Übung zur Physik II Abgabedatum

Übungen zu Physik II, SoSe 2015
Prof. Dr. U. Thiele , Prof. Dr. S. Demokritov
Übungen im WWW: http://pauli.uni-muenster.de/tp/menu/studium/aktuelles-semester/physikii-ss-2015.html
Übungsblatt 3: (15 P.)
Abgabe: 04.05.15 bzw. 05.05.15
Aufgabe 1: Homogenität der Entropie
V
a) [1 P.] Die Entropie des idealen Gases ergibt sich zu Sid = kB N (log N
− f (T )), wobei N die Anzahl
der Teilchen, V das Volumen des Systems, und f (T ) eine Funktion der Temperatur T sind. Ist Sid eine
homogene Funktion von V und N ? Wenn ja, bestimmen Sie den Grad der Homogenität von Sid .
b) [2 P.] Die Entropie des Van-der-Waals Gases ist SvdW = Sid + kB N log 1 − NVb , und die innere Energie
2
ist U = − NV a , wo a und b Konstanten sind. Drücken Sie die Entropiedichte σ = SvdW /N durch die Dichte
der inneren Energie u = U/N aus, und bestimmen Sie, ob SvdW eine homogene Funktion von U und N ist.
Wenn ja, bestimmen Sie den Grad der Homogenität von SvdW (U, N ).
c) [1 P.] Drücken Sie die Entropiedichte σ = S/N durch die Energiedichte u = U/N und das spezifische
Volumen v = V /N aus. Betrachen Sie dabei jedes Teilchen als separates Untersystem und benutzen Sie die
Additivität der Entropie. Ist die Entropie die homogene Funktion der Energie U , des Volumens V und der
Teilchenzahl N , und, wenn ja, welchen Grades?
r
P
∂f
= sf für jede homogene Funktion f (x1 , ..., xr ) vom Grad s gilt.
d) [2 P.] Zeigen Sie, dass
xi ∂x
i
i=1
Aufgabe 2: Konvexität der Entropie [3 P.]
Beweisen Sie, dass die Entropie eine konkave Funktion der Energie U , des Volumens V und der Teilchenzahl
∂2S
∂2S
∂2S
N ist (also ∂U
2 ≤ 0, ∂V 2 ≤ 0, ∂N 2 ≤ 0). Betrachten Sie dafür, dass das ganze System in zwei gleiche Teile
zerteilt wird. Berechnen Sie dann die Änderungen der Entropie ∆S des Systems, die durch den Austausch
kleiner Mengen von Energie ∆U , Teilchenzahl ∆N und Volumen ∆V zwischen den beiden Teilen, verursacht
wird. Beachten Sie, dass im Gleichgewicht die Entropie maximal sein muss.
Hinweis: Benutzen Sie die Taylor-Entwicklungen von der Entropiedifferenz ∆S in ∆U , ∆N , und ∆V um
∂2S ∂2S ∂2S
das Vorzeichen der Abteilungen ∂U
2 , ∂V 2 , ∂N 2 zu bestimmen.
Aufgabe 3: Totales Differential der Energie
Die Formel für das totale Differential der Zustandsfunktion S(U, V, N ) lautet:
dS =
p
µ
1
dU + dV − dN
T
T
T
(∗).
a) [2 P.] Benutzen Sie die Formel für dS, um die Temperatur T , den Druck p und das chemische Potential
µ durch partielle Ableitungen von U zu bestimmen. Behandeln Sie dazu die Formel (*) als das totale
Differential von U .
b) [1 P.] Verknüpfen Sie das Ergebnis für T mit dem 4ten Postulat
der Thermodynamik (die Entropie
eines Systems verschwindet im Gleichgewichtszustand mit ∂U
=
0),
um zu einer Aussage über T zu
∂S V,N
gelangen.
Aufgabe 4: Ideales Gas im Behälter
In einem Behälter aus Glas, der nach außen thermisch isoliert ist, befindet
sich 1l des Gases Argon bei einer Temperatur von 273.15K und einem Druck
kJ
von 1, 01325 · 105N/m2 . Das Glas hat eine spezifische Wärme von 0, 6 kgK
.
Der leere Behälter wiegt 100g. Betrachten Sie Argon in dieser Aufgabe als
monoatomares ideales Gas, d. h. U = 3N k2B T .
a) [1 P.] Welche Masse hat das eingeschlossene Gas?
b) [2 P.] Dem System wird über einen Heizwiderstand die Energie 1J zugeführt. Berechnen Sie die Temperatur und den Druck des Gases i) ohne
und ii) mit Berücksichtigung der Wärmekapazität des Glasbehälters.
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