Formelsammlung SK

M. Wegerer, S. Schicktanz
FH Regensburg, 18.06.2004
Formelsammlung
Systemkonzepte
Michael Wegerer und Simon Schicktanz
FH Regensburg, Juni 2004
- Seite 1 von 10 -
1.
KRÄFTE DURCH ELEKTR. UND MAGN. FELDER .............................................................. 3
1.1.
1.2.
2.
ELEKTRISCHE FELDER ........................................................................................................... 3
MAGNETISCHE FELDER .......................................................................................................... 3
GRUNDLAGEN MECHANIK ...................................................................................................... 3
2.1.
MECHANISCHE KRAFT, LEISTUNG UND ENERGIE ................................................................ 3
2.1.1.
Mechanische Kräfte .................................................................................................. 3
2.1.2.
Mechanische Energie ............................................................................................... 4
2.1.3.
Mechanische Leistung ............................................................................................. 4
2.2.
STATISCHES VERHALTEN FESTER KÖRPER ......................................................................... 4
2.3.
DYNAMISCHES VERHALTEN FESTER KÖRPER ..................................................................... 4
2.4.
DREHMOMENT ........................................................................................................................ 4
3.
GRUNDLAGEN ELEKTRIK........................................................................................................ 4
4.
GRUNDLAGEN FESTKÖRPERPHYSIK ................................................................................. 4
5.
GEMISCHTE SYSTEME ............................................................................................................. 5
5.1.
ELEKTRO-MECHANISCHE SYSTEME ...................................................................................... 5
5.1.1.
Elektro-mech. Kopplung mittels elektr. Felder .................................................. 5
5.1.2.
Elektro-mech. Kopplung mittels magn. Felder .................................................. 5
5.2.
ELEKTRO-THERMISCHE SYSTEME......................................................................................... 5
6.
ELEKTRISCHE ANALOGIEN NICHTELEKTR. SYSTEME.................................................. 5
6.1.
ELEKTRO-THERMISCHES SYSTEM ........................................................................................ 5
6.2.
ELEKTRO-MECHANISCHE SYSTEME ...................................................................................... 6
6.2.1.
FU-Analogie ................................................................................................................ 6
6.2.2.
FI-Analogie .................................................................................................................. 6
7.
REGELKREISE............................................................................................................................. 6
7.1.
PRINZIP DER LINEAREN RÜCKKOPPLUNG ............................................................................ 6
7.2.
FEHLERUNTERDRÜCKUNG DURCH RÜCKKOPPLUNG ........................................................... 7
7.3.
STABILITÄT RÜCKGEKOPPELTER SYSTEME ......................................................................... 8
7.3.1.
Stabilitätsbetrachtung an der offenen Schleife ................................................. 8
7.3.2.
Stabilitätsbetrachtung an der geschlossenen Schleife .................................. 8
7.4.
VIER VARIANTEN DER ELEKTRISCHEN RÜCKKOPPLUNG .................................................... 8
7.5.
ÜBERTAKTETE RÜCKGEKOPPELTE SYSTEME ...................................................................... 8
8.
ZEITDISKRETISIERUNG ............................................................................................................ 9
8.1.
8.2.
9.
ABTASTUNG ANALOGER SIGNALE ........................................................................................ 9
AUSWIRKUNG DER ABTASTUNG IM FREQUENZBEREICH ..................................................... 9
PHYSIKALISCHE SYSTEMKONZEPTE.................................................................................. 9
9.1.
DIRAC - FUNKTION ................................................................................................................. 9
9.2.
DIE FALTUNG.......................................................................................................................... 9
9.3.
GERADE UND UNGERADE FUNKTIONEN ................................................................................ 9
9.4.
SYMMETRIE REELLER FREQUENZEN ..................................................................................... 9
9.5.
SYMMETRIE DER FOURIER - TRANSFORMATION ................................................................ 10
9.5.1.
Transformation unendlich breiter Funktionen ................................................ 10
10.
DIGITALE FILTER ................................................................................................................. 10
10.1.
10.2.
10.3.
ENTWURF IM ZEITBEREICH VON DIGITALEN FILTER ...................................................... 10
ENTWURF IM FREQUENZBEREICH VON DIGITALEN FILTER............................................ 10
FILTER-TRANSFORMATION VOM S-BEREICH IN DEN Z-BEREICH .................................. 10
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1. Kräfte durch elektr. und magn. Felder
1.1.
elektrische Felder
Kraft im homogenen Feld


auf eine Ladung: F  QE
auf ein Elektron:


