Formelsammlung SK

M. Wegerer, S. Schicktanz
FH Regensburg, 18.06.2004
Formelsammlung
Systemkonzepte
Michael Wegerer und Simon Schicktanz
FH Regensburg, Juni 2004
- Seite 1 von 10 -
1.
KRÄFTE DURCH ELEKTR. UND MAGN. FELDER .............................................................. 3
ELEKTRISCHE FELDER ........................................................................................................... 3
MAGNETISCHE FELDER .......................................................................................................... 3
1.1.
1.2.
2.
GRUNDLAGEN MECHANIK ...................................................................................................... 3
2.1.
MECHANISCHE KRAFT, LEISTUNG UND ENERGIE ................................................................ 3
2.1.1.
Mechanische Kräfte .................................................................................................. 3
2.1.2.
Mechanische Energie ............................................................................................... 4
2.1.3.
Mechanische Leistung ............................................................................................. 4
2.2.
STATISCHES VERHALTEN FESTER KÖRPER ......................................................................... 4
2.3.
DYNAMISCHES VERHALTEN FESTER KÖRPER ..................................................................... 4
2.4.
DREHMOMENT ........................................................................................................................ 4
3.
GRUNDLAGEN ELEKTRIK........................................................................................................ 4
4.
GRUNDLAGEN FESTKÖRPERPHYSIK ................................................................................. 4
5.
GEMISCHTE SYSTEME ............................................................................................................. 5
5.1.
ELEKTRO-MECHANISCHE SYSTEME ...................................................................................... 5
5.1.1.
Elektro-mech. Kopplung mittels elektr. Felder.................................................. 5
5.1.2.
Elektro-mech. Kopplung mittels magn. Felder.................................................. 5
5.2.
ELEKTRO-THERMISCHE SYSTEME ........................................................................................ 5
6.
ELEKTRISCHE ANALOGIEN NICHTELEKTR. SYSTEME ................................................. 5
6.1.
ELEKTRO-THERMISCHES SYSTEM......................................................................................... 5
6.2.
ELEKTRO-MECHANISCHE SYSTEME ...................................................................................... 6
6.2.1.
FU-Analogie ................................................................................................................ 6
6.2.2.
FI-Analogie .................................................................................................................. 6
7.
REGELKREISE............................................................................................................................. 6
7.1.
PRINZIP DER LINEAREN RÜCKKOPPLUNG ............................................................................ 6
7.2.
FEHLERUNTERDRÜCKUNG DURCH RÜCKKOPPLUNG ........................................................... 7
7.3.
STABILITÄT RÜCKGEKOPPELTER SYSTEME ......................................................................... 8
7.3.1.
Stabilitätsbetrachtung an der offenen Schleife................................................. 8
7.3.2.
Stabilitätsbetrachtung an der geschlossenen Schleife .................................. 8
7.4.
VIER VARIANTEN DER ELEKTRISCHEN RÜCKKOPPLUNG..................................................... 8
7.5.
ÜBERTAKTETE RÜCKGEKOPPELTE SYSTEME ...................................................................... 8
8.
ZEITDISKRETISIERUNG............................................................................................................ 9
ABTASTUNG ANALOGER SIGNALE ........................................................................................ 9
AUSWIRKUNG DER ABTASTUNG IM FREQUENZBEREICH ..................................................... 9
8.1.
8.2.
9.
PHYSIKALISCHE SYSTEMKONZEPTE.................................................................................. 9
9.1.
DIRAC - FUNKTION ................................................................................................................. 9
9.2.
DIE FALTUNG.......................................................................................................................... 9
9.3.
GERADE UND UNGERADE FUNKTIONEN ................................................................................ 9
9.4.
SYMMETRIE REELLER FREQUENZEN..................................................................................... 9
9.5.
SYMMETRIE DER FOURIER - TRANSFORMATION ................................................................ 10
9.5.1.
Transformation unendlich breiter Funktionen ................................................ 10
10.
DIGITALE FILTER ................................................................................................................. 10
10.1.
10.2.
10.3.
