5. Beugung

5. Beugung
5.1 Das Huygenssche Prinzip und das Kirchhoffsche Begungsintegral
5.2 Fraunhofer- und Fresnel-Näherung
5.3 Fourier-Optik
5.4 Optische Elemente im Wellenbild
5.5 Holografie
Beugung (Diffraktion) = Abweichung von geradliniger Ausbreitung des Lichts
5.1 Das Huygenssche Prinzip u. das Kirchhoffsche Beugungsintegral
Huygens 1691: Jeder Punkt einer primären WF ist Ausgangspunkt kugelförmiger sekundärer Elementarwellen. Die WF zu einem
späteren Zeitpunkt ist die Einhüllende dieser Elementarwellen.
?
Blende
Diskrete Überlagerung ebener Wellen mit Wellenvektor
θ=0 M=0
θ=0 M=10
θ=0 M=30
θ=0 M=60
Die WF ergeben sich aus den
Contourplots der gradweisen
Summe unten bei fester Zeit.
Aus der gerichteten, aber unendlich
ausgedehnten ebenen Welle
entsteht mit zunehmender Zahl von
kx-Komponenten ein räumlich
eingeengter Zustand, der aber
gekrümmte WF, also keine scharfe
Ausbreitungsrichtung besitzt.
Schließlich entsteht eine Kugelwelle.
θ=0 M=90
Man kann natürlich auch Zustände mit unterschiedliche mittlerem Wellenvektor überlagern.
(θ=0, M=15) + (θ=30, M=15)
(θ=0, M=15) + (θ=45, M=15)
In ausreichender Entfernung vom Zentrum lösen diese sich wieder auf, bleiben aber räumlich begrenzt.
Da
auf AR inwärts gerichtet ist:
AR – Integral:
Integrand bei ρ=R:
⇒ Kirchoffsche Integralsatz (Integrale Form der Helmholz-Gleichung)
Berechnung des Feldes im Punkt aus Feld auf einer umgebenden Fläche. Integrand: Beitrag der Elementarwelle ausgehend
vom Element
. Dies ist zunächst keine Kugelwelle al la Huygens!
Anwendung auf Beugungsanordnung:
H
Q
B
P0
P
Schirm
A= B + S + H
S
Blende
Halbkugel
(R ->∞ )
5
Kirchhoffsche Randbedingungen:
auf S
auf B
(Annahmen! Gegenstand der rigorosen Beugungstheorie mit Frenelschen Formeln und Berücksichtigung der Polarisation.)
einfallende Kugelwelle:
einsetzen in Integralsatz (
,
,
,
)
wenn
(Fernfeld)
Kirchoffsche Beugungsformel (KBF)
Integrand: Huygenssche Kugelwellen bis auf Phasenfaktor π/2 und
Neigungsfaktor
P0
P
Das Beugungsmuster entsteht durch Überlagerung aller dieser, von jedem
Punkt der Blende ausgehenden Elementarwellen. Interferenz spielt dabei eine zentrale Rolle und wird von der Beugungsformel
„automatisch“ erfasst.
Babinetsches Prinzip
Betrachten zwei komplementäre Anordnungen A1=(B1,S1) und A2=(B2, S2) mit B1=S2 und S1=B2
: Feld, wenn nur Aj vorhanden ist. Da B1 + B2 = vollständige Ebene ⇒
6
Folgerungen:
(i) Für P mit
(ii) Für P mit
, also als ob A2 nicht vorhanden wäre
, also identische Intensitäten für A1 und A2
⇒
⇒
.P
.P
Beiden Anordnungen liefern nach (ii) identische Intensitätsbeugungsmuster.
5.2 Fresnel- und Fraunhofer-Beugung
Vereinfachung durch paraxiale Näherung
Quelle sei soweit von Blende entfernt, dass hier WF = Ebenen (z.B. durch Einsatz einer Linse), so dass
z=0
Q
,
BE
x
z
y
opt. Achse
P
Öffnungsweite (Apertur)
mit
Für Beobachtungsebene (BE) gelte
(zugelassene transversale Ausdehnung der Anordnung), also
, so dass im Integranden der KBF:
7
variiert auf der Skala von
und muss daher „vorsichtiger“ genähert werden ⇒
einfallendes Feld auf B
a) Fresnel-Näherung:
⇒
b) Fraunhofer-Näherung:
⇒
achsennaher Teil einer von B ausgehenden Kugelwelle
Modulation
Beugungsgeometrien werden durch die Fresnel-Zahl
charakterisiert.
8
Es gilt:
In Fresnel-Näherung wird angenommen, dass die Phasenänderung durch den 3. Term vernachlässigbar ist (za4/λz4<<1). Das ist
identisch mit
(also nicht NF << 1)
Praxis: anwendbar ab z ~10 λ, Integral aber nur numerisch berechenbar
Fraunhofer-Beugung zusätzlich:
, d.h., wenn aB die Apertur der Blende ist:
Mit wachsendem Abstand Blende-Beobachtungsebene geht Fresnel- in Fraunhofer-Beugung über.
