11. Übung zur Theoretischen Physik in zwei Semestern I

Prof. Dr. J. Krug
Dipl.-Phys. M. Ivanov
Institut für Theoretische Physik
der Universität zu Köln - SS 2009
11. Übung zur Theoretischen Physik in zwei Semestern I
Abgabe: Dienstag, 14. Juli, in der Vorlesung
Termine: 2. Teilklausur am 18.7. (Samstag!!!), 10:00 in HS II
Internetseite: http://www.thp.uni-koeln.de/krug
Beratungstutorium: Freitag, 10. Juli, 14 Uhr im Seminarraum des Inst. f. Theoretische Physik
1. Energietransport im Koaxialkabel
(4+6+5=15 Punkte)
I
I
Ein langer Draht mit Radius r0 verläuft in der Mitte eines metallischen Hohlzylinders mit Radius
R. Weder Draht noch Zylinder haben einen nennenswerten elektrischen Widerstand. Durch den
Draht fließt ein Strom I, der gleichmäßig durch den Hohlzylinder verteilt zurückfließt. Zwischen
Draht und Zylinder liegt die Spannung U an. Rechnen Sie in Zylinderkoordinaten (r, ϕ, z).
~ im Raum zwischen Draht und Zylinder als Funktion
a) Berechnen Sie das Magnetfeld B
von r. Tip: Ampère’sches Gesetz
~ zwischen Draht und Zylinder als Funktion von r.
b) Berechnen Sie das elektrische Feld E
Tip: Die Geometrie ist dieselbe wie in der 2. Aufgabe des 8. ÜB. Benutzen Sie den Satz
von Gauß und eliminieren Sie die Ladung zugunsten von U .
~ sowie den
c) Berechnen Sie nun die Energiestromdichte des elektromagnetischen Feldes S
gesamten Energiefluss durch eine Querschnittsfläche.
2. Vektorpotential und Eichfreiheit
(3+3+3+3=12 Punkte)
~ = ∇×A
~ ist A
~ beBei der Bestimmung des Magnetfeldes aus dem Vektorpotential gemäß B
kanntlich nur bis auf den Gradienten ∇Λ einer beliebigen skalaren Funktion Λ eindeutig. In dieser
~
Aufgabe soll diese sogenannte Eichfreiheit am Beispiel eines räumlich konstanten Magnetfelds B
näher untersucht werden.
~ aus dem Vektorpotential A
~ 1 (~r) =
a) Zeigen Sie zunächst, dass das konstante Magnetfeld B
1~
r gewonnen werden kann.
2B × ~
~ = (0, 0, B). Überzeugen Sie sich davon,
b) Wählen Sie das Koordinatensystem so, dass B
~ 2 = (−By, 0, 0) und A
~ 3 = (0, Bx, 0) auf das gewünschte
dass auch die Vektorfelder A
~
konstante B-Feld führen.
c) Bestimmen Sie die skalaren Funktionen Λ12 , Λ23 und Λ31 , um deren Gradientenfelder
~ i und A
~ j unterscheiden.
∇Λij sich die Vektorpotentiale A
~ = 0?
d) Genügen die drei angegebenen Vektorpotentiale der Coulomb-Eichung ∇ · A
3. Makroskopische Maxwell-Gleichungen
(4+4=8 Punkte)
Zur Bestimmung von elektromagnetischen Vorgängen in Materie werden die makroskopischen
~ und B
~ das elektrische VerschieMaxwell-Gleichungen benutzt, in denen neben den Feldern E
~
~
bungsfeld D und die Magnetfeldstärke H auftreten. Diese Felder entstehen durch Mittelung über
~ und magnetischen (H)
~ Dipole der Materials. Im einfachsten Fall
die atomaren elektrischen (D)
~
~
sind sie mit E und B über die linearen Materialgesetze
~ = ǫE,
~
D
~ = µ−1 B
~
H
(1)
verknüpft, wobei die dimensionslosen Größen ǫ und µ die Dielektrizitätskonstante und die ma~ und H
~ erfüllen die inhomogenen
gnetische Permeabilität des Materials bezeichnen. Die Felder D
Gleichungen
~
~ = 4πρmakr ,
~ = 4π ~jmakr + 1 ∂ D
(2)
∇·D
∇×H
c
c ∂t
wobei ρmakr und ~jmakr die makroskopischen Ladungs- und Stromdichten bezeichnen, die nach
der Mittelung über die atomaren Dipole noch übrig bleiben. Dazu kommen die (unveränderten)
~ und B,
~
homogenen Gleichungen für E
~
1 ∂B
= 0.
(3)
c ∂t
a) Zeigen Sie, dass die makroskopischen Gleichungen (2,3) einen Energiesatz in der Form:
~ = 0,
∇·B
~+
∇×E
∂u
~ = −E
~ · ~jmakr
+∇·S
∂t
erfüllen, mit den Ausdrücken
u=
1 ~ ~
~ · H),
~
(E · D + B
8π
~ = c (E
~ × H)
~
S
4π
für Energie- und Energiestromdichte.
b) Leiten Sie aus den makroskopischen Gleichungen (2,3) (ohne Umweg über die Potentia~ und H
~ her, und
le!) mit den linearen Materialgesetzen (1) die Wellengleichungen für D
√
zeigen Sie, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit dieser Wellen c/ ǫµ beträgt. Somit
√
ist n = ǫµ der Brechungsindex des Materials. Dabei sei ρmakr =0 und ~jmakr =0. Tip:
~ und H
~ zweimal nach der Zeit ab und benutzen Sie die Beziehungen aus
Leiten Sie D
der 3. Aufgabe des 7. ÜB.
4. Dipolstrahlung
(5+7+3+5∗ =15+5∗ Punkte)
Das von einer zeitabhängigen Ladungsverteilung abgestrahlte elektromagnetische Feld hat im
Fernfeld die in der Vorlesung angegebene Form
~¨ − r/c)],
~ r , t) = − 1 [~er × d(t
B(~
c2 r
~ =B
~ × ~er ,
E
¨
wobei d~ die zweite Zeitableitung des Dipolmoments bezeichnet.
~
a) Finden Sie die Energiestromdichte S.
Tip: Benutzen Sie Kugelkoordinaten (r, θ, ϕ) mit d~ = d~ez .
~ über einer Kugelfläche vom Radius R, um den gesamten Energiefluss
b) Integrieren Sie S
der Dipolstrahlung I zu bestimmen. Wie hängt I vom Radius R ab?
c) Wählen Sie für die zeitliche Änderung des Dipolmomentes eine harmonische Schwingung
~ = d~0 cos(ωt). Welches Gesetz bekommt man für I als Funktion von ω?
d(t)
d) Bonusfrage∗ : Wieso ist der Himmel blau, und was hat das mit dieser Aufgabe zu tun?