Wärmeübertragung

Wärmeübertragung
Unter Wärmeübertragung versteht man sämtliche Erscheinungen, die einen
räumlichen Transport von Wärme umfassen. Der Wärmeübergang erfolgt
immer aufgrund eines Temperaturgefälles, und zwar immer von der höheren
zur niederen Temperatur (2.Hauptsatz).
Grundsätzlich sind drei verschiedene Möglichkeiten der Wärmeübertragung
möglich: Wärmeleitung, Konvektion und Strahlung:
Wärmeübertragung
/
\
mit Übertragungsmedium
ohne Übertragungsmedium
/
\
|
ohne Stoffbewegung
mit Stoffbewegung Strahlung
|
|
Wärmeleitung
Konvektion
Wärmeleitung
•
Bei der Wärmeleitung geben die Moleküle eines festen Körpers, einer Flüssigkeit
oder eines Gases ihre Schwingungsenergie an benachbarte Moleküle weiter
– Wärmeübertragung durch Impulsaustausch. Dabei verändern sie ihre Lage im
Raum nicht.
Im folgenden wird nur stationäre, eindimensionale Wärmeleitung betrachtet, d.h.
• die Temperatur ändert sich nur in einer Raumrichtung
• die örtliche Temperatur ist zeitlich konstant (T ≠ f(t))
Wärmeleitung in der ebenen
Wand
•
Eine ebene Wand aus homogenem
Material der Dicke d hat an ihren
Oberflächen die Temperaturen T1
und T2.
•
Der durch die Wand geleitete
Wärmestrom ist dem Temperaturgradienten
dT/dx
und
der
Wandfläche A senkrecht zum
Wärmestrom proportional.
•
Der Proportionalitätsfaktor wird als
Wärmeleitzahl oder Wärmeleitfähigkeit λ bezeichnet.
Q&
Fouriersches Gesetz:
• Der Wärmestrom fließt in umgekehrter
dT
&
Q = −λA
dx
Richtung zum Temperaturgradienten.
negatives Vorzeichen
• Die Wärmeleitfähigkeit λ ist eine
temperaturabhängige Stoffkonstante:
T
• gute Wärmeleiter: großes λ
T1
flacher Kurvenverlauf
T= f (x)
• schlechte Wärmeleiter: kleines λ
steiler Kurvenverlauf
T2
x1
x2
x
Die Wärmeleitfähigkeit
•
Die Wärmeleitfähigkeit ist der
Energiestrom, der bei einer
Wandstärke von 1 m durch
eine Fläche von 1 m², bei
einer Temperaturdifferenz von
1 K geleitet, wird.
Material
Cu
Al
Ziegelmauerwerk
Kesselstein
Beton
Holz
Isolierstoffe
Fensterglas
Eis
Schmieröle
Wasser
Wasserstoff
Luft
(W/m K)
370
210
0,4 - 0,6
0,6 - 2,3
0,5-1,5
0,2
0,03 - 0,12
1,16
2,2
0,12 - 0,17
0,1-1
0,173(1 + 0,003 t)
0,024(1 + 0,003 t)
Bestimmung des Wärmestroms:
dT
&
Q = −λA
dx
•
•
•
•
Durch Integration des Fourierschen Gesetzes kann bei Kenntnis der
Wärmeleitfähigkeit der Wärmestrom durch die Strecke ∆x berechnet
werden:
Trennung der Variablen:
dx = - A dT
Integration:
(x2-x1) = A (T1-T2)
Mit d = x2-x1 und ∆T = T1-T2 folgt:
spezifisch:
x2
T2
x1
T1
Q& ∫ dx = −λA ∫ dT
λ
Q& = A ∆T
d
q& =
λ
∆T
d
in W,
in W/m².
Bestimmung des Wärmestroms:
Liegen mehrere Schichten vor, dann gilt ebenfalls für jeden Abschnitt das
Fouriersche Gesetz. Da es sich um einen stationären Vorgang handelt, muß wegen
der Energieerhaltung durch jede Schicht der gleiche Wärmestrom fließen.
Für jede Schicht gilt:
λ
Q& = A ∆T
d
T1
T12
T23
T3
Für Q& = constant gilt:
Liegen die
Schichten dicht
(ohne Luftspalt)
aneinander, dann
sind die
Temperaturen der
angrenzenden
Flächen gleich.
