WECHSELWIRKUNG MIT DEM STRAHLUNGSFELD Daniel Geiß

WECHSELWIRKUNG MIT DEM STRAHLUNGSFELD
Daniel Geiß
Theoretisch-Physikalisches Seminar über Probleme der Quantenmechanik
Prof. Dr. Georg Wolschin
Universität Heidelberg
Wintersemester 2013/14
Inhaltsverzeichnis
1 Reminder: Klassische Elektrodynamik
1
2 Hamilton-Operator
2.1 Hamilton-Operator eines geladenen Teilchens im elektromagnetischen Feld . . .
2.2 Quantisierung des Strahlungsfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
3 Reminder: Zeitabhängige Störungstheorie
3.1 Wechselwirkungsbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Übergänge 1.Ordnung und Fermis Goldene Regel . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
5
4 Wechselwirkung zwischen Materie und elektromagnetischem Feld
4.1 Spontane Emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Elektrische Dipolübergänge und Auswahlregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Absorption und stimulierte Emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
6
8
1
Reminder: Klassische Elektrodynamik
In dem folgenden Kapitel möchte ich zunächst an die klassische Beschreibung des Elektromagnetismus erinnern. Diese ist in Form der Maxwell-Gleichungen gegeben. Die homogenen
Maxwell-Gleichungen sind:
∇·B =0
(1)
1 ∂B
=0
c ∂t
Aus Gleichung 1 folgt, dass wir ein Vektorpotential A definieren können mit:
∇×E+
∇×A=B
(2)
(3)
Eingesetzt in Gleichung 2 erhalten wir:
∇ × (E +
1 ∂A
)=0
c ∂t
(4)
Somit können wir analog ein skalares Potential φ definieren mit:
∇φ = E +
1 ∂A
c ∂t
(5)
Die inhomogenen Maxwell-Gleichungen sind gegeben durch:
4πρ = ∇ · E =
1∂
∇ · A + ∆φ
c ∂t
(6)
1∂
1 ∂ 2A
1 ∂E
= ∇(∇ · A) − ∇2 A +
∇φ + 2 2
(7)
c ∂t
c ∂t
c ∂t
Es ist festzuhalten, dass die Potentiale φ und A invariant unter Eichtransformation ist, d.h.
Transformationen der Form:
A → A + ∇Λ
(8)
4πj = ∇ × B −
φ→φ−
1 ∂Λ
c ∂t
(9)
Mit einer beliebigen skalaren Funktion Λ.
2
2.1
Hamilton-Operator
Hamilton-Operator eines geladenen Teilchens im elektromagnetischen Feld
Der Hamilton-Operator eines Teilchens mit Ladung e und Masse m im elektromagnetischen
Feld besitzt die Form:
H=
1
e
(p − A(x, t))2 + eφ(x, t) + V (x)
2m
c
1
(10)
Dabei betrachten wir ein zeitunabhängiges Potential V (x). Für ein System aus mehreren Teilchen geht dieser Ausdruck in eine Summe über. Wir separieren nun Gleichung 10 in einen Teil,
der das ungestörte System beschreibt, und den Rest, der die Kopplung an das elektromagnetische Feld beschreibt:
H = H0 + HI
(11)
X p2
i
+ V (xi )
H0 =
(12)
2m
i
X
e2
e
2
(p · A(xi , t) + A(xi , t) · pi ) +
A (xi , t) + eφ(xi , t)
(13)
HI =
−
2mc i
2mc2
i
Wir gehen im Folgenden von der Coulomb-Eichung aus, d.h. ∇ · A = 0. Der Impulsoperator ist
im Ortsraum gegeben durch p̂ = −i~∇. Wegen
∇ · A(x, t)ψ(x, t) = ψ(x, t)∇ · A(x, t) + A(x, t) · ∇ψ(x, t)
(14)
vereinfacht sich HI zu:
HI (t) =
X
i
e
e2
2
−
p · A(xi , t) +
A (xi , t) + eφ(xi , t)
mc i
2mc2
(15)
Wir definieren nun den Teilchendichte-Operator ρ(x) sowie den Teilchenstromdichte-Operator
j(x).
X
ρ(x) ≡
δ(x − x0i )
(16)
i
X 1
(pδ(x − x0i ) + δ(x − x0i )p)
j(x) ≡
2m
i
Dies erlaubt uns den Hamilton-Operator HI in der Form
Z
e2
e
2
3
ρ(x)A (x, t) + eρ(x)φ(x, t)
HI (t) = d x − j(x) · A(x, t) +
c
2mc2
(17)
(18)
zu schreiben.
