Lösungshinweise zu den zusätzlichen Übungsaufgaben

Angewandte Spieltheorie HT 13 Univ.‐Prof. Dr. Karl Morasch, Volkswirtschaftslehre, insbes. Mikroökonomie und Wettbewerbspolitik Lösungshinweise zu den zusätzlichen Übungsaufgaben Aufgabe Z.1 ∗
,
Als Gleichgewicht ergibt sich mit Auszahlungsvektor 5, 5 . Aufgabe Z.2 Teil a) Spieler 1: Zentralbank mit 2 reinen und diskreten Strategien Spieler 2: Bevölkerung mit 2 reinen und diskreten Strategien s ZB, Bev. 0 und 0 und 4 . 4). 0 4 0 ( 24 , 16 ) ( 0 , 0 ) 4 ( 24 , 0 ) ( 16 , 16 ) Teil b) Kein Gleichgewicht in dominanten Strategien. Bevölkerung hat keine dominante Strategie, Notenbank hat schwach dominante Strategie , die optimale Reaktion der Bevölkerung ∗
darauf ist . Als nicht eindeutiges Nash‐Gleichgewicht ergibt sich ,
mit Auszah‐
lungsvektor 16, 16 . Über Reaktionsabbildungen bzw. Cell‐by‐cell Inspection ergibt sich weiteres Nash‐Gleichgewicht (in reinen Strategien). Reaktionsfunktion der Zentralbank: Durch Gleichsetzen ergibt sich: ∗
Übung: Dr. Florian Bartholomae Kirsten Johanneman, M.Sc. (VWL) ∗
∗
als (einziges) Teil c) 2 ∗
Reaktionsfunktion der Bevölkerung: ,
4 mit dem Auszahlungsvektor 16, 16 . Lösungshinweise 1 Angewandte Spieltheorie HT 13 Univ.‐Prof. Dr. Karl Morasch, Volkswirtschaftslehre, insbes. Mikroökonomie und Wettbewerbspolitik p  pe 
pe
pe  p 
4
2
Teil d) p
Als Stackelberg‐Gleichgewicht ergibt sich p
kombination 24, 16 . (i) (ii) (iii) p 4
0. Daraus resultiert die Auszahlungs‐
Teil e) Die einfache, verbale Ankündigung einer Nullinflation ist nicht bindend („cheap talk“). Erfolgsabhängige Entlohnung erhöht den Anreiz des Zentralbankers zu inflationsaver‐
sem Handeln. Ein zweistufiges Spiel, bei dem auf der ersten Stufe die Höhe der opti‐
malen Entlohnung, auf der zweiten dann bzw. optimal festgelegt werden, führt direkt zur Stackelberg‐Lösung. Trigger‐Strategie: Die endliche Wiederholung ist wirkungslos (Rückwärtsinduktion!); die unendliche Wiederholung des Spiels ermöglicht jedoch die Realisierung der sozial wünschenswerten Lösung (Folk‐Theorem). Übung: Dr. Florian Bartholomae Kirsten Johanneman, M.Sc. (VWL) Lösungshinweise 2 Angewandte Spieltheorie HT 13 Univ.‐Prof. Dr. Karl Morasch, Volkswirtschaftslehre, insbes. Mikroökonomie und Wettbewerbspolitik Aufgabe Z.3 Teil a) Che , Fidel Konservativ Liberal Sozialistisch Konservativ ( 9 , 9 ) ( 5 , 13 ) ( 9 , 9 ) Liberal ( 13 , 5 ) ( 9 , 9 ) * ( 13 , 5 ) Sozialistisch ( 9 , 9 ) a) ( 5 , 13 ) ( 9 , 9 ) Teil b) führt zwar zu den gleichen Auszahlungen/Wahlergebnis wie das Nash‐GG * (beide teilen sich die Stimmen), ist aber nicht stabil (vgl. hierzu die Definition des NGG). a)
Teil c) Siehe Lösung zu Aufgabe 2.2. Aufgabe Z.4 Dominanzüberlegungen: Strategie wird von strikt dominiert und kann eliminiert wer‐
den. In der verbleibenden 2x2‐Matrix hat Spieler 1 die schwach dominante Strategie . Die beste Reaktion darauf von Spieler 2 ist , das heißt, es ergibt sich das (nicht notwendiger‐
∗
weise eindeutige) Nash‐Gleichgewicht ,
. Reaktionsabbildung bzw. Cell‐by‐cell Inspection: Gleichgewicht in reinen Strategien. ,
∗
ist das einzige Nash‐
Gemischte Strategien: Die Anwendung des Verfahrens ergibt: ∗ 0,5und ∗ 0. Die Aus‐
zahlung von Spieler 1 ist also immer dann maximal, wenn Spieler 2 mit Sicherheit die zweite Strategie wählt. Es gibt somit kein Gleichgewicht in gemischten Strategien. Aufgabe Z.5 Teil a) Es handelt sich um ein Koordinationsproblem: Abstimmungsproblem mit gemeinsamen Inte‐
resse. Unterscheide endogener [für 1 bei ,
] und exogener Fokuspunkt. „Kampf der Geschlechter“‐Struktur bei 3. Übung: Dr. Florian Bartholomae Kirsten Johanneman, M.Sc. (VWL) Lösungshinweise 3 Angewandte Spieltheorie HT 13 Univ.‐Prof. Dr. Karl Morasch, Volkswirtschaftslehre, insbes. Mikroökonomie und Wettbewerbspolitik Teil b) Anzahl der Nash‐GG ist immer ungerade (es liegen zwei in reinen Strategien vor, daher muss es ein drittes in gemischten