λ
λ
λ
Q& = 1 A(T1 − T12 ) = 2 A(T12 − T23 ) = 3 A(T23 − T3 )
d1
d2
d3
Bestimmung des Wärmestroms:
λ3
λ1
λ2
&
Q = A(T1 − T12 ) =
A(T12 − T23 ) =
A(T23 − T3 )
d1
d2
d3
•
Eliminieren der Zwischentemperaturen:
Q&  d 1 d 2 d 3 
 +
+  = T1 − T3
A  λ1 λ 2 λ 3 
Q& d 1
= T1 − T12
Aλ1
Q& d 2
= T12 − T23
Aλ 2
Q& d 3
= T23 − T3
Aλ 3
Q& = A
∆T
Q& = A n
di
∑λ
i =1
i
T1 − T3
d1 d 2 d 3
+
+
λ1
λ2
q& =
∆T
n
di
∑λ
i =1
i
λ3
Wärmeleitung durch Rohrwände
A2
A2
>
A1
A1
•
Beim Rohr ändert sich die Querschnittsfläche A für die
Wärmeübertragung in Abhängigkeit von dr. A nimmt mit dem
Rohrradius zu, der Wärmestrom bleibt aber konstant. Er verteilt sich
somit nach außen hin auf eine immer größere Fläche, d.h. der
Wärmeleitungswiderstand wird immer größer kein linearer
Temperaturverlauf!
•
Fourier-Gleichung:
dT
Q& R = −λ 2πrL
dr
dr
&
= −λ 2πLdT
QR
r
r2
T
2
dr
= −λ 2πL ∫ dT
Q& R ∫
r
r1
T1
r
Q& R ln 2 = λ 2πL(T1 − T2 )
r1
Q&
q& R =
L
mit
A = 2rL,
r: Rohrradius,
L: Rohrlänge
λ 2π (T1 − T2 )
&
QR = L
r
ln 2
r1
q& R =
λ 2π (T1 − T2 )
r
ln 2
r1
Konvektion
• Bei Konvektion bewegen sich die Moleküle eines Fluids
durch den Raum und transportieren dabei Wärmeenergie.
Konvektion ist daher wie Wärmeleitung an Materie
gebunden.
• Flüssigkeiten und Gase:
– schlechte Wärmeleitung, aber guter Wärmetransport durch
Konvektion, da Teilchen leicht beweglich
• Feststoffe:
– keine Konvektion, da Teilchen im Gitter fest gebunden
Wärmedämmung durch Luft
• Einfache Gasschicht
• wärmetransportierende
Konvektionsströmung
stellt sich ein
• Isolator (schaumartig)
• durch Unterteilung in
viele kleine Gasräume
wird die
Konvektionsströmung
unterbunden
Freie / erzwungene Konvektion
Unterscheidung von:
freie Konvektion
Konvektion
erzwungene Konvektion
(natürliche Konvektion)
(künstlich erzeugt)
Stoffbewegung durch Dichte- | Stoffbewegung durch Druckunterschiede
unterschiede (Luftzirkulation)
(Pumpen, Ventilatoren)
Beispiel für freie Konvektion:
beheiztes Zimmer
-
Luft wird durch Erwärmung an der Heizung spezifisch leichter steigt
nach oben
durch Abkühlung in der anderen Zimmerhälfte wird die Luft spezifisch
schwerer und sinkt wieder nach unten
Luftzirkulation
Heizung
Wärmeübergang
• in Wandnähe: laminare Grenzschicht, d.h. die Teilchen
bewegen
sich
auf
parallelen
Bahnen
keine
Quervermischung der Teilchen
• weiter weg: laminare oder turbulente Strömung (in
Abhängigkeit von der Strömungsgeschwindigkeit, den
Eigenschaften des Fluids (siehe Re-Zahl) und der
Wandoberfläche
• direkt an der Wand: durch Wandreibung c = 0
("Wandhaftbedingung") hier nur Wärmeleitung
Newtonsches Gesetz
Q& = Aα∆T
Q&
q& = = α∆T
A
∆
T : Temperaturgefälle zwischen Fluid und Wand
α
q&
: Wärmeübergangszahl in W/m² K
: flächenspezifischer übergehender Wärmestrom oder
Wärmestromdichte in W/m²
Wärmeübergangszahl
•
•
α
Die Wärmeübergangszahl kann verstanden werden als der
Wärmestrom, der auf 1 m² Wandfläche, je K Temperaturdifferenz
übergeht.
hängt z.B. ab von:
- physikalischen Eigenschaften der Stoffe (Dichte, Wärmekapazität,
Wärmeleitfähigkeit, Viskosität, ...)