F  qE
Kraft auf zwei Punktladungen mit Mittelpunktabstand r

QQ
F   1 22
4r
Kraft auf Platten eines Kondensators
 A  U  2
F  
2 x
C
A
=>
x
 CU 2
F
2x
elektrische Energie
Eel 
1
CU 2
2
Laterale Kraft durch elektr. Felder
2
A  2WL => E  WLU
el
x
1.2.
Fel 
dEel WU 2

 Fmech
dL
x
magnetische Felder
Kraft im magnetischen Feld






auf Elektron (e= -1,602 10-19As) : F  e  v  B
auf Ladung: F  Q  v  B
Kraft auf Ströme im magnetischen Feld

mit Q  v  I  l

 
dF  dl  I  B

 
F lI B
magnetische Energie
Emag 
1 2
LI
2
2.
Grundlagen Mechanik
2.1.
Mechanische Kraft, Leistung und Energie
2.1.1.
Mechanische Kräfte
Allgemein:
F
dE
dx
Kraft zur Beschleunigung einer Masse:
F  mx  mv  ma F ~ v
Schwerkraft bei Erdbeschleunigung:
F  mg
Kraft zur Bewegung eines Dämpfers:
F  dv F ~ v
Kraft zur Auslenkung einer Feder:
F  sx
F ~ v
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2.1.2.
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Mechanische Energie
Allgemein: (Arbeit = Kraft * Weg)
 
E   F  dl
potentielle Energie:
E  mgh
kinetische Energie:
Energie einer Feder:
2.1.3.
E
1 2
mv
2
E
1 2
sx
2
P
dE
dt
Mechanische Leistung
Leistung = Kraft * Geschwindigkeit
Allgemein:
 
P  F v
Exakt:
2.2.
Statisches Verhalten fester Körper
Summe aller Kräfte gleich 0 (in allen drei Dimensionen)
F
mech , k


  Fx ,mech,k ,  Fy ,mech,k , Fz ,mech,k ,   (0,0,0)
k
k
 k

0
k
2.3.
Dynamisches Verhalten fester Körper
F
mech,k
k
  Fstat,k  Fdyn,k ,  0
k
k


Sind sie statischen Kräfte nicht im Gleichgewicht, so muss eine Kraft F   F eine Masse beschleunigen.
dyn
stat
2.4.
Drehmoment
Schiebende (translatorische) Kraft:
Ft 
1
( F1  F2 )
2
Drehmoment: M r  d ( F1  F2 )
3.
Grundlagen Elektrik
Kirchhoff’schen Gesetze:
Maschenumlauf
Knotenströme
I
U el ,k  0
4.
el , k
0
k
k
Grundlagen Festkörperphysik
Ladungen und Ströme im Halbleiter
Ortsfeste Ladungsdichte:
C ( x, y , z )  q ( 2 N D
Bewegliche Ladungsdichte:


 N D  2N A


 NA )
NA-: einfach positiv geladene Akzeptor-Ionen
NA--: zweifach positiv geladene Akzeptor-Ionen
ND+: einfach positiv geladene Donator-Ionen
ND++: zweifach positiv geladene Donator -Ionen
q ( p  n)
Elektronenstrom = Driftstrom(n)+Diffusionsstrom(n):
J n  nqn E  qDn grad (n)
Löcherstrom = Driftstrom(p)+Diffusionsstrom(p):
J p  nq p E  qD p grad (n)
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5.
Gemischte Systeme
5.1.
Elektro-mechanische Systeme
Zusammenhänge zwischen translatorischen und Rotationsgrößen
5.1.1.
Elektro-mech. Kopplung mittels elektr. Felder
Beschleunigungssensor:
5.1.2.
Schlupf:
Fel  
AVDD
d2
 u s (t )  Fa  m  a
Elektro-mech. Kopplung mittels magn. Felder
s
n0  n
n
 1
n0
n0
5.2.
Elektro-thermische Systeme
6.
Elektrische Analogien nichtelektr. Systeme
6.1.
Elektro-thermisches System
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6.2.
Elektro-mechanische Systeme
6.2.1.
FU-Analogie
Elektrische Gleichung
mechanische Analogie
U  LI
eletro-mech. Zusammenhänge
F  m  v
F  U , v  I , m  L, s 
d  v  m  v  s  vdt  0
1
R  I  L  I   Idt  0
C
ECap 
6.2.2.
1
,d  R
C
1
1
1
1
2
CU c  s 1Fs2  s 1 ( sx ) 2  sx 2  E feder
2
2
2
2
FI-Analogie
Elektrische Gleichung
mechanische Analogie
I  CU
eletro-mech. Zusammenhänge
F  m  v
F  I , v  U , m  C, s 
1
1
,d 
L
R
d  v  m  v  s  vdt  0
U
1
 C  U   Udt  0
R
L
Eind 
7.
Regelkreise
7.1.
Prinzip der linearen Rückkopplung
1
1
1
1
2
LI L  s 1Fs2  s 1 ( sx ) 2  sx 2  E feder
2
2
2
2
k(s)A(s) = offene Schleifenverstärkung und p=1+kA = Rückkopplungsgrad
Differenzieller Eingang:
y
Ax
 A*  x
1  kA
mit
A* 
A
1  kA
A* ( s) 
A( s )
1
kA 1

