es seien A, B Mengen, f : A → B eine Abbildung. Wir betrachten
die Abbildung g : P(B) → P(A), N 7→ f −1 (N ). Man zeige:
i) Es ist f genau dann injektiv, wenn g surjektiv ist.
ii) Es ist f genau dann surjektiv, wenn g injektiv ist.
Aufgabe 1 Welche der folgenden Abbildungen sind injektiv, surjektiv oder bijektiv?
i) f : R → R, x 7→ x2 − 3x + 2
ii) g : R → R, x 7→ x3 + x
iii) h : R2 → R2 , (x, y) 7→ (4y, x − 1)
Man berechne, falls möglich, die Umkehrabbildung von h.
Aufgabe 2 Injektivität und Surjektivität
i) Gibt es Abbildungen, die weder injektiv noch surjektiv sind?
ii) Man zeige, dass die Komposition injektiver (surjektiver) Abbildungen wiederum injektiv (surjektiv) ist.
Aufgabe 3 Es seien f : X → Y eine Abbildung, A, B ⊂ X sowie C, D ⊂ Y . Zu zeigen:
i) f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B),
ii) f −1 (C ∩ D) = f −1 (C) ∩ f −1 (D),
iii) f ist genau dann injektiv, falls f −1 (f (Z)) = Z für alle Z ⊂ X.
Unter welcher Voraussetzung gilt in i) Gleichheit?
Aufgabe 4* Es seien A, B, C, D Mengen und C
O
f
/D
O
α
ein kommutatives Diagramm, d.h. es gelte
β
A g /B
f ◦ α = β ◦ g. Ferner seien α und β bijektiv. Man zeige: Die Abbildung g ist genau dann injektiv,
wenn f injektiv ist.
3
Gruppen, Ringe, Körper
Aufgabe 1 Es sei K := {0, 1, a} eine Menge mit 3 paarweise verschiedenen Elementen. Wie sind die
Verknüpfungstafeln auszufüllen, so dass (K, +, )˙ ein Körper wird. (Die Elemente 0 und 1 sollen
dabei ihre "übliche" Rolle spielen)
+
0
1
a
0
1
·
0
1
a
a
0
1
a
Aufgabe 2 Es seien (G, +) eine Gruppe, U1 und U2 Untergruppen. Man beweise oder widerlege
jeweils:
i) (U1 ∩ U2 , +) ist eine Untergruppe von (G, +),
ii) (U1 ∪ U2 , +) ist eine Untergruppe von (G, +).
Aufgabe 3* Es sei (G, ∗) eine Gruppe mit neutralem Element e, und es gelte für alle g ∈ G die
Gleichung g 2 = e. Man beweise, dass (G, ∗) abelsch ist.
4
Lineare Gleichungssysteme
Aufgabe 1 Die Matrix A sei in Abhängigkeit der Parameter a, b gegeben durch


1 1
b
A= a b b−a 
1 1
0
Man bestimme den Rang von A in Abhängigkeit von a und b.
Aufgabe 2 Für welche t ∈ R hat das folgende LGS keine, genau eine oder mehr als eine Lösung?
x + y + tz = 2
3x + 4y + 2z = t
2x + ty − z = 1
Man berechne für t = 2 und t = 3 alle Lösungen.
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Vektorräume, Unterräume, Basis und Dimension
Aufgabe 1 Es seien V := C2 und U := {(z1 , z2 ) ∈ C2 |z1 = z̄2 }. Man zeige oder widerlege:
i) U ist ein Unterraum des C-Vektorraums V ,
ii) U ist ein Unterraum des R-Vektorraums V .
Aufgabe 2 (Staatsexamen 1984) Im R4 seien in Abhängigkeit von c ∈ R die Mengen