Anmerkung: Im folgenden werden wir ein freies Strahlungsfeld betrachten, somit ist der letzte
Term in Gleichung 18 zu vernachlässigen.
2.2
Quantisierung des Strahlungsfeldes
Der nächste Schritt ist es nun das Strahlungsfeld zu quantisieren. Da es sich bei elektromagnetischen Wellen um Oszillationen des elektromagnetischen Feldes handelt, ist es naheliegend,
analog zum 1-dimensionalen harmonischen Oszillator1 Leiteroperatoren einzuführen. Dazu betrachten wir zunächst die Maxwell-Gleichungen des freien Strahlungsfeldes in der CoulombEichung. Gleichung 7 vereinfacht sich somit zu einer freien Wellengleichung ( A = 0). Diese
1
Reminder: Der Hamiltonian des 1-dimensionalen harmonischen Oszillators ist egeben durch:
H=
mq̇ 2
mω 2 2
+
q
2
2
2
~ in einer Fourier-Reihe zu entwickeln:
erlaubt es uns das Vektorfeld A
X
A(x, t) =
Ak (t)eik·x
(19)
k
Unter Verwendung dieser Entwicklung sowie der Gleichungen 1 und 2 ergibt sich für die Energie
des Strahlungsfeldes:
Z
1
V X 1
2
2
3
2
2
(20)
HStr =
d x(E + B ) =
|Ȧk | + |k × Ak |
8π
2π k
c2
Vergleichen wir diesen Ausdruck mit dem 1-dimensionalen harmonischen Oszillator so können
wir das Vektorpotential A durch Leiteroperatoren ak,λ , a†k,λ ausdrücken:
r
A(x, t) =
X
k,λ
2π~c
†
∗
−ik·x+iωk t
ik·x−iωk t
ak,λ k,λ e
+ ak,λ k,λ e
kV
(21)
Dabei stellt k,λ den Polarisationsvektor zum Wellenvektor k mit Index λ = 1, 2. Unter Voraussetzung der Coulomb-Eichung folgt: k,λ · k = 0. Somit existieren nur zwei linear unabhängige
Polarisationsvektoren. O.B.d.A fordern wir außerdem, dass die k,λ eine Orthonormalbasis bilden. Außerdem wurde an dieser Stelle die Frequenz ωk = ck und das Volumen V eingeführt,
an dessen Begrenzung wir periodische Grenzbedingungen annehmen. Die so eingeführten Leiteroperatoren berücksichtigen die folgenden Kommutator-Relationen:
[ak,λ , a†k0 ,λ0 ] = δk,k0 δλ,λ0
(22)
[ak,λ , ak0 ,λ0 ] = [a†k,λ , a†k0 ,λ0 ] = 0
(23)
Der Hamitltonian vereinfacht sich somit zu:
X
X
1
1
†
~ck ak,λ ak,λ +
HStr =
~ck nk,λ +
=
2
2
k,λ
k,λ
(24)
Hierbei bezeichnet nk,λ den Besetzungszahloperator. Dieser besitzt nur ganzzahlige Eigenwerte
nk,λ = 0, 1, 2, ...” und die Eigenzustände sind von der Form:
|nk,λ i = √
1
(a†k,λ )nk,λ |0i
nk,λ
Die Quantisierung gelingt durch Einführung von Leiteroperatoren der Form:
r
~
q=
(ae−iωt + a† eiωt )
2mω
Diese Berücksichtigen die Kommutator-Relation [a, a† ] = 1 un führen somit zu:
1
H = ~ω(a† a + )
2
3
(25)
Dabei bezeichnet |0i den Vakuumzustand (oder auch Grundzustand), definiert durch ak,λ |0i =
0 für alle k, λ.Wie auch beim 1-dimensionalen harmonischen Oszillator erniedrigt ak,λ die Besetzungszahl um eins. Dies erlaubt uns die Interpretation von ak,λ als Vernichtungsoperator,
welcher ein Photon mit Wellenzahl (k, λ), d.h. mit Impuls ~k, Polarisation k,λ und Energie
~ωk , vernichtet. Analog agiert a†k,λ als Erzeugungsoperator. Insgesamt erhalten wir somit für
Materie, die mit dem Strahlungsfeld wechselwirkt, einen Hamilton-Operator der Form:
H = H0 + HI + HStr
(26)
Dabei beschreibt H0 den Hamilton-Operator der freien Elektronen, HStr den Hamilton-Operator
des freien Strahlungsfeldes und HI die Wechselwirkung.