ENTWURF IM ZEITBEREICH VON DIGITALEN FILTER ...................................................... 10
ENTWURF IM FREQUENZBEREICH VON DIGITALEN FILTER............................................ 10
FILTER-TRANSFORMATION VOM S-BEREICH IN DEN Z-BEREICH .................................. 10
2/2
M. Wegerer, S. Schicktanz
FH Regensburg, 18.06.2004
1. Kräfte durch elektr. und magn. Felder
1.1.
elektrische Felder
Kraft im homogenen Feld
v
v
auf eine Ladung: F = QE
auf ein Elektron:
v
v
F = −qE
Kraft auf zwei Punktladungen mit Mittelpunktabstand r
v
QQ
F = − 1 22
4πεr
Kraft auf Platten eines Kondensators
v εA  U  2
F=  
2 x
C=
εA
=>
x
v CU 2
F=
2x
elektrische Energie
Eel =
1
CU 2
2
Laterale Kraft durch elektr. Felder
2
A = 2WL => E = εWLU
el
x
1.2.
Fel =
dE el εWU 2
=
= Fmech
dL
x
magnetische Felder
Kraft im magnetischen Feld
v
v
v
v
v
v
auf Elektron (e= -1,602 10-19As) : F = e ⋅ v × B
auf Ladung: F = Q ⋅ v × B
Kraft auf Ströme im magnetischen Feld
v
mit Q ⋅ vv = I ⋅ ∆l
v
v v
dF = dl ⋅ I × B
v
v v
F =l⋅I ×B
magnetische Energie
Emag =
1 2
LI
2
2.
Grundlagen Mechanik
2.1.
Mechanische Kraft, Leistung und Energie
2.1.1.
Mechanische Kräfte
Allgemein:
F=
dE
dx
Kraft zur Beschleunigung einer Masse:
F = m&x& = mv& = ma F ~ v&
Schwerkraft bei Erdbeschleunigung:
F = mg
Kraft zur Bewegung eines Dämpfers:
F = dv
Kraft zur Auslenkung einer Feder:
F = sx
F ~v
F ~ ∫v
3/3
M. Wegerer, S. Schicktanz
2.1.2.
FH Regensburg, 18.06.2004
Mechanische Energie
Allgemein: (Arbeit = Kraft * Weg)
v v
E = ∫ F ⋅ dl
potentielle Energie:
E = mgh
kinetische Energie:
E=
1 2
mv
2
E=
1 2
sx
2
P=
dE
dt
Energie einer Feder:
2.1.3.
Mechanische Leistung
Leistung = Kraft * Geschwindigkeit
Allgemein:
v v
P = F ⋅v
Exakt:
2.2.
Statisches Verhalten fester Körper
Summe aller Kräfte gleich 0 (in allen drei Dimensionen)
∑F
mech , k


 ∑ Fx, mech,k , ∑ Fy ,mech,k ,∑ Fz ,mech,k ,  = (0,0,0)
k
k
 k

=0
k
2.3.
Dynamisches Verhalten fester Körper
∑F
mech,k
k
= ∑ Fstat,k =∑ Fdyn,k , = 0
k
k
v
v
Sind sie statischen Kräfte nicht im Gleichgewicht, so muss eine Kraft F = − F eine Masse beschleunigen.
dyn
stat
2.4.
Drehmoment
Schiebende (translatorische) Kraft:
Ft =
1
( F1 + F2 )
2
Drehmoment: M r = d ( F1 − F2 )
3.
Grundlagen Elektrik
Kirchhoff’schen Gesetze:
Maschenumlauf
Knotenströme
∑I
∑U el ,k = 0
4.
el , k
=0
k
k
Grundlagen Festkörperphysik
Ladungen und Ströme im Halbleiter
Ortsfeste Ladungsdichte:
C ( x, y , z ) = q ( 2 N D
Bewegliche Ladungsdichte:
++
+
+ N D − 2N A
−−
−
− NA )
NA-: einfach positiv geladene Akzeptor-Ionen
NA--: zweifach positiv geladene Akzeptor-Ionen
ND+: einfach positiv geladene Donator-Ionen
ND++: zweifach positiv geladene Donator -Ionen
q ( p − n)
Elektronenstrom = Driftstrom(n)+Diffusionsstrom(n):
J n = nqµ n E + qDn grad (n)
Löcherstrom = Driftstrom(p)+Diffusionsstrom(p):
J p = nqµ p E − qD p grad (n)
4/4
M. Wegerer, S. Schicktanz
FH Regensburg, 18.06.2004
5.