x1
 x2 
4

U = {
 x3  ∈ R |2x1 − x4 = 0, x2 + x3 − 2x4 = 0}
x4
 


1
c
 0 
 1 



Vc = {λ 
 1  + µ  −3  |λ, µ ∈ R}
0
4
gegeben.
i) Man begründe kurz, warum U und Vc Unterräume des R4 sind.
ii) Man berechne eine Basis von U .
iii) Für welche Zahlen c gilt R4 = U + Vc .
Aufgabe 3 Es seien a, b, c und d linear unabhängige Vektoren in einem reellen Vektorraum. Ferner
seien
v1 = a + b + c + d, v2 = b + c, v3 = c + d, v4 = a + b
und U :=< v1 , v2 , v3 , v4 >.
i) Man bestimme die Dimension von U .
ii) Was lässt sich über die Dimension von U aussagen, wenn man nichts über lineare (Un)Abhängigkeit der Vektoren a, b, c, d weiß?
Aufgabe 4 Es seien V = Q3 und
 

1
* −1
 −1   4
 
U1 = 
 2  ,  −2
2
−5

 
2
−1
*
 4   −2
 
U2 = 
 −5  ,  4
3
6

2
+
  1 

,
  −4  ⊂ V
11

+

 ⊂V

 
i) Man berechne Basen von U1 ∩ U2 und U1 + U2 .
ii) Man bestimme einen Unterraum U3 ⊂ V , so dass U1 + U3 = V, U1 ∩ U3 = {0}.
Aufgabe 5 Es seien R[X]2 der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad ≤ 2.
i) Man bestimme eine Basis des Unterraums
< {x2 − x, x − 1} > ∩ < {x2 − 2x, x} >
ii)* Man bestimme die Parameter a, b ∈ R, so dass
B(a,b) = {1 + ax + x2 , 1 + x + bx2 , 1 + ax − ax2 }
eine Basis von R[X]2 darstellt.
iii)* Man stelle das Polynom 1 − 2x + 5x2 in der Basis {1, 1 + x, 1 − x2 } dar.
Aufgabe 6* Man bestimme eine Basis des Unterraums < sin(x), cos(x), sin(x + π/2) >
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Lineare Abbildungen
Aufgabe 1 Welche der folgenden Abbildungen sind linear?
i) f : R → R, x 7→ x + 1,
ii) g : R2 → R2 , (x, y) 7→ (x + y, x − cy) mit einer Konstante c ∈ R.
Aufgabe 2 Die Abbildung F : R3 → R sei gegeben durch (x, y, z) 7→ x + y + z.
i) Zu zeigen: die Abbildung F ist linear.
ii) Ist F injektiv oder surjektiv?
iii) Man bestimme Basen von Bild(F ) und Kern(F ).
Aufgabe 3 Es sei f : R3 → R3 gegeben durch (x1 , x2 , x3 ) 7→ (x2 , 0, x1 ).
i) Man zeige, dass f linear ist.
ii) Man bestimme Basen von Bild(f ) und Kern(f ).
iii) Ist f injektiv, surjektiv oder sogar bijektiv?
Aufgabe 4 Ist die Komposition linearer Abbildungen wieder linear?
Aufgabe 5 i) Gibt es eine surjektive lineare Abbildung f : Rn → Rn+1 ?
ii) Gibt es eine injektive lineare Abbildung f : Rn → Rn−1 ?
Aufgabe 6 Es sei V := R[X]3 die Menge aller Polynome vom Grad ≤ 3 mit reellen Koeffizienten.
i) Zu zeigen: die Abbildung F : V → V, F (p(X)) = p0 (X) ist linear.
ii) Man bestimme Bild(F ) und Kern(F ).
iii) Man zeige, dass B = {X − 1, X + 1, X 3 − X 2 , X 3 + X 2 } eine Basis von V ist.
iv) Wie lauten die Bilder der Basisvektoren in B unter der Abbildung F ?
Aufgabe 7 (Staatsexamen 1994) Im R3 seien die Vektoren

 

 
 
 
 
2
3
1
0
1
1











0 
µ , w3 =
1 , w2 =
0 , w1 =
λ , v3 =
2 , v2 =
v1 =
1
1
1
2
4
3
gegeben. Für welche Parameter λ, µ ∈ R gibt es eine lineare Abbildung φ : R3 → R3 mit
φ(vi ) = wi für i=1,2,3?