Die Bedeutung der beiden Näherungen wird auch deutlich, wenn man eine punktförmige Blendenöffnung bei (x0,y0) betrachtet.
Dann folgt aus der Kirchhoffschen Beugungsformel in paraaxialer Näherung
Der Phasenunterschied zu dem Feld einer bei (x0+∆x,y0+∆y) befindlichen Punktöffnung am gleichen Ort (x,y,z) auf der Beobachtungsebene ist
Die Fraunhofer-Näherung darf also nur angewendet werden, wenn der Abstand der beiden Punkte (∆x2+∆y2)1/2 viel kleiner als die
Wurzel aus dem Produkt aus Wellenlänge λ und der BE-Entfernung z ist.
9
Anwendung: Beugung am Spalt
Fraunhofer-Beugung
2h
2d
h=2d
x
Je kleiner d und h, um so mehr Licht tritt außerhalb der geometrische Schattengrenze auf!
In ähnlicher Weise lassen sich die Beugungsmuster anderer Anordnungen (Lochblende, Doppelspalt, Gitter, usw. usf.) berechnen.
10
5. 3 Fourier-Optik (Kohärenzoptik)
2 Prinzipien
(i)
(ii)
Fourier-Trafo (2D)
Jede WF ist in ausreichender Entfernung vom Ursprung
lokal aus ebenen Wellen zusammengesetzt
Beispiel: Kugelwelle, WF:
paraaxialer Anteil bei z ≈ z0:
parabolische WF mit Krümmungsradius z0, wird asymptotisch eben für z0 -> ∞
Aufgabenstellung
ebene Welle
.
Welches Bild g entsteht durch Beugung am Muster f ? (Man sagt: g ist die Antwort auf f)
Antwort durch Kirchhoffsche Beugungsformel: f(x‘,y‘) im Integranden einsetzen und Grenzen ins Unendliche verschieben! Das
so berechnete g(x,y) ist genau genommen die Feldamplitude
am Ort (x,y,z) zum negativen Frequenzanteil
. Zur
Berechnung des reellen Gesamtfeldes muss dann der positive Frequenzanteil addiert bzw. bei der Energiedichte (Detektorsignal) das Betragsquadrat gebildet werden.
11
A) Fraunhofer-Beugung:
also
Fourier-Transformierte von f an den Raumfrequenzen
Die Intensitätsverteilung des Bildes ist durch die Verteilung der Fourier-Komponenten des Musters gegeben!
Man kann die Angelegenheit auch umdrehen: Kennen wir das Bild, so können wir auf die Fourier-Transformierte des Musters
zurückschließen. Benutzen wird diese wiederum als Muster, so erhalten wir nun im Prinzip das ursprüngliche Muster als Bild
zurück. Eine Anwendung dieser Tatsache ist die Fresnelsche Zonenplatte (siehe Abbildung).
Mangel der Fraunhofer-Beugung: Wegen
ist
bzw.
, Beschränkung auf kleine Muster.
B) Fresnel-Beugung:
y
Untersuchen zuerst Antwort auf harmonische Funktion
: Raumfrequenzen
Einsetzen in Beugungsformel: x‘=x-u, y‘=y-v ⇒
x
Fourier-Trafo der Gauß-Funktion ist wieder Gauß-Funktion, genau:
12
Fresnelsche Zonenplatte
Das Beugungsbild einer Lochblende ist, wie im Versuch gezeigt, ein konzentrisches Ringsystem. Die Berechnung mit den Beugungsformeln
führt auf spezielle Funktion (nämlich die Fresnel-Integrale), die hier nicht diskutiert werden sollen. Drehen wir das um und benutzen das
Ringsystem als Bild, so wird einfallendes Licht wie bei einer Linse auf einen kleinen Fleck fokussiert. Das Problem ist, dass wir nur das
Betragsquadrat des Musters kennen, aber auch die Phase die benötigen. Dies wird durch die holografische Aufnahme erreicht (siehe .
Filigrane Zonenplatte, die dem
Beugungsmuster einer punktförmigen Loch-Blende nahekommt.
Einfache Zonenplatte mit binärem HellDunkel-Kontrast. Es treten treten multiple
Brennpunkte in verschiedenen Beugungsordnungen auf.
Vorteil: Großes Öffnungsverhältnis (Scheinwerfer), Nachteil: Reduzierte Durchlässigkeit, Anwendung in Röntgenoptik, da
hier n <1 (siehe Kapitel 2)
13
also für das Bild am Ort z
mit
Das ist eine ebene Welle mit transversalen Wellenvektoren kx, ky des Musters und kz aus der Bedingung, dass sich k bzw. λ nicht
ändert.
Beachte: f(x,y) ist hier komplexwertig. In der Praxis kann man aber nur reelle harmonisches Muster erzeugen. Diese haben dann die
Komponenten
⇒ 2 Wellen mit
!