Gemischte Systeme
5.1.
Elektro-mechanische Systeme
Zusammenhänge zwischen translatorischen und Rotationsgrößen
5.1.1.
Elektro-mech. Kopplung mittels elektr. Felder
Beschleunigungssensor:
5.1.2.
Schlupf:
Fel = −
εAVDD
d2
⋅ u s (t ) = Fa = m ⋅ a
Elektro-mech. Kopplung mittels magn. Felder
s=
n0 − n
n
= 1−
n0
n0
5.2.
Elektro-thermische Systeme
6.
Elektrische Analogien nichtelektr. Systeme
6.1.
Elektro-thermisches System
5/5
M. Wegerer, S. Schicktanz
FH Regensburg, 18.06.2004
6.2.
Elektro-mechanische Systeme
6.2.1.
FU-Analogie
Elektrische Gleichung
mechanische Analogie
U = LI&
eletro-mech. Zusammenhänge
F = m ⋅ v&
1
R ⋅ I + L ⋅ I& + ∫ Idt = 0
C
F = U , v = I , m = L, s =
d ⋅ v + m ⋅ v& + s ∫ vdt = 0
ECap =
6.2.2.
1
,d = R
C
1
1
1
1
2
CU c = s −1Fs2 = s −1 ( sx) 2 = sx 2 = E feder
2
2
2
2
FI-Analogie
Elektrische Gleichung
mechanische Analogie
I = CU&
eletro-mech. Zusammenhänge
F = m ⋅ v&
U
1
+ C ⋅ U& + ∫ Udt = 0
L
R
F = I , v = U , m = C, s =
1
1
,d =
L
R
d ⋅ v + m ⋅ v& + s ∫ vdt = 0
Eind =
7.
Regelkreise
7.1.
Prinzip der linearen Rückkopplung
1
1
1
1
2
LI L = s −1Fs2 = s −1 ( sx) 2 = sx 2 = E feder
2
2
2
2
k(s)A(s) = offene Schleifenverstärkung und p=1+kA = Rückkopplungsgrad
Differenzieller Eingang:
y=
Ax
= A* ⋅ x
1 + kA
mit
A* =
A
1 + kA
A* ( s) =
A( s)
1
kA >>1
→
1 + k ( s ) A( s )
k ( s)
Stabilität: Dieses System misst seine Phasenreserve gegen –180° zwischen Eingangssignal und Ausgangssignal
Summierender Eingang:
y=
Ax
= A* ⋅ x
1 − kA
mit
A* =
A
1 − kA
A* ( s) =
A( s )
1
kA >>1
→ −
1 − k ( s ) A( s)
k (s)
Stabilität: Die Phasenreserve wird jetzt gegen –360° bzw. gegen 0° gemessen.
6/6
M. Wegerer, S. Schicktanz
FH Regensburg, 18.06.2004
Auswahl des Referenzpotentials:
U = U '+U B ⇔ U ' = U − U B
Signalflussmodell für Summierer:
U 'out = − Z k I sum = ∑ −
i
Rk
R
U 'i = ∑ − ciU 'i mit ci = k
Ri
Ri
i
Signalflussmodell für summierenden Integrierer
U 'out = − Z k I sum = ∑ −
i
− ωiU 'i mit
1
1
U 'i = ∑
ωi =
sCk Ri
s
Ri Ck
i
Rückgekoppeltes System 1. Ordnung mit Integrator
1
A2
ω2
mit ω = − 1 ; ω = 1
s
H ( s) = −ω2
= −ω2
=−
2
k2
R2C2
Rk 2C2
1
1 − k 2 A2
s + ωk 2
1 − (−ωk 2 )( )
s
*
2
Rückgekoppeltes System 2. Ordnung mit zwei Integrator
A( s)
*
H ges
( s) = −ω1
= −ω1
1 − kA( s)
7.2.
