Lösungshinweise zu Zusatzaufgaben
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Angewandte Spieltheorie HT 11 Univ.‐Prof. Dr. Karl Morasch, Volkswirtschaftslehre, insbes. Mikroökonomie und Wettbewerbspolitik Lösungshinweise zu den zusätzliche Übungsaufgaben Aufgabe Z.1 (Maximin‐Regel [1]) Als Gleichgewicht ergibt sich , mit Auszahlungsvektor 5, 5 . Aufgabe Z.2 (Dominanzüberlegungen und Nash‐Gleichgewicht a) & b) [1]/ Nash‐GG in steti‐ gen Strategien c) [2]/ Teilspielperfektheit und Glaubwürdigkeit d) & e) [3]) Teil a) Spieler 1: Zentralbank mit 2 reinen und diskreten Strategien Spieler 2: Bevölkerung mit 2 reinen und diskreten Strategien 0 und 0 und 4 . 4). Auszahlungsmatrix ZB, Bev. 0 4 0 ( 24 , 16 ) ( 0 , 0 ) 4 ( 24 , 0 ) ( 16 , 16 ) Teil b) Kein Gleichgewicht in dominanten Strategien. Bevölkerung hat keine dominante Strategie, Notenbank hat schwach dominante Strategie : optimale Reaktion der Bevölkerung dann . Als nicht eindeutiges Nash‐Gleichgewicht ergibt sich , mit Auszahlungsvektor 16, 16 . Über Reaktionsabbildungen bzw. Cell‐by‐cell Inspection ergibt sich weiteres Nash‐Gleichgewicht (in reinen Strategien). , als (einziges) Teil c) 2 Reaktionsfunktion der Zentralbank: Reaktionsfunktion der Bevölkerung: Übung: Dr. Florian Bartholomae Lösungshinweise 1 Angewandte Spieltheorie HT 11 Univ.‐Prof. Dr. Karl Morasch, Volkswirtschaftslehre, insbes. Mikroökonomie und Wettbewerbspolitik 4 mit dem Auszahlungsvektor 16, 16 . Durch Gleichsetzen ergibt sich: p pe pe pe p 4 2 p 4 Teil d) Als Stackelberg‐Gleichgewicht ergibt sich kombination (24, 16). 0. Daraus resultiert die Auszahlungs‐ (i) (i) (ii) Teil e) Einfache, verbale Ankündigung einer Nullinflation ist nicht bindend („cheap talk“). Erfolgsabhängige Entlohnung erhöht den Anreiz des Zentralbankers zu inflationsaversem Handeln. Ein zweistufiges Spiel, bei dem auf der ersten Stufe die Höhe der optimalen Entlohnung, auf der zweiten dann bzw. optimal festgelegt werden, führt direkt zur Stackelberg‐Lösung. Trigger‐Strategie: Die endliche Wiederholung ist wirkungslos (Rückwärtsinduktion!); die unendliche Wiederholung des Spiels ermöglicht jedoch die Realisierung der sozial wünschenswerten Lösung (Folk‐Theorem). Übung: Dr. Florian Bartholomae Lösungshinweise 2 Angewandte Spieltheorie HT 11 Univ.‐Prof. Dr. Karl Morasch, Volkswirtschaftslehre, insbes. Mikroökonomie und Wettbewerbspolitik Aufgabe Z.3 (Medianwähler‐Theorem, Nash‐GG in diskreten Strategien [2]) Teil a) Che , Fidel Konservativ Liberal Sozialistisch Konservativ ( 9 , 9 ) ( 5 , 13 ) ( 9 , 9 ) Liberal ( 13 , 5 ) ( 9 , 9 ) * ( 13 , 5 ) Sozialistisch ( 9 , 9 ) a) ( 5 , 13 ) ( 9 , 9 ) Teil b) a) führt zwar zu den gleichen Auszahlungen/Wahlergebnis wie das Nash‐GG * (beide teilen sich die Stimmen), ist aber nicht stabil (vgl. hierzu die Definition des NGG). Teil c) Siehe Lösung zu Aufgabe 2.2. Aufgabe Z.4 (Nash‐Gleichgewicht, gemischte Strategien [2]) Dominanzüberlegungen: Strategie wird von strikt dominiert und kann eliminiert wer‐ den. In der verbleibenden 2x2‐Matrix hat Spieler 1 die schwach dominante Strategie . Die beste Reaktion darauf von Spieler 2 ist , d. h. es ergibt sich das (nicht notwendigerweise eindeutige) Nash‐Gleichgewicht , . Reaktionsabbildung bzw. Cell‐by‐cell Inspection: Gleichgewicht in reinen Strategien. , ist das einzige Nash‐ und 0. Die Auszah‐ lung von Spieler 1 ist also immer dann maximal, wenn Spieler 2 mit Sicherheit die zweite Strategie wählt. Es gibt also kein Gleichgewicht in gemischten Strategien. Gemischte Strategien: Die Anwendung des Verfahrens ergibt: Übung: Dr. Florian Bartholomae Lösungshinweise 3 Angewandte Spieltheorie HT 11 Univ.‐Prof. Dr. Karl Morasch, Volkswirtschaftslehre, insbes. Mikroökonomie und Wettbewerbspolitik Aufgabe Z.5 (Nash‐GG in reinen und gemischten Strategien a) & b) [2]/ Teilspielperfektheit und First Mover Advantage c) & d) [3]) Teil a) Es handelt sich um ein Koordinationsproblem: Abstimmungsproblem mit gemeinsamen Inte‐ resse. Unterscheide endogener [für 1 bei , ] und exogener Fokuspunkt. „Kampf der Geschlechter“‐Struktur bei 3. Teil b) Anzahl der Nash‐GG ist immer ungerade (es liegen zwei in reinen Strategien vor, daher muss es ein drittes in gemischten geben) 1 0,1 0 mit Prob 4 wenn 1 0,1 6 4 wenn 0 0 6 1 , Prob 6 4 wenn 1 , Prob 5 6 wenn 1 5 6 5 6 wenn wenn 0 1 und Prob . Das Nash‐Gleichgewicht in gemischten Strategien ist hier nicht plausibel, da es dazu kom‐ men kann, dass beide eine unterschiedliche Technologie wählen. Es handelt sich hier auch nicht um ein Anti‐Koordinationsspiel (Kontroll‐Spiel). 1 ein endogener Fo‐ Aussage ist von abhängig, wie in a) gezeigt wurde existiert für kuspunkt. Teil c) Das Teilspielperfekte Nash‐Gleichgewicht lautet: , , . Der „First Mover Advantage“ besagt, dass der Spieler, der als erster zieht einen Vorteil hat, da er durch seine Wahl den Strategieraum des folgenden Spielers einschränken kann und so einen für ihn vorteilhaften Ausgang herbeiführen kann. Teil d) 4 wählen. In diesem Falle wäre Fujita sollte eine streng dominante Strategie, d.h. unabhängig davon, was Sumsang macht, wird Fujita immer wählen. Werte für Für 0 V Für 4 stellt ( 0 ergeben keinen ökonomischen Sinn. 4 ergibt sich die Lösung aus b). , Übung: Dr. Florian Bartholomae das einzige Nash‐Gleichgewicht dar. Lösungshinweise 4 Angewandte Spieltheorie HT 11 Univ.‐Prof. Dr. Karl Morasch, Volkswirtschaftslehre, insbes. Mikroökonomie und Wettbewerbspolitik Aufgabe Z.6 (Teilspielperfektheit und stetige Strategien [3]) Die genaue Gestalt der Kostenfunktion ist für den ersten Lösungsschritt (Cournot‐ Wettbewerb auf der 2. Stufe) nicht erheblich und sollte daher aus Vereinfachungsgründen erst im 2. Lösungsschritt Beachtung finden. Ebenso spielen die Kosten für F&E auch erst dann eine Rolle. Vorgehen: Aus 100 (1) ergibt sich für die gewinnmaximalen Ausbringungsmengen 100 ⁄3. 2· (2) Einsetzen von (2) in (1) liefert die Gewinne in Abhängigkeit von den Kosten: , 100 ⁄9 für 2· , 1, 2. (3) Im zweiten Schritt wird nun die optimale Investition bestimmt, die von beiden Unterneh‐ men in der ersten Stufe simultan festgelegt wird. Die Kostenfunktionen , 50 sind nun in die Gewinnfunktion (3) unter Berücksichtigung der Kosten für F&E, , einzusetzen, um das symmetrische Cournot‐Nash‐Gleichgewicht der ersten Stufe zu berechnen: 1 · 100 2 · 50 9 1 50 2 9 Die Bedingung erster Ordnung ergibt: 2 · 50 2 9 Aus den Reaktionsfunktionen 50 · · 2 2 · 1 · 1 · 2 · 2 2 2 1 2 50 9 2 2 ergibt sich das Cournot‐Nash‐Gleichgewicht der ersten Stufe, 50 2 . 4,5 2 1 Aufgabe Z.7 (Rubinstein‐Verhandlungsspiel [3]) 2 0 Teil a) Spieler: Gewerkschaft, Arbeitgeberverband, Aktionen: Akzeptieren, Ablehnen und Gegenan‐ gebot Sequentielles Spiel, unendlicher Zeithorizont, jederzeit durch Spieler beendbar, mögliche Auszahlungen: 0; 1 (Spieler 1) und 1 (Spieler 2) Übung: Dr. Florian Bartholomae Lösungshinweise 5 Angewandte Spieltheorie HT 11 Univ.‐Prof. Dr. Karl Morasch, Volkswirtschaftslehre, insbes. Mikroökonomie und Wettbewerbspolitik Teil b) 0,9 (i) , Anteil der Gewerkschaft: , · , Anteil der Arbeitgeber: , · , , · , 0 (ii) Ableitung: (iii) Abschluss erfolgt bereits in erster Runde. Aufgabe Z.8 (Verhandlungsspiele [3]) Teil a) Aktionen: Verkäufer sei Spieler 1; Käufer sei Spieler 2 Preisvorschlag p Annahme oder Ablehnung: Annahme oder Ablehnung: Preisvorschlag q , Strategien: , ; Auszahlungen: Verkäuferrente (VR): Verkaufspreis – Reservationspreis Kunden‐ oder Käuferrente (KR): max. Zahlungsbereitschaft – Kaufpreis ( p - 90, 100 - p ) a a10 0 2 a 20 a11 (q -90 , 100- q) a11 (0, 0) a 12 Übung: Dr. Florian Bartholomae Lösungshinweise 6 Angewandte Spieltheorie HT 11 Univ.‐Prof. Dr. Karl Morasch, Volkswirtschaftslehre, insbes. Mikroökonomie und Wettbewerbspolitik Teil b) Verkäufer macht Angebot und Käufer nimmt an („take‐it‐or‐leave‐it‐offer“) . , Verkäufer schlägt vor: 90, 100 ; Käufer muss annehmen! (Selbst wenn Verkäufer 99,99 für sich beansprucht, erhält Käufer 0,01 > 0.) Teilspielperfektheit: Ist die Strategiekombination, die in Periode 0 wechselseitig optimal ist, auch dann noch optimal, wenn (i) Info aus Periode 1 hinzukommt (ii) Rationalität als gemeinsames Wissen unterstellt wird? 90, 100 . Käufer Ziel: Ausschluss unplausibler Nash‐Gleichgewichte aus dem Intervall nimmt dann an, wenn er sich in der Folgezeit durch ein eigenes Angebot nicht besser stellen kann: 90, 90 . Für den Käufer wäre auch ein Preis p‘ mit 90 mal. Schlägt der Verkäufer 90 90 opti‐ vor und der Käufer lehnt ab mit der Forderung nach p‘, dann weiß der Verkäufer, dass p‘ in Periode 2 nicht zu verwirklichen ist. Allein für 90 ist der Käufer indifferent zwischen der heutigen Auszahlung bei Annahme und morgiger Auszahlung bei Ablehnung. p‘ ist damit leere Drohung und 90 das teilspielperfekte Nash‐Gleichgewicht. Übung: Dr. Florian Bartholomae Lösungshinweise 7