1  k ( s ) A( s )
k ( s)
Stabilität: Dieses System misst seine Phasenreserve gegen –180° zwischen Eingangssignal und Ausgangssignal
Summierender Eingang:
y
Ax
 A*  x
1  kA
mit
A* 
A
1  kA
A* ( s) 
A( s )
1
kA 1
 
1  k ( s ) A( s )
k (s)
Stabilität: Die Phasenreserve wird jetzt gegen –360° bzw. gegen 0° gemessen.
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Auswahl des Referenzpotentials:
U  U 'U B  U '  U  U B
Signalflussmodell für Summierer:
U 'out   Z k I sum   
i
Rk
R
U 'i    ciU 'i mit ci  k
Ri
Ri
i
Signalflussmodell für summierenden Integrierer
U 'out   Z k I sum   
i
 iU 'i mit
1
1
U 'i  
i 
sC k Ri
s
Ri C k
i
Rückgekoppeltes System 1. Ordnung mit Integrator
1
A2
2
mit    1 ;   1
s
H ( s)   2
  2

2
k2
R2 C 2
Rk 2 C 2
1
1  k 2 A2
s  k 2
1  ( k 2 )( )
s
*
2
Rückgekoppeltes System 2. Ordnung mit zwei Integrator
A( s)
*
H ges
( s)  1
 1
1  kA( s)
7.2.
 2
s( s   k 2 )
mit A( s )  H ( s )  H * ( s )  1    2
1
2
s s  k 2
 2
1   k1
s( s   k 2 )
Fehlerunterdrückung durch Rückkopplung
Bei völliger unabhängigen Größen (unkorrelierte) summieren
sich die Leistungen. (Gegenseitiges Aufheben von Rauschsignalen nicht möglich)
2
2
2
xerr
, ges  xerr  k err 
2
aerr
A2
Fehler aerr im Vorwärtsnetzwerk
yerr  aerr ,in,equiv  A* 
aerr
a
a
A

 err  err
A 1  kA 1  kA A0
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7.3.
Stabilität rückgekoppelter Systeme
7.3.1.
Stabilitätsbetrachtung an der offenen Schleife
Phasenreserve  R gemessen bei
kA
= 0dB
R  Phase{k ( jT ) A( jT )}  180
k ( jT ) A( jT )  0dB
7.3.2.
Stabilitätsbetrachtung an der geschlossenen Schleife
Polbetrachtung von A*
Geschlossene Schleife
A* ( s) 
A( s)
mit Pole s pi   pi  j pi ; Polwinkel   arctan  pi
pi
1  k ( s) A( s)
 pi
Für System 2. Ordnung gilt
A* ( s) 
s ;
d
A0  02
A
mit s ' 
D
 2 0
2
2
0
0
s  2ds  0 s' 2 Ds '1
D=1: Aperiodischer Grenzfall :
(zwei identische reelle Pole)
s ' p1, 2  1  s p1, 2  0
D>1: Krichfall :
(zwei reelle Pole)
s' p1, 2  D  D 2  1  s p1, 2  d  d 2  02
D<1: Schwingfall :
(zwei konjugiert komplexe Pole)
s' p1, 2  D  1  D 2  s p1, 2  d  j 02  d 2
7.4.
Vier Varianten der elektrischen Rückkopplung
Spannungsgesteuerte Spannungsquelle:
Z in*  Z in  p
*
Z out

Stromgesteuerte Stromquelle:
Z out
p
Z in* 
Stromgesteuerte Spannungsquelle:
Z in* 
Z in
p
*
Z out

Z in
p
*
Z out
 Z out  p
Spannungsgesteuerte Stromquelle:
Z out
p
Z in*  Z in  p
*
Z out
 Z out  p
Es ist p=1+kA. Zin und Zout sind Impedanzen des Vorwärtsnetzwerks A. Z*in und Z*out sind Impedanzen der Gesamtschaltung.
7.5.
Übertaktete rückgekoppelte Systeme
Delta – Modulation:
Quatisierungsrauchen Eq des A/D – Wandlers auf den Eingang transformiert
=>
Eq ,in,equiv ( s) 
Eq ( s)
A( s)