− ω2
s( s + −ωk 2 )
mit A( s ) = H ( s) ⋅ H * ( s) = 1 ⋅ − ω 2
1
2
s s + ωk 2
− ω2
1 − ωk1
s( s + −ωk 2 )
Fehlerunterdrückung durch Rückkopplung
Bei völliger unabhängigen Größen (unkorrelierte) summieren
sich die Leistungen. (Gegenseitiges Aufheben von Rauschsignalen nicht möglich)
2
2
2
xerr
, ges = xerr + k err +
2
aerr
A2
Fehler aerr im Vorwärtsnetzwerk
yerr = aerr ,in,equiv ⋅ A* =
aerr
a
a
A
⋅
= err = err
A 1 + kA 1 + kA A0
7/7
M. Wegerer, S. Schicktanz
FH Regensburg, 18.06.2004
7.3.
Stabilität rückgekoppelter Systeme
7.3.1.
Stabilitätsbetrachtung an der offenen Schleife
Phasenreserve ϕ R gemessen bei
k⋅A
= 0dB
k ( jωT ) A( jωT ) = 0dB
7.3.2.
ϕ R = Phase{k ( jωT ) A( jωT )} + 180°
Stabilitätsbetrachtung an der geschlossenen Schleife
Polbetrachtung von A*
Geschlossene Schleife
A* (s) =
A( s)
mit Pole s pi = σ pi ± jω pi ; Polwinkel β = arctan σ pi
pi
1 + k ( s) A( s)
ω pi
Für System 2. Ordnung gilt
A* ( s) =
s ;
d
A0 ⋅ ω02
A
mit s ' =
D=
= 2 0
2
2
s + 2ds + ω0 s' +2 Ds'+1
ω0
ω0
D=1: Aperiodischer Grenzfall :
(zwei identische reelle Pole)
s ' p1, 2 = −1 ⇒ s p1, 2 = −ω0
D>1: Krichfall :
(zwei reelle Pole)
s ' p1, 2 = − D ± D 2 − 1 ⇒ s p1, 2 = − d ± d 2 − ω02
D<1: Schwingfall :
(zwei konjugiert komplexe Pole)
s ' p1, 2 = − D ± 1 − D 2 ⇒ s p1, 2 = − d ± j ω02 − d 2
7.4.
Vier Varianten der elektrischen Rückkopplung
Spannungsgesteuerte Spannungsquelle:
Z in* = Z in ⋅ p
*
Z out
=
Stromgesteuerte Stromquelle:
Z out
p
Z in* =
Stromgesteuerte Spannungsquelle:
Z in* =
Z in
p
*
Z out
=
Z in
p
*
Z out
= Z out ⋅ p
Spannungsgesteuerte Stromquelle:
Z out
p
Z in* = Z in ⋅ p
*
Z out
= Z out ⋅ p
Es ist p=1+kA. Zin und Zout sind Impedanzen des Vorwärtsnetzwerks A. Z*in und Z*out sind Impedanzen der Gesamtschaltung.
7.5.
Übertaktete rückgekoppelte Systeme
Delta – Modulation:
Quatisierungsrauchen Eq des A/D – Wandlers auf den Eingang transformiert
=>
Eq ,in,equiv ( s) =
Eq ( s )
A( s)
=
Eq ( s )
A0
Y ( s) = A (s) ⋅ ( X ( s) + Eq ,in,equiv ( s))
*
Delta – Sigma – Modulation:
Eq ,in,equiv ( s) =
Eq ( s )
A( s)
=
Eq ( s )
 ωT 
 
 s 
M
= sM ⋅
Eq ( s )
ωT
mit M = M – ter Ordnung des Modulators
M
8/8
M. Wegerer, S. Schicktanz
FH Regensburg, 18.06.2004
8.
Zeitdiskretisierung
8.1.
Abtastung analoger Signale
Nyquist – Shannon – Kriterium
fb ≤
1
f clk
2
2 f b ≤ f clk
F≤
Relative Frequenz F und relative Kreisfrequenz
F=
fb
= f bTclk
f clk
8.2.
Ω=
ω
f clk
1
2
Ω≤π
Ω
= ωTclk = 2πF
Auswirkung der Abtastung im Frequenzbereich
Aliasing
f alias = n ⋅ f clk − f b
n= 1,2,3,….
Abtast – Halte – Glied
f clk ,max =
1
1
=
Tmin T1 + T2
9.
Physikalische Systemkonzepte
9.1.