3
3.1
Reminder: Zeitabhängige Störungstheorie
Wechselwirkungsbild
Wir betrachten einen Hamiltonian der Form:
t < t0 : H = H0
(27)
t ≥ t0 : H = H(t) = H0 + V (t)
(28)
Dabei bezeichnet H0 einen zeitunabhängigen Hamiltonoperator mit bekannten Eigenzuständen
H0 |mi = Em |mi. Diese sind stationär unter Zeitentwicklung, somit gilt:
|m, ti = e−iH0 t/~ |mi
(29)
Im folgenden bezeichne |m, ti immer |m, ti = e−iH0 t/~ |mi.
Für t ≥ t0 sind die |mi keine Eigenzustände von H und folglich nicht stationär unter der Zeitentwicklung von H. Aber falls V (t) klein gegenüber H0 , ist es sinnvoll die Eigenzustände |mi bzw.
|m, ti beizubehalten und die Dynamik unter der Störung V (t) zu untersuchen. Dazu verwenden
wir das Wechselwirkungsbild. Ein Zustand im Wechselwirkungsbild ist gegeben durch:
|Ψ, tiI ≡ eiH0 t/~ |Ψ, ti
(30)
Wobei |Ψ, ti den Zustand im Schrödinger-Bild beschreibt. Durch Auswerten der Ableitung
erhalten wir die Bewegungsgleichung im Wechselwirkungsbild:
i~
∂
|Ψ, tiI = VI (t) |Ψ, tiI
∂t
(31)
Mit VI (t) = eiH0 t/~ V (t)e−iH0 t/~ . Diese lässt sich durch eine Neumann-Reihe lösen:
Z
Z t1
Z tn−1
∞
X
1 n t
1+
dt1
dt2 ...
dtn V (t1 )...V (tn ) |Ψ, tiI
i~
t
t
t
0
0
0
n=1
|Ψ, tiI =
4
(32)
3.2
Übergänge 1.Ordnung und Fermis Goldene Regel
Wir wollen nun die Übergänge der 1.Ordnung untersuchen. Dazu sei unser Systems anfangs im
Eigenzustand |m, ti des ungestörten Hamilton-Operators H0 . Wir suchen nun die Wahrscheinlichkeit, dass unser System unter der Wirkung von V (t) in den Zustand |n, ti übergeht. Dabei
soll hn| mi = 0 gelten. Durch Übergang ins Wechselwirkungsbild, sowie unter Verwendung von
Gleichung 32, erhalten wir für die Übergangswahrscheinlichkeit:
Z t
1
0
0
iω
t
0
2
dt e nm hn| V (t ) |mi 2
(33)
Pmn (t) = | hn, t| m, ti | = ~ t0
m
Mit ωnm = En −E
.
~
Wir betrachten nun eine Störung die zur Zeit t0 = 0 eingeschaltet wird und sich dann nicht
mehr ändert, d.h. V (t) = V Θ(t). Die Übergangswahrscheinlichkeit vereinfacht sich somit zu:
Pmn (t) =
1 sin(ωnm t/2)
| hn| V |mi |2
~2 (ωnm /2)2 t
Wir führen nun die Übergangsrate Γnm ≡
Pmn (t)
t
(34)
ein. Unter Verwendung von
sin2 (xt)
= δ(x)
lim
t→∞
πx2 t
(35)
erhalten wir für die asymptotische Übergangswahrscheinlichkeit:
lim Γmn =
t→∞
2π
δ(En − Em )| hn| V |mi |2
~
(36)
Betrachten wir nun den Übergang von |m, ti in einen kontinuirlichen Bereich von Zuständen
{|ni}. Wir setzen dazu voraus, dass das Matrixelement für alle Zustände gleich ist und führen
die Zustandsdichte ρ(En ) ein. Dann ergibt sich die für die Übergangsrate in diese Menge von
Zuständen:
Z
X
2π
(37)
Γmn = dEn ρ(En )Γmn = ρ(Em ) | hn| V |mi |2
~
n
Dies bezeichnet man als ”Fermis Goldene Regel”.
