Anhang GMT 04: Theoretische Grundlagen für Temperaturmessung

M.Möhwald, FH Jena, 27.4.09
Anhang GMT 04: Theoretische Grundlagen für Temperaturmessung
Befinden
sich
zwei
aneinandergrenzende,
nicht
abgeschlossene
thermodynamische Systeme auf unterschiedlichem Energieniveau, so findet
zwischen ihnen ein Energieaustausch statt. Betrachtet man die Übertragung von
Wärme, so vollzieht sich diese vom Ort höherer zum Ort niederer Temperatur.
Dabei spielen drei Übertragungsmechanismen eine Rolle, die je nach den
herrschenden Bedingungen mehr oder weniger überlagert auftreten:
1. Wärmeleitung
Bei
der
Wärmeleitung
erfolgt
die
Energieübertragung durch die Weitergabe der
Gitterschwingungen
an
benachbarte
Atome/Moleküle sowie durch die Über-tragung der
kinetischen Energie der Leitungs-elektronen bei
Stoßprozessen.
2. Wärmekonvektion
Bei der Konvektion erfolgt der Wärmetransport
durch einen Strömungsvorgang (Massenstrom)
wobei dieser von Auftriebserscheinungen infolge
eines Dichteunter-schiedes verursacht (freie
Konvektion) oder gezielt herbeigeführt werden
kann (erzwungene Konvektion).
3. Wärmestrahlung
Die Wärmeübertragung erfolgt durch elektromagnetische Strahlung.
Bild 1: Die drei grundsätzlichen Arten des Wärmetransportes.
Während
in
Feststoffen
ausschließlich
Wärmeleitung
auftritt,
spielt
in
Flüssigkeiten und Gasen darüber hinaus freie bzw. erzwungene Konvektion eine
Rolle.
Wärmestrahlung
tritt
zwischen
den
Begrenzungsflächen
eines
Gasvolumens auf und ist die einzige Form der Wärmeübertragung im Vakuum.
Nur für den internen Gebrauch an der FH Jena!
-1-
M.Möhwald, FH Jena, 27.4.09
1. Wärmeleitung
Passiert eine Wärmemenge dQ in der Zeiteinheit dt bei einem Temperaturgefälle
dϑ
dx die Fläche A in Richtung der x-Koodinate (eindimensionale Wärmeleitung),
wird dieser Vorgang beschrieben durch folgenden Zusammenhang:
dQ
dt
= −λ ⋅ A
dϑ
dx
(1.0)
In Bild 2 ist dieser Zusammenhang veranschaulicht unter der Voraussetzung,
daß die Wand in y- und z-Richtung unendlich ausgedehnt sei und die Fläche A
durch die Koordinaten y und z aufgespannt werde.
Bild 2: Eindimensionale Wärmeleitung in einer Wand
Proportionalitätskonstante
in
Gleichung
(1.0)
ist
λ,
die
sogenannte
Wärmeleitfähigkeit. Sie ist eine Materialkonstante und verkörpert diejenige
Wärmemenge, welche in einer Stunde durch eine Wand des entsprechenden
Materials von einem Quadratmeter Oberfläche und einem Meter Dicke
hindurchfließt,
wenn
zwischen
den
beiden
Seiten
der
Wand
ein
Temperaturunterschied von einem Kelvin herrscht. Ihre Einheit ist demzufolge
W
m ⋅ K . Allgemein ist λ sehr gering, wenn die Dichte der energieübertragenden
Moleküle niedrig ist (wie bei ruhenden Gasen). Sie ist hoch, wenn neben der
Übertragung der Schwingungsenergien durch die Atomrümpfe noch frei
Nur für den internen Gebrauch an der FH Jena!
-2-
M.Möhwald, FH Jena, 27.4.09
bewegliche Elektronen bei Stoßprozessen Energie weiterleiten (wie bei
Metallen). Einige Werte für λ sind in Tabelle1 aufgeführt.
λ in
Stoff
W
m⋅K
Aluminium
221
Kupfer
393
Glas
0,8
Luft
0,026
Tabelle1, Wärmeleitfähigkeit ausgewählter Materialien
Zur einfacheren Handhabbarkeit der Gleichung (1.0) soll auf ihrer rechten Seite
der Differenzenquotient eingesetzt werden:
& = λ ⋅ A ∆ϑ
Q
l
(1.1)
In Anlehnung an das Modell des elektrischen Widerstandes kann man auch hier
&
einen Wärmewiderstand definieren, indem man Q
und ∆ϑ in Analogie zu Strom
und Spannung betrachtet. Damit ergibt sich für den Wärmewiderstand R th :
∆ϑ
R th = &
Q
bzw.
