Stösse - UZH Physik

Anleitung zum Physikpraktikum
für Oberstufenlehrpersonen
Stösse (ST)
Herbstsemester 2016
Physik-Institut der Universität Zürich
Inhaltsverzeichnis
3 Stösse (ST)
3.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Ziel des Versuches . . . . .
3.2 Theoretischer Teil . . . . . . . . .
3.3 Sprung auf eine Platte . . . . . . .
3.3.1 Theorie . . . . . . . . . . .
3.3.2 Versuchsanordnung . . . . .
3.3.3 Vorgehen . . . . . . . . . .
3.3.4 Auswertung . . . . . . . . .
3.3.5 Weitere Kurven (qualitative
3.4 Anhang . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Piezokristalle . . . . . . . .
3.4.2 Kraftsensor . . . . . . . . .
3.4.3 Ultraschall . . . . . . . . .
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Betrachtung)
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3.1
3.1
3.1
3.1
3.3
3.3
3.5
3.5
3.6
3.6
3.7
3.7
3.7
3.8
3
Stösse (ST)
2.5.4
2.5.4.1.3
2.6.2
2.7.3
2.7.5
2.7.5.2
3.1
Vorlesungsabschnitt 2, Mechanik
Anwendungen der Newton’schen Prinzipien
Kraftstösse
Energiesatz
Impulssatz
Beispiele zum Schwerpunktssatz und Energiesatz
Stösse
Einleitung
Stösse kommen überall dort vor, wo zwei oder mehrere Körper kurzzeitig in Wechselwirkung
geraten, so beim Aufprall eines Balls an einer Wand, bei einem Autounfall, bei Absprüngen,
Landungen, usw. Bei allen Stössen wird Energie und Impuls, eventuell auch Drehimpuls ausgetauscht. Viele physikalische, chemische und wohl auch biologische Vorgänge beruhen auf Stössen:
• Atomare Stösse führen zu thermischen Gleichgewichtszuständen in Gasen, Flüssigkeiten
und Festkörpern.
• Der Wärmeaustausch zwischen zwei Körpern ist die Folge von Stössen ihrer Atome entlang
der Berührungsfläche.
• Stösse zwischen Molekülen führen zu chemischen Reaktionen.
• Bei der Absorption von Licht stossen Lichtquanten mit atomaren Gebilden zusammen.
• Die ionisierende Wirkung rascher, geladener Teilchen (Elektronen, Protonen, α -Teilchen,
π -Mesonen) beruht auf Stossprozessen.
• Radioisotope können durch Stösse zwischen geladenen Teilchen oder Neutronen und Atomkernen erzeugt werden.
3.1.1
Ziel des Versuches
Da Stösse von grundsätzlicher Bedeutung sind, sollen in diesem Versuch einige ihrer Aspekte
diskutiert werden. Wir beschränken uns dabei auf Stösse zwischen zwei makroskopischen Massen
(Abbildung 3.1). Dabei geht es um:
• den “Kraftstoss”
• die Stossdauer und die entsprechenden Kräfte
• harte und weiche Sprünge auf eine Platte
3.2
Theoretischer Teil
Bei jedem Stoss treten zwischen den beteiligten Massen zeitabhängige Kräfte F⃗ (t) auf. Die
Einzelimpulse p⃗i = mi⃗vi der beiden Massen ändern sich unter der Wirkung dieser Kräfte. Solange
keine äusseren Kräfte wirken, ändert sich jedoch der totale Impuls
p⃗tot = p⃗1 + p⃗2
3.1
(3.1)
der beiden Massen nicht, d. h. der Gesamtimpuls bleibt erhalten:
∑
F⃗i = 0 → p⃗tot =
konstant (Impulserhaltungssatz)
(3.2)
i
Für die Beschreibung eines Stosses gibt es grundsätzlich zwei Möglichkeiten:
1. Man betrachtet nur die eine Masse und untersucht, wie sich ihr Impuls unter der Wirkung
der Kraft F⃗ (t) ändert.
2. Man betrachtet die beiden Massen als abgeschlossenes System und beachtet, dass der totale
Impuls konstant ist.
m1
v1
v2
m1 m2
m2
F2
Vor dem Stoss
Einzelimpulse:
p⃗1 = m1⃗v1 , p⃗2 = m2⃗v2
1 (t)
v´1
F1
m1
m2
v´2
2 (t)
Während des Stosses
Impulsänderungen: ∆⃗
p1 , ∆⃗
p2
Gesamtimpuls: ∆(⃗
p1 + p⃗2 ) = 0
Kraft auf Kugel 1: F⃗2→1 (t)
Kraft auf Kugel 2: F⃗1→2 (t)
3. Newton’sches Prinzip:
F⃗1→2 = −F⃗2→1
Nach dem Stoss
Einzelimpulse:
p⃗1′ = m1⃗v1′ , p⃗2′ = m2⃗v2′
Abbildung 3.1: Einfacher Stossprozess zweier Kugeln.