Wir erweitern obige Rechnung nun, indem wir fordern, dass unsere Störung periodisch in der
Zeit variiert, d.h. V (t) = [F e−iωt + F † eiωt ]Θ(t). Für das Übergangsmatrixelement ergibt sich:
Z
1 t 0 i(ωnm −ω)t0
0
hn, t| m, ti =
dt e
hn| F |mi + ei(ωnm +ω)t hn| F † |mi
(38)
i~ 0
Da beide δ-artigen nicht überlappen, tragen die gemischten Terme bei der Berechnung der
Übergangsrate nicht bei.
Γmn =
2π δ(En − Em − ~ω)| hn| F |mi |2 + δ(En − Em + ~ω)| hn| F † |mi |2
~
5
(39)
4
Wechselwirkung zwischen Materie und elektromagnetischem Feld
4.1
Spontane Emission
Im folgenden werden wir die spontane Emission eines Photons durch ein Atom untersuchen.
Wir betrachten dazu folgenden Fall: Zunächst befinde sich das Strahlungsfeld im Grundzustand
und ein atomares Elektron im Anfangszustand |mi. Dieses geht in den Zustand |ni über und
emittiert dabei ein Photon mit Wellenzahl k und Polarisation λ. Der Anfangszustand des Gesamtsystems ist folglich |0i ⊗ |mi und der Endzustand a†k,λ |0i ⊗ |ni. Zur konkreten Berechnung
dieses Problems bedienen wir uns bei der zeitabhängigen Störungstheorie.
Unsere Störung HI (t), die die Emission induziert, ist gegeben durch Gleichung 18, wobei wir
den Ausdruck für A aus Gleichung 21 einsetzen. Wir beschränken uns hier auf die Kopplung
niedrigster Ordnung1 somit vereinfacht sich der Störterm zu:
eX
HI (t) = −
c k,λ
r
2π~c
†
−iωk t
∗
iωk t
ak,λ j(−k) · k,λ e
+ ak,λ j(k) · k,λ e
kV
(40)
R
Mit j(k) = d3 xe−ik·x j(x).
Unter Berücksichtigung von ak,λ |0i = 0, ergibt sich für die Übergangsrate (Gleichung 39):
Γm→n,k,λ =
4.2
(2π)2 e2
1
δ(Em − En − ~ck) hn| √ j(k) · ∗k,λ |mi 2
kc
V
(41)
Elektrische Dipolübergänge und Auswahlregeln
Wir möchten nun das Matrixelement aus Gleichung 41 genauer betrachten. Da die Ausdehnung
von Atomen sehr viel kleiner ist als die Wellenlänge der Strahlung die absorbiert oder emittiert
wird, gilt:
a0
1
(42)
kx ≈ ka0 =
λ
Somit können wir die Exponentialfunktion entwickeln:
Z
Z
i
3
hn| j(k) |mi = hn| j 0 |mi − i hn| d x(k · x)j(x) |mi + hn| d3 x(k · x)2 )j(x) |mi + ... (43)
2
P
Mit j 0 = m1 P , wobei P den Gesamtimpuls beschreibt: P = i pi .
Im folgenden möchten wir uns auf die Dipolübergänge beschränken. Diese werden durch den 1.
Term der Entwicklung beschrieben. Wir verwenden nun die Kommutatorrelation
[X, H0 ] =
i~
P
m
(44)
Im vernachlässigtem Term treten a und a† quadratisch auf, somit trägt dieser Term zu Übergängen bei, bei
denen zwei Photonen gleichzeitig emittiert werden.
1
6
P
Mit dem Schwerpunkt X = i xi .
Das Matrixelement vereinfacht sich somit zu:
hn| j 0 |mi =
i
(En − Em ) hn| X |mi
~
(45)
Das Matrixelement ednm = hn| X |mi des Dipoloperators eX bestimmt somit, welche elektrischen Dipolübergänge möglich sind. Dies führt zu den vertrauten Auswahlregeln.
Zu deren Herleitung betrachten wir die Kommutatorrelationen
[LZ , Z] = 0
(46)
[LZ , X ± iY ] = ±(X ± iY )~
(47)
Wobei L den Gesamtdrehimpuls und X, Y, Z die Komponenten des Schwerpunktes sind.
Da ein Atom ein zentralsymmetrisches Problem darstellt, können wir annehmen, dass unsere
Anfangs- und Endzustände Eigenzustände von L2 und LZ sind, mit Quantenzahlen l, l0 und
m, m0 . Aus den Kommutatorrelationen folgt nun:
0 = hl0 , m0 | LZ Z − ZLZ |l, mi
= ~(m0 − m) hl0 , m0 | Z |l, mi
(48)
0 = hl0 , m0 | LZ (X ± iY ) + (X ± iY )LZ ± ~(X ± iY ) |l, mi
= ~(m0 − m ∓ 1) hl0 , m0 | X ± iY |l, mi
(49)
Daraus folgt, dass das Dipolmatrixelement nur dann nicht verschwindet wenn
(
m
m0 =
m±1
(50)
erfült ist.