Anwendungen hiervon sind z. B. das Optical Interconnecting, Imaging oder Scanning (siehe folgende Abbildungen)
Verallgemeinerung: Jeder Fourier-Komponente
richtung! Mathematisch:
des Musters entspricht eine ebene Welle mit definierter Ausbreitungs-
Das Integral wird kompliziert, weil kz die Raumfrequenzen ebenfalls enthält. [Sonst wäre das Ergebnis ja einfach f(x,y) ]. Das Bild am
Ort (x,y) ist jetzt nicht mehr wie bei der Fraunhofer-Näherung durch eine einzelne Fourier-Komponente des Musters bestimmt,
sondern eine Überlagerung aller Fourier-Komponenten. Durch die Verwendung einer Linse kann aber wieder eine einzelne
Komponente herausgefiltert werden. Bevor das gezeigt wird, soll zunächst skizziert werden, wie man optische Elemente generell im
Wellenbild beschreibt.
14
Beugung an einem harmonischen Muster
(Es gibt auch eine 2. Welle, die nach –θx gebeugt wird)
(aus: Saleh/Teich, Grundlagen der Photonik)
15
Optical Interconnecting
Konzept der lokal harmonischen Fkt.:
veränderlich auf Skala >> λ
Rasterkoordinaten x0, y0
(aus: Saleh/Teich, Grundlagen der Photonik)
lokale Raumfrequenzen
16
Imaging
(aus: Saleh/Teich, Grundlagen der Photonik)
Scanner
17
5. 4 Optische Elemente im Wellenbild
Prinzip: Durchgang durch optisches Element erzeugt eine Verzerrung der WF gemäß unterschiedlichem optischem Weg nd!
A) Planparallele Platte
Brechungsgesetz
B) Dünner Keil
Ablenkwinkel
Feldamplitude hinter Prisma
18
C) Beliebiges dünnes Element
Deformation der WF durch Phasenverschiebung
19
D) Dünne Bikonvex-Linse
Wir lassen jetzt auch schrägen Einfall zu (siehe Abbildung unten rechts).
Dünne Linse und paraaxiale Näherung
Phase am Linsenende
Welle nach Linse
Phase, ohne irrelevante konstante Beiträge
Gleichung für WF
quadratische Ergänzung
mit Brennweite
,
(Beliebige Linsenform: 1/R -> 1/R1+1/R2 mit
korrektem Vorzeichen, geom. Optik)
Das sind die WF einer Parabolwelle mit Krümmungsradius f und Ursprung x0 = (kx/k) f, y0= (ky/k) f
Folge: Eine ebene Welle, die sich relativ zur optischen Achse im paraaxialen Bereich mit den Polarwinkeln θ und ϕ ausbreitet, wird auf den
Punkt fθ (cos ϕ, sin ϕ ) der Brennebene fokussiert!
20
E) Fourier-Transformation mit einer Linse
Beugungswellen einer bestimmten Fourierkomponente des Bildes werden durch die Linse auf einen bestimmten Punkt der
Brennebene fokussiert. Genauer: Die Komponente
des Musters f(x,y) wird in Frensnel-Nährung auf den Punkt
abgebildet. Das Intensitätsmuster auf einem sich in der Brennebene befindlichen Beobachtungsschirm
ist also
Damit kann man Bilder bearbeiten, wie die folgenden Abbildungen demonstrieren.
21
4f-Aufbau
(aus: Saleh/Teich, Grundlagen der Photonik)
22
Optischer Hoch- und Tiefpass
(Maske wird in der Fourier-Ebene platziert)
(aus: Saleh/Teich, Grundlagen der Photonik)
23
5. 5 Holografie
Aus dem Kalkül der Fourier-Optik folgt: Kann man die Fourier-Komponenten des Lichts, das von einem Objekt ausgeht als Muster
festhalten, so kann durch bescheinen dieses Musters mit einer Referenzwelle das Objekt wieder (virtuell) generiert werden.
Für eine einzelne Fourier-Komponente sähe das so aus:
2D-Detektor
Objektwelle
Referenzwelle
Problem: Detektoren messen Intensität, nicht Feld (welche für eine einzelne Fourier-Komponente eine Konstante ist).
Ausweg: Holografische Kodierung (Gabor 1947)
?
Durch Interferenz von Objekt- und Referenzwelle entsteht in der Detektorebene ein harmonisches Muster, das dann durch
die Referenzwelle wieder ausgelesen werden kann. Was ist genau das Ergebnis?
24
a) Speicherung
Hologramm (Durchlässigkeit)
b) Abfrage
Referenzwelle
Objektwelle
konjugierte Objektwelle
Verallgemeinerung auf beliebige Felder
unmittelbar hinterm Hologramm
speziell mit
Mehrdeutigkeit (ambiguity)
25
Holografisches Prinzip
Speichern
Abfragen
Das wäre eine Fourier-Komponente des Lichts von einem beliebigem Objekt.
26
Hologramm eines beliebigen Objekts
27
Hologramm einer Punktquelle
(Siehe: Fresnel-Zonenplatte)
28
Praktische Anordnung
Speichern
Abfragen
29