Im vorliegenden Versuch kommt nur der erste Fall vor. Wir betrachten also einen Körper und
untersuchen, wie sich sein Impuls unter der Wirkung der Kraft F⃗ (t) ändert.
Kraft Fz (t)
[N]
Abbildung 3.2: Zeitlicher Verlauf
eines Kraftstosses in z-Richtung.
Mittlere
Kraft Fz (t)
[N]
0
t
0
t
Zeit t
[s]
Stossdauer
3.2
In der Regel kennt man den zeitlichen Verlauf der Kraft F⃗ (t) nicht. Wir wollen annehmen,
dass F⃗ nur während einer kurzen Zeit τ , der Stossdauer wirkt. Man spricht dann auch vom
⃗ S und es gilt:
“Kraftstoss” K
∫ τ
⃗
F⃗ (t)dt
(3.3)
KS = ∆⃗
p=
0
Betrachten wir den zeitlichen Verlauf von Fz (t) (siehe Abbildung 3.2), dann ist die Fläche unter
der Kurve gleich der Impulsänderung des Körpers, auf den während des Stosses die Kraft Fz (t)
wirkt:
∫ τ
∆pz =
Fz (t)dt
(3.4)
0
Ausserdem wird die mittlere Kraft betrachtet:
∫
1 τ
F̄z =
Fz (t)dt
τ 0
(3.5)
Die Rechteckfläche F̄z · τ ist so gleich der Fläche unter der Kurve Fz (t).
3.3
3.3.1
Sprung auf eine Platte
Theorie
Der Sprung aus der Höhe z0 auf eine Platte lässt sich in zwei Schritte zerlegen:
1. Freier Fall, bis die Füsse den Boden berühren.
2. Abbremsen, d. h. Stoss zwischen Platte und Springer.
Aus der Energieerhaltung während des freien Falls erhält man die Geschwindigkeit v0 unmittelbar vor der Landung und nach Division durch die Erdbeschleunigung g die dazugehörige Fallzeit
tF all :
√
v0
tF all =
(3.6)
v0 = 2g(z0 − z1 )
g
z
N(t)
G = mg
Während des Stosses wirken die im nebenstehenden
Bild gezeichneten Kräfte. Damit erhält man während
des Stosses die Bewegungsgleichung:
dpsz
= masz = N (t) − mg
(3.7)
dt
Eine Waage, (auch die im Experiment verwendete
Platte) zeigt immer die Normalkraft N (t) an:
N (t) = masz + mg
Abbildung 3.3: Kräfte
während des Stosses.
(3.8)
Am besten lässt sich der ganze Sprung mit Hilfe von graphischen Darstellungen beschreiben
(siehe Abbildung 3.4). Aus der Höhe des Schwerpunktes zs (t), der Schwerpunktsgeschwindigkeit
vsz (t) und der Schwerpunktsbeschleunigung asz (t) können wir Informationen über die wirkenden
Kräfte bekommen. z1 = 0 ist Höhe des Schwerpunktes in Ruhestellung, z0 − z1 die Fallhöhe.
3.3
Für t ≤ t1 = 0 fällt der Springer frei, während des Zeitintervalls t1 ≤ t ≤ t2 wird der Aufprall
(Stoss) abgefedert.
Höhe zs
[m]
z0
0.2
0.1
0
Geschwindigkeit vsz
[m/s]
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Zeit t
[s]
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Zeit t
[s]
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Zeit t
[s]
1
0
-1
-2
v0
Beschleunigung a sz
[m/s2]
20
10
0
-g
t1
t2
Abbildung 3.4: Höhe des Schwerpunkts, Schwerpunktsgeschwindigkeit und -beschleunigung beim
Sprung auf eine Platte. Beim Absprung befinden sich die Füsse ca. 30 cm über der Platte, bei
t = 0 treffen sie mit einer Geschwindigkeit von ca. 2.5 m/s auf die Platte auf. Der Springer
federt den Sprung ab und nimmt eine Endposition mit leicht gebeugten Knien ein.
Frage 1: Welche Form hat die Kurve zs (t) für t ≤ t1 ?
Die Integration der Gleichung (3.7) liefert
∫
∆psz = psz (t2 ) − psz (t1 ) =
t2
(N − mg)dt
(3.9)
t1
wobei
psz (t2 ) = 0
psz (t1 ) = −mv0 = −m
√
(3.10)
2g(z0 − z1 )
Dieser Zusammenhang soll im Experiment überprüft werden.
3.4
(3.11)
3.3.2
Versuchsanordnung
In den vier Ecken auf der Unterseite der Platte (Abbildung 3.6) befinden sich Piezokristalle. Bei
einer Belastung der Platte werden die Kristalle zusammengedrückt und liefern elektrische Spannungssignale, welche proportional zur Deformation, bzw. zur Belastung sind (siehe Anhang).
Normalkraft N(t)
[mg]
3
2.5
2
Abbildung 3.5: Die aus der Schwerpunktsbeschleunigung beim Sprung
auf eine Platte berechnete Normalkraft (in Einheiten des Gewichts).
1.5
1
0.5
0
-0.5
0
0.2
0.4
t1
0.6
0.8 Zeit t
[s]
Die Signale der vier Kristalle werden addiert und im ladungsempfindlichen Verstärker verstärkt.
Die Ausgangssignale werden mit dem Oszilloskop aufgezeichnet und können ausgedruckt werden.
Die Bedienung von Verstärker, Oszilloskop (KO) und Drucker wird vom Assistenten erklärt und
demonstriert.
P= Piezokristall
P
P
Ladung
[C]
P
Verstärker
Spannung
[V]
Drucker
P
Oszilloskop (KO)
Messplattform
Abbildung 3.6: Versuchsanordnung.
3.3.3
Vorgehen
1. KO und Verstärker einstellen
2. y-Ablenkung am KO auf 1 V/cm einstellen.
3. Durch Auflegen von Gewichten auf die Platte wird der Zusammenhang zwischen Spannung
und Kraft überprüft.
4. Springen Sie aus ca. 50 cm Höhe auf die Platte. Landen Sie auf verschiedene Arten, hart
oder weich.
5. Drucken Sie die Kurven für eine quantitative Auswertung aus.
3.5
3.3.4
Auswertung
Für die Auswertung wird benützt, dass gemäss der Gleichungen (3.9)-(3.11) für die Impulsänderung ∆psz = −psz (t1 ) = mv0 gilt. Vom auf dem KO-Schirm aufgezeichneten Verlauf von N (t)
(Abbildung 3.7), wird das Gewicht mg der Versuchsperson abgezogen (Abbildung 3.8). Die
Summe der schraffierten Flächen entspricht dann der Impulsänderung mv0 . Beachten Sie bitte,
dass die Kurven auf dem KO-Schirm nicht so schön glatt sein werden!
Normalkraft N(t)
[mg]
3
"Resultierende"
Kraft N(t)-mg
2
[mg]
2.5
1.5
2
1
1.5
0.5
mg
0
0.5
-0.5
0
mg
t1
t 2 Zeit t
t1
t 2 Zeit t
[s]
[s]
Abbildung 3.8: Gemessene Kurve, nachdem das Gewicht der Versuchsperson abgezogen worden ist.
Abbildung 3.7: Mit dem Oszilloskop gemessene Kurve.
Überprüfen Sie die Richtigkeit der Gleichung (3.9) anhand einer ausgedruckten Kurve und beantworten Sie folgende Fragen:
Frage 2: Wie gross sind die Stosszeiten für harte und weiche Landungen?
Frage 3: Wie gross sind die entsprechenden Maxima von N (t)?
Frage 4: Vergleichen Sie qualitativ die Resultate der harten und der weichen Landung miteinander: Was ist gleich? Wo liegen die Unterschiede?
3.3.5
Weitere Kurven (qualitative Betrachtung)
Skizzieren und erklären Sie für folgende Beispiele das Bild auf dem KO-Schirm:
1. Stellen Sie sich auf die Platte und machen Sie einige Kniebeugen.
2. Gehen Sie an Ort.
3. Stellen Sie die y-Ablenkung auf einen empfindlicheren Bereich und versuchen Sie, ganz
ruhig auf der Platte zu stehen.
4. Wie 3) - atmen Sie jetzt aber tief ein und aus.
3.6
3.4
3.4.1
Anhang
Piezokristalle
Im Jahre 1880 entdeckten die Gebrüder Curie, dass bei gewissen Kristallen unter der Wirkung
von Druck und Zug positive und negative Ladungen auf bestimmten Kristallflächen erscheinen.
Man nennt dies den piezoelektrischen Effekt. Experimente zeigen, dass die Ladungsvorzeichen bei
Vertauschung von Druck und Zug wechseln. Die Ladungsmenge ist der Grösse der mechanischen
Belastung proportional.
Der piezoelektrische Effekt kann an folgendem Modell erklärt werden: Ein Quarzkristall (SiO2 )
besteht aus schraubenförmig angeordneten Silizium- und Sauerstoffatomen. Die Siliziumatome
sind positiv, die Sauerstoffatome negativ geladen. Wir betrachten zur Vereinfachung eine ebene
Anordnung von sechs Atomen (Abbildung 3.9a). Wird auf einen Kristall in Richtung der X1 Achse ein Druck ausgeübt, so rückt das Si-Atom 1 zwischen die Sauerstoffatome 2 und 6, das
Sauerstoffatom 4 zwischen die Si-Atome 5 und 3. Auf der Oberfläche A wird positive, auf der
Oberfläche B negative Ladung entfernt (Abbildung 3.9b). Wird der Kristall in der X1 -Richtung
gedehnt, so kehren sich die Vorzeichen der Ladungen auf den Flächen A und B um (Abbildung
3.9c). Dieselben Erscheinungen treten bei Belastungen in der X2 - und in der X3 - Richtung
auf. Bei Druck oder Zug senkrecht zur dargestellten Ebene verschieben sich keine Ladungen.
Der piezoelektrische Effekt hängt also von der Belastungsrichtung ab. Piezokristalle werden in
Technik und Medizin häufig zu Druck- und Kraftmessungen verwendet.
1
X1
1
_ _ _ _ +_ _ _ _
A
_
_
2
6
+
_2
_6
5
+
X2
+
_
4
X
1 1
+ + + ++ + + A
X1
3
X3
6
_
_
2
5 +
+ 3
_
++++ ++++B
4
b)
a)
5 +
+ 3
_ _ _ __ _ _ B
4
c)
Abbildung 3.9: Der piezoelektrische Effekt – drei Si-Atome (grosse Kreise) und drei Sauerstoffatome (kleine Kreise) angeordnet in einer Ebene des Quartzkristalls: Linkes Bild a) Normalzustand, mittleres Bild b) bei Druckbelastung, rechtes Bild c) bei Zugbelastung.
3.4.2
Kraftsensor
Die Ladungsmenge an den Kristallflächen ist proportional zur Kraft zwischen den Kanten. Für
eine genaue Messung der Kraft darf also keine Ladung abfliessen. Deshalb muss der Kristall sehr
sorgfältig elektrisch isoliert werden (Abbildung 3.10). Ausserdem muss das Messinstrument einen
hohen Innenwiderstand haben. In technischen Anwendungen verwendet man speziell entwickelte Verstärker. Das zur Kraft F⃗ proportionale Ausgangssignal kann z.B. mit dem Oszilloskop
aufgezeichnet werden (vgl. experimenteller Teil 3.3.4).
3.7
F
_ + _
_ _
+
_
_
Q
Isolationen
+
+ _ +
+
++
Abbildung 3.10: Die experimentelle
Anordnung beim piezoelektrischen
Effekt.
_
Bei geeigneter Anordnung der Kristalle können mit einer Messplatte neben der Vertikalkomponente der wirkenden Kräfte auch die Horizontalkomponenten und Drehmomente bezüglich einer
vertikalen Achse gemessen werden. In der Biomechanik werden auf diese Art Bewegungsabläufe
untersucht, z. B. der Start eines Schnelläufers oder eines Hochspringers, Bewegungen während
einer Arbeit, die im Stehen ausgeführt wird, Gehen mit Schienen oder Prothesen usw. Wegen der
hohen Empfindlichkeit ist es auch möglich, kleine Verschiebungen des Körperschwerpunktes und
damit Gleichgewichtsstörungen (vgl. experimenteller Teil 3.3.5 Punkte 3. und 4.) festzustellen.
3.4.3
Ultraschall
Wird an einen Piezokristall eine äussere elektrische Spannung angelegt, so treten Deformationen
des Kristalls auf, die proportional zur Spannung sind. Handelt es sich um eine Wechselspannung,
so schwingt der Kristall. Diese Schwingungen benützt man zur Ultraschallerzeugung.
3.8