Zur Ermittelung der Auswahlregel für die Quantenzahl l verwendet man folgende Kommutatorrelation:
[L2 , [L2 , X]] = 2~{X, L2 }
(51)
Man erhält:
0 = hl0 , m0 | X |l, mi (l + l0 )(l + l0 + 2)[(l − l0 ) − 1]
(52)
Da die Quantenzahlen l, l0 nicht negativ sind, kann der 2. Faktor nicht verschwinden und der
1. nur für den Fall: l = l0 = 0. Da solche Zustände richtungsunabhängig sind, verschwindet das
zugehörige Matrixelement2 .
Aus dem letzten Faktor folgt somit die Auswahlregel
l0 = l ± 1
(54)
Welche Übergänge letztendlich stattfinden wird durch die Polarisation der Strahlung bestimmt.
Insbesondere führt zirkular polarisiertes Strahlung zur Änderung der Quantenzahl m, d.h der
Drehimpuls des Atoms wird auf das Photon übertragen.
2
Formal sieht man dies durch den Paritätsoperator. Da X ungerade unter Paritätstransformation ist, gilt:
hl0 = 0| X |l = 0i = − h0| P X P |0i = − h0| X |0i
7
(53)
4.3
Absorption und stimulierte Emission
Im Abschnitt “spontane Emission”haben wir den speziellen Fall betrachtet, in dem ein Atom
ohne Einfluss des äußeren Strahlungsfeldes ein Photon emittiert. In diesem abschließenden
Abschnitt werden wir die Absorption und die stimulierte Emission genauer untersuchen.
Betrachten wir zunächst den Absorptionsprozess: Der Anfangszustand des Strahlungsfelds sei
gegeben durch nk,λ Photonen der Art (k, λ) und entsprechend der Endzustand durch nk,λ − 1
Photonen. Der Anfangszustand des Atoms sei |ni und der Endzustand |mi. Der Prozess ergibt
sich aus dem Vernichtungsoperator in Gleichung 40. Durch analoge Rechnung, wie in Abschnitt
4.1, erhalten wir für die Übergangsrate:
Γabs
n→m = nk,λ
(2π)2 e2
δ(Em − En − ~ck) hm| k,λ j(−k) |ni 2
V ck
(55)
Dabei ist festzustellen, dass die Übergangsrate linear mit der Zahl der einfallenden Photonen
anwächst.
Bei der Emission sei der Anfangszustand der Strahlungsfeldes durch nk,λ Photonen der Art
(k, λ) gegeben und der Endzustand durch nk,λ + 1 Photonen. Der Anfangszustand des Atoms
sei |mi und der Endzustand |ni. Im Gegensatz zur Absorption ergibt sich der Prozess aus dem
Erzeugungsoperator aus Gleichung 40. Für die Übergangsrate erhalten wir:
Γem
m→n = (nk,λ + 1)
(2π)2 e2
δ(En + ~ck − Em ) hn| ∗k,λ j(k) |mi 2
V ck
(56)
Falls anfangs keine Photonen vorhanden sind, d.h. nk,λ = 0, reduziert sich dieser Ausdruck auf
den Fall der spontanen Emission. Der Beitrag von nk,λ wird als stimulierte Emission bezeichnet.
Vergleichen wir die Übergangsrate der beiden Prozesse, so fällt auf, dass der Beitrag der stimulierten Emission größengleich mit der Absorption ist.
Seien nun die atomaren Niveaus En und Em boltzmanverteilt, dann führt die Bedingung des
gegenseitigen Ausgleichs von Emissions- und Absorptionsprozessen zum Planckschen Strahlungsgesetz für die Strahlung eines schwarzen Körpers.
8
Literatur
[1] F. Schwabl: Quantenmechanik (QM I), $ 16.4
[2] A. S. Dawydow: Quantenmechanik, $ 94/95
[3] T. Weigand: Skript zu theoretischen Quantenmechanik, $ 4.4
[4] T. Wettig: Skript zur Quantenmechanik II, $ 1.5
[5] M. R. Gaberdiel: Skript zur Quantenmechanik II, $ 2
9