Eq ( s)
A0
Y (s)  A (s)  ( X (s)  Eq,in,equiv (s))
*
Delta – Sigma – Modulation:
Eq ,in,equiv ( s) 
Eq ( s )
A( s)

Eq ( s )
 T 
 
 s 
M
 sM 
Eq ( s)
T
mit M = M – ter Ordnung des Modulators
M
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8.
Zeitdiskretisierung
8.1.
Abtastung analoger Signale
Nyquist – Shannon – Kriterium
fb 
1
f clk
2
2 f b  f clk
F
1
2

Relative Frequenz F und relative Kreisfrequenz 
F
fb
 f bTclk
f clk
8.2.


f clk
 Tclk  2F
Auswirkung der Abtastung im Frequenzbereich
Aliasing
f alias  n  f clk  f b
n= 1,2,3,….
Abtast – Halte – Glied
f clk ,max 
1
1

Tmin T1  T2
9.
Physikalische Systemkonzepte
9.1.
Dirac - Funktion

 f ( x)   ( x  a)dx  f (a)
Ausblendeigenschaft:

9.2.
Die Faltung

y (t )  x(t ) * h(t )   x( )  h(t   )d
Analog:
Digital:
y ( n)  x ( n) * h( n) 
i  

9.3.

 x(i)  h(n  i)
Gerade und ungerade Funktionen
f ( x)  f g ( x)  f u ( x)
f g ( x)  f g ( x)
f u ( x)   f u ( x)
Berechnung des geraden und ungeraden Anteils einer Funktion
f g ( x) 
1
( f ( x)  f ( x))
2
f u ( x) 
1
( f ( x)  f ( x))
2
9.4.
Symmetrie reeller Frequenzen
cos( x) 
1 jx
(e  e  jx )
2
sin( x) 
1 jx  jx
(e  e )
j2
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9.5.
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Symmetrie der Fourier - Transformation

X (b)  F{x(a)}   x(a)  e  j 2ab da
x(a )  F 1{ X (b)} 
 X (b)  e
 j 2ab
db


9.5.1.

Transformation unendlich breiter Funktionen

Spektrale - Energieverteilung: F{x(t )} 
 x(t )  e
 2ft
Leistungsverteilung: F '{x(t )}  lim 1
dt
T 

10.
2T
T
 x(t )  e
 2ft
dt
T
Digitale Filter
10.1. Entwurf im Zeitbereich von digitalen Filter
Digitales Ausgangssignal (y(n)) = Digitales Eingangssignal (x(n)) * Abgetastete Impulsantwort (h(n))
h(n) bestehend aus den Impulsen der Höhe a0, a1, a2…, ak nach der Verzögerung 0,T, 2T, …, kT
k
y (n)  a0 x(n)  a1 x(n  1)  a2 x(n  2)  ...  ak x(n  k )   ai x(n  i )
dies ist eine Faltung im Zeitbereich
i 1
Umsetzung in den z-Bereich x(n - i)→
z 1 X (n) :
k
Y ( z )  a0 X ( z )  a1 z 1 X ( z )  a2 z 2 X ( z )  ...  ak z 1 X ( z )  X ( z ) ai z 1  X ( z )  H ( z )
dies ist eine Mult. im z-Bereich
i 1
Digitale Übertragungsfunktion H(z):
H ( z) 
k
Y ( z)
 a0  a1 z 1  a2 z 1  ...  ak z 1   ai z 1
X ( z)
i 1
10.2. Entwurf im Frequenzbereich von digitalen Filter
Vorgehensweise wie beim Entwurf im Zeitbereich, es muss nur zuerst die geg. Übertragungsfunktion vom
Frequenzbereich in den Zeitbereich Fourier-Rücktransformiert werden.
FIR Tiefpaß:
hTP (n)  A  si (n g )
hTP (n)  a0  a1 z 1  ...  ak z  k
FIR Hochpaß:
hHP (n)  hTP (n)  h0 (n)  A  si (n g )  cos(n )  A  si (n g )  (1) n
hBP (n)  b0  b1 z 1  ...  bk z  k
FIR Bandpaß:
hBP (n)  hTP (n)  h0 (n)  A  si (n g )  cos( n 0 )
FIR Bandsperre:
hBS (n)  hTP (n) || hHP (n)  (a0  b0 )  (a1  b1 ) z 1  ...  (ak  bk ) z  k
10.3. Filter-Transformation vom s-Bereich in den z-Bereich
Verzögerung im Zeitbereich entspricht lineare Phasenverschiebung im Frequenzbereich
F{x(t  T )}  F{x(t )}  e  jT  F{x(t )}  z 1
Transformation:
z  e jT  e sT

s
1
ln( z )
T
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