Dirac - Funktion
∞
Ausblendeigenschaft:
∫ f ( x) ⋅ δ ( x − a)dx = f (a)
−∞
9.2.
Die Faltung
∞
Analog:
Digital:
y (t ) = x(t ) * h(t ) = ∫ x(τ ) ⋅ h(t − τ )dτ
y(n) = x(n) * h(n) =
i =−∞
−∞
9.3.
∞
∑ x(i) ⋅ h(n − i)
Gerade und ungerade Funktionen
f ( x) = f g ( x ) + f u ( x)
f g ( x) = f g ( − x)
f u ( x) = − f u ( − x )
Berechnung des geraden und ungeraden Anteils einer Funktion
f g ( x) =
1
( f ( x) + f (− x))
2
f u ( x) =
1
( f ( x) − f (− x))
2
9.4.
Symmetrie reeller Frequenzen
cos(x) =
1 jx
(e + e − jx )
2
sin( x) =
1 jx − jx
(e − e )
j2
9/9
M. Wegerer, S. Schicktanz
9.5.
FH Regensburg, 18.06.2004
Symmetrie der Fourier - Transformation
∞
X (b) = F{x(a)} = ∫ x(a) ⋅ e − j 2πab da
x(a) = F −1{ X (b)} =
∫ X (b) ⋅ e
− j 2πab
db
−∞
−∞
9.5.1.
∞
Transformation unendlich breiter Funktionen
Spektrale - Energieverteilung: F{x(t )} =
∞
∫ x(t ) ⋅ e
− 2πft
Leistungsverteilung: F '{x(t )} = lim 1
dt
T →∞
−∞
10.
2T
T
∫ x(t ) ⋅ e
− 2πft
dt
−T
Digitale Filter
10.1. Entwurf im Zeitbereich von digitalen Filter
Digitales Ausgangssignal (y(n)) = Digitales Eingangssignal (x(n)) * Abgetastete Impulsantwort (h(n))
h(n) bestehend aus den Impulsen der Höhe a0, a1, a2…, ak nach der Verzögerung 0,T, 2T, …, kT
k
y(n) = a0 x(n) + a1 x(n − 1) + a2 x(n − 2) + ... + ak x(n − k ) = ∑ ai x(n − i)
dies ist eine Faltung im Zeitbereich
i =1
Umsetzung in den z-Bereich x(n - i)→
z −1 X (n) :
k
Y ( z ) = a0 X ( z ) + a1 z −1 X ( z ) + a2 z −2 X ( z ) + ... + ak z −1 X ( z ) = X ( z )∑ ai z −1 = X ( z ) ⋅ H ( z )
dies ist eine Mult. im z-Bereich
i =1
Digitale Übertragungsfunktion H(z):
H ( z) =
k
Y ( z)
= a0 + a1 z −1 + a2 z −1 + ... + ak z −1 = ∑ ai z −1
X ( z)
i =1
10.2. Entwurf im Frequenzbereich von digitalen Filter
Vorgehensweise wie beim Entwurf im Zeitbereich, es muss nur zuerst die geg. Übertragungsfunktion vom
Frequenzbereich in den Zeitbereich Fourier-Rücktransformiert werden.
FIR Tiefpaß:
hTP (n) = A ⋅ si(nΩ g )
hTP (n) = a0 + a1 z −1 + ... + ak z − k
FIR Hochpaß:
hHP (n) = hTP (n) ⋅ h0 (n) = A ⋅ si(nΩ g ) ⋅ cos(nτ ) = A ⋅ si(nΩ g ) ⋅ (−1) n
hBP (n) = b0 + b1 z −1 + ... + bk z − k
FIR Bandpaß:
hBP (n) = hTP (n) ⋅ h0 (n) = A ⋅ si(nΩ g ) ⋅ cos(nΩ 0 )
FIR Bandsperre:
hBS (n) = hTP (n) || hHP (n) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 ) z −1 + ... + (ak + bk ) z − k
10.3. Filter-Transformation vom s-Bereich in den z-Bereich
Verzögerung im Zeitbereich entspricht lineare Phasenverschiebung im Frequenzbereich
F{x(t − T )} = F{x(t )}⋅ e − jωT = F{x(t )}⋅ z −1
Transformation:
z = e jωT = e sT
Ù
s=
1
ln( z )
T
10/10