•
•
•
- Art der Strömung und der Strömungsgeschwindigkeit
- Geometrie des um- oder durchströmten Körpers
- Oberflächenbeschaffenheit
( berücksichtigt auch Wärmeleitung und -strahlung)
"In ist alles enthalten, was wir nicht wissen„
Wärmedurchgang durch eine
ebene Wand:
Der Wärmestrom durch die Wand ist an jeder Stelle in x-Richtung
gleich groß:
λ
Q& = Aα i (Ti − Twi ) = A (Twi − Twa ) = Aα a (Twa − Ta )
d
Eliminierung der Wandtemperaturen:
Q&
q& = = k∆T
A
Q& = Ak∆T
Für mehrschichtige Wände gilt analog:
k=
1
αi
n
+∑
i =1
Q& = A
λ
αi
Q& = A
1
αi
1
di
+
i
1
αa
(Ti − Ta )
1 d 1
+ +
λ
αa
∆T
n
di
+∑
i =1
λ
+
i
1
αa
Wärmedurchgangszahl in W/m²K
(Merkregel: k ist immer kleiner als der kleinste α -Wert)
Wärmedurchgang durch
Rohrwände
• Für einschichtige Rohre:
Q& R = L
• Für mehrschichtige Rohre: Q& R = L
• Wärmedurchgangszahl
Q& R = Lk R ∆T q& = Q& = k ∆T
R
R
L
2π∆T
1
1 ra
1
+ ln +
ri α i λ ri ra α a
2π∆T
n
ri +1
1
1
1
+ ∑ ln
+
r1α 1 i =1 λ i
ri
rn α n
kR =
2π
n
1
1 r
1
+ ∑ ln i +1 +
r1α 1 i =1 λ i
ri
rn α n
1. Übung TWL 2 im WS 05/06:
Wärmedurchgang
Lit.: Elsner, Cerbe/Hoffmann
Eine Hauswand mit der Fläche A = 50 m² hat den folgenden Aufbau:
Außenputz
d1 = 4 cm,
λ1 = 0,79 W/mK
Isolation
d2 = 10 cm
λ2 = 0,031 W/mK
Ziegelmauer
d3 = 24 cm
λ3 = 0,46 W/mK
Innenputz
d4 = 1,5 cm
λ4 = 0,76 W/mK
Die Wärmeübergangszahl zwischen Raumluft und Wand beträgt αi = 7,5 W/m² K, diejenige
zwischen Wand und Außenluft beträgt αa = 25 W/m² K. Die Temperatur im Raum beträgt ti =
20 °C und die Außenlufttemperatur ta = -12 °C.
Ermitteln Sie
a.) die Wärmedurchgangszahl k in W/m² K dieser Wand,
b.) den spezifischen Wärmestrom q& in W/m² und den absoluten Wärmestrom Q& in W,
(Diskutieren Sie, wodurch der Wärmestrom entscheidend bestimmt ist und welchen
Effekt die Dämmung hat.)
c.) die Temperatur an der Oberfläche der Außenseite twa , die Temperaturen der
Grenzschichten t12, t23, t34 und die Temperatur an der Oberfläche der Innenseite twi in
°C. Was würde sich bei einer Innendämmung ändern und was hätte dieses für
Konsequenzen?
d.) Zeichnen Sie den Temperaturverlauf in der Wand auf.
Ermitteln Sie
e.) die Wärmedurchgangszahl eines Einfachfensters kEF in W/m² K und den Wärmestrom
Q& durch das Fenster bei einer Fläche A von 4 m² (dEF = 4 mm, λEF = 1,16 W/mK, αi, αi
wie oben).
f.) Wie groß wäre der Wärmestrom durch ein Dreifachfenster bei gleicher Glasstärke und
einem Scheibenabstand von dL = 3 mm? Die Luft im Zwischenraum kann als ruhend
angenommen werden mit λL = 0,023 W/mK und αGlas/Luft = 5 W/m² K.
g.) Vergleichen Sie die spezifischen Wärmeströme von Wand, Einfach- und
Dreifachfenster und stellen Sie den Effekt der Dreifachverglasung in Zusammenhang
mit der Fenstergröße im Bezug auf die Größe der Wand.
1. Übung TWL II im WS 05/06
a.) Die Wärmedurchgangszahl k in W/m2 K dieser Wand:
k=
1
1
=
=
di
1 d1 d 2 d 3 d 4
1
1
1
+ +
+
+
+
+∑ +
α i λ1 λ2 λ3 λ4 α a
α i i =1 λi α a
n
1
1m K 0,04m ⋅ mK 0,1m ⋅ mK 0,24m ⋅ mK 0,015m ⋅ mK 1m 2 K
+
+
+
+
+
7,5W
0,79W
0,031W
0,46W
0,76W
25W
W
k = 0,25 2
m K
k=
2
b.) Den spezifischen Wärmestrom q& in W/m2 und den absoluten Wärmestrom
Q& in W:
spezifisch:
q& = 0,25
W
W
⋅ (20 − (−12)) K = 8 2
2
m K
m
absolut:
W
Q& = q& ⋅ A = 8 2 ⋅ 50m 2 = 400W
m
c.) Die Temperatur twi an der Oberfläche der Innenseite:
W
8 2
q&
m
q& = αi ⋅ (ti − t wi ) ⇔ t wi = ti − = 20°C −
= 18,93°C
W
αi
7,5 2
m K
Die Temperaturen der Grenzschichten t12, t23, t34:
W
⋅ 0,015m
2
q& ⋅ d 4
λ4
m
= 18,93°C −
= 18,77°C
q& = ⋅ (t wi − t34 ) ⇔ t34 = t wi −
W
λ4
d4
0,76
mK
W
8 2 ⋅ 0,024m
q& ⋅ d 3
t 23 = t34 −
= 18,77°C − m
= 14,59°C
W
λ3
0,46
mK
W
8 2 ⋅ 0,1m
q& ⋅ d 2
t12 = t 23 −
= 14,59°C − m
= −11,27°C
W
λ2
0,031
mK
Die Temperatur twa an der Oberfläche der Außenseite:
W
8 2 ⋅ 0,04m
q& ⋅ d1
t wa = t12 −
= −11,27°C − m
= −11,68°C
W
λ1
0,79
mK
8
Probe: Berechnung der Außentemperatur:
W
8 2
q&
m = −12°C
t a = t wa −
= −11,68°C −
W
αa
25 2
m K
d.) Zeichnen Sie den Temperaturverlauf in der Wand auf
t [°C]
- 20
- 10
a
1
2
3
4
i
e.)
Die Wärmedurchgangszahl eines Einfachfensters kEF in W/m²⋅K und den
•
spezifischen Wärmestrom q [W/m²] durch das Fenster bei einer Fläche
AEF von 4 m² mit (dEF = 4 mm; λEF = 1,16 W/m⋅K; αi = 7,5 W/m²⋅K ;
αa = 25 W/m²⋅K) .
1
1
W
Fo.sa.: k EF =
=
= 5,66 2
1 d EF
1
1
0,004 m
1
m ⋅K
+
+
+
+
W
W
α i λEF α a 7,5 W
1,16
25 2
2
m ⋅K
m⋅K
m ⋅K
•
Q = k EF ⋅ AEF ⋅ ∆T = 5,66
W
⋅ 4 m² ⋅ 32 K = 724,48 W
m2 ⋅ K
•
Q
724,48 W
W
=
= 181,12
q=
AEF
4 m²
m²
•
f.)
•
Wie groß wäre der spezifischen Wärmestrom q [W/m² ] durch ein
Dreifachfenster bei gleicher Glasstärke und einem Scheibenabstand von
dL = 3 mm ? Die Luft im Zwischenraum kann als ruhend angenommen werden
mit λL = 0,023 W/m⋅K und αGl./L. = 5 W/m²⋅K.
dEF1
Fo.sa.:
=
k EF =
dL. dEF2
dL. dEF3
1
d
d
d
d
1 d EF1
1
1
1
1
1
+
+
+ L. +
+ EF2 +
+ L. +
+ EF3 +
αi λEF1 α Gl. / L. λL. αGl. / L. λEF2 αGl. / L. λL. α Gl. / L. λEF3 α a
1
0,004 m
0,003m
0,004m
0,003m
0,004m
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
25 2
5 2
1,16
5 2
0,023
5 2
1,16
5 2
0,023
7,5 2
1,16
m⋅ K
m⋅ K
m⋅ K
m⋅ K
m⋅ K
m ⋅K
m ⋅K
m ⋅K
m ⋅K
m ⋅K
m ⋅K
k EF = 0,804
W
m² ⋅ K
•
Q = k EF ⋅ AEF ⋅ ∆T = 0,804
•
W
⋅ 4 m 2 ⋅ 32 K = 102,91 W
m2 ⋅ K
102,91 W
Q
W
q=
=
= 25,73
AEF
4 m²
m²
•