Lehrstuhl VWL (Mikroökonomie) - WiSo

Lehrstuhl VWL (Mikroökonomie)
Universität Dortmund
Professor Dr. Wolfgang Leininger, Christian Rusche
WS 2013/14
Übung zur Spieltheorie I
6. Übungsblatt
Aufgabe 1: Öffentliches Gut
Jeder von drei Spielern kann entweder einen fixen Betrag für die Bereitstellung eines
öffentlichen Gutes beitragen oder nicht. Das Gut wird nur dann bereitgestellt, wenn
mindestens 2 Personen dazu beitragen. Kommt es zu keiner Bereitstellung werden die
Beiträge nicht zurückgezahlt. Jede Person hat folgende Präferenz für die Bereitstellung
des Öffentlichen Gutes (vom besten zum schlechtesten Ergebnis):
 Jedes Ergebnis bei dem das Gut bereitgestellt wird und die Person nichts dazu
beiträgt
 Jedes Ergebnis bei dem das Gut bereitgestellt wird und sie dazu beiträgt
 Jedes Ergebnis bei dem das Gut nicht bereitgestellt wird und sie nichts dazu beiträgt
 Jedes Ergebnis bei dem das Gut nicht bereitgestellt wird und sie dazu beiträgt
a) Stellen Sie dieses Spiel als strategisches Spiel dar und finden sie seine Nash
Gleichgewichte!
b) Finden Sie das symmetrische Nash Gleichgewicht in gemischten Strategien bei dem
alle drei Spieler mit Wahrscheinlichkeit 0 < p < 1 zum öffentlichen Gut beitragen!
c) Nehmen Sie nun an, dass das Spiel einmal wiederholt (d.h. es werden zwei
identische Stufen gespielt) und nicht diskontiert wird.
Stellt das Strategienprofil in dem
•
•
jeder Spieler auf der erste Stufe zum öffentlichen Gut beiträgt
jeder Spieler mit Wahrscheinlichkeit ½ auf Stufe 2 dazu beiträgt, wenn alle in
Stufe 1 dazu beitragen und sonst nichts dazu beitragen
ein Teilspielperfektes Nash Gleichgewicht dar?
d) Nehmen Sie nun an, dass das Spiel unendlich oft wiederholt wird und alle drei Spieler
trigger Strategien benutzen (sobald jemand aufhört zum öffentlichen Gut beizutragen
lautet die trigger Strategie nie mehr dazu beizutragen). Geben Sie die Bedingung für
den Diskontfaktor δ an, so dass das Strategienprofil (c,c,c) in dem alle zum
öffentlichen Gut beitragen, aufrecht erhalten werden kann.
Aufgabe 2:
Das folgende statische Spiel wird zweimal gespielt:
L
C
R
T
3,1
0,0
5,0
M
2,1
1,2
3,1
B
1,2
0,1
4,4
Das Ergebnis der ersten Stufe wird beobachtet bevor die zweite Stufe beginnt. Es wird nicht
diskontiert. Kann die Auszahlung (4,4) in einem Nash Gleichgewicht mit reinen Strategien
auf der ersten Stufe erreicht werden? Ist dies der Fall, so geben sie die Strategien an, mit
denen das Nash Gleichgewicht erreicht werden kann! Andernfalls beweisen Sie, dass es
kein Strategienprofil gibt, welches diese Eigenschaft besitzt!
Aufgabe 3:
Das statische Gefangenen Dilemma mit den Parametern 1 < x < y wird unendlich oft mit
Diskontfaktor δ wiederholt.
C
D
x,x
0,y
y,0
1,1
In der so genannten tit-for-tat (wie du mir, so ich dir) Strategie hängt die Länge der
Bestrafung von dem Verhalten des Spielers ab, der bestraft werden soll. Wenn dieser
weiterhin D wählt, dann wird dies tit-for-tat fortgeführt. Wenn dieser auf C zurück fällt,
bedeutet tit-for-tat, dass ebenfalls C gewählt wird. Die Strategie kann in einer sehr
kompakten Beschreibung zusammengefasst werden: Tue genau das, was der andere
Spieler in der Periode zuvor getan hat!
C
D
x,x
0,y
Y,0
1,1
a) Finden Sie die Bedingungen für x, y und den Diskontfaktor δ, bei dem das
Strategienpaar bei dem jeder Spieler tit-for-tat benutzt, ein Nash Gleichgewicht ist!
b) Zeigen Sie insbesondere, dass das Strategienpaar für y ≥ 2x und für jeden Wert von
δ < 1 kein Nash Gleichgewicht darstellt!