R th =
l
λ⋅A
(1.2)
Mit Hilfe dieser Betrachtungen kann man Systeme zur Wärmeübertragung in eine
diskrete Form der Abbildung überführen, deren Elemente die thermischen
Widerstände sind. Es ist damit also möglich, die in einer konkreten Anordnung
ablaufenden Wärmetransportvorgänge durch ein Wärmeübertragungsnetzwerk
nachzubilden und theoretisch zu untersuchen. In Bild 3 ist ein Beispiel eines
solchen Wärmeübertragungsnetzwerkes angegeben für den Fall einer ebenen
Wand aus drei Schichten unterschiedlichen Materials und Dicke.
Bild 3: einfaches Wärmeübertragungsnetzwerk
Nur für den internen Gebrauch an der FH Jena!
-3-
M.Möhwald, FH Jena, 27.4.09
2. Konvektion
Der
konvektive
Wärmeübergang
ist
dadurch
charakterisiert,
daß
die
Wärmeübertragung zwischen zwei Systemen stattfindet, die sich relativ
zueinander bewegen. Das ist beispielsweise der Fall bei der Wärmeübertragung
von einem fluiden Medium an eine feste Wand und umgekehrt. Bei der freien
Konvektion
entsteht
der
Massenstrom
durch
ein
temperaturabhängiges
Dichtegefälle, das innerhalb einer Grenzschicht über der Oberfläche des
Festkörpers existiert und dort Auftrieb verursacht. Wird unter Einwirkung äußerer
Kräfte eine erzwungene Strömung erzeugt (Ventilator, Pumpe), so spricht man
von erzwungener Konvektion. Der abgeführte Wärmestrom ist proportional der
Größe der Kontaktfläche und dem Temperaturunterschied zwischen den Medien.
Die
Proportionalitätskonstante
ist
in
diesem
α,
Fall
die
sogenannte
Wärmeübergangszahl.
Verdeutlicht wird dieser Zusammenhang durch folgende Gleichung:
& = α ⋅ A ⋅ ∆ϑ
Q
k
(1.3)
Die Wärmeübergangszahl ist in komplizierter Weise abhängig vom strömenden
Medium, der Art und Geschwindgkeit der Strömung sowie der Gestalt der
Oberfläche.
In
Tabelle
2
sind
näherungsweise
Wärmeübergangszahlen
aufgeführt.
α in
Bedingung
W
K ⋅ m2
freie Konvektion
5....10
Luftstrom mit 10 m/s
≈100
Wasser mit 0,01 m/s
≈1000
Tabelle2, Wärmeübergangszahlen unter äusgewählten Bedingungen
Analog
den
Aussagen
zur
Wärmeleitung
läßt
sich
auch
hier
Wärmewiderstand wie folgt definieren:
∆ϑ
R th = &
Q
Nur für den internen Gebrauch an der FH Jena!
bzw.
R th =
-4-
1
α ⋅ Ak
(1.4)
ein
M.Möhwald, FH Jena, 27.4.09
3. Wärmedurchgang
In vielen Fällen spielt der Wärmetransport durch eine ebene Wand mit mehreren
Schichten
aus
unterschiedlichen
Wärmetransportvorgang
vollzieht
Materialien
sich
durch
eine
Rolle.
Wärmekonvektion
Dieser
an
den
Wandoberflächen sowie durch Wärmeleitung innerhalb der einzelnen Schichten.
Für den Wärmedurchgang in einer solchen Anordnung (Bild 4) gilt:
∆ϑ
& =
Q
n
∑Rth,n
(1.5)
1
& =
Q
∆ϑ
i
1
1
αi ⋅ A i
∑
+
m
lm
1
λm ⋅ A m
∑
Bild 4: Allgemeines Wärmeübertragungsnetzwerk
für
den
Wärmedurchgang
(1.6)
Sofern die betrachtete Querschnittsfläche in Richtung des Wärmetransportes
konstant ist A i = A m = A = kons tan t , so gilt weiterhin:
1
& =
Q
i
1
1
αi
∑
+
m
lm
1
λm
∑
⋅ A ⋅ ∆ϑ
(1.7)
In diesem Zusammenhang ist der Proportionalitätsfaktor der sogenannte
Wärmedurch-gangskoeffizient k:
1
k
=
i
1
1
αi
∑
+
m
lm
1
λm
∑
(1.8)
& = k ⋅ A ⋅ ∆ϑ
Q
(1.9)
W
Die Einheit des Wärmedurchgangskoeffizienten ist m 2 ⋅ K . Mit Hilfe des k-Wertes
verschiedener Anordnungen hat man die Möglichkeit diese hinsichtlich ihres
Wärmedurchgangsvermögens (z.B. Isolierwirkung) zu vergleichen, unabhängig
vom konkreten Aufbau (Anzahl und Dicke der Schichten, Materialien).
Nur für den internen Gebrauch an der FH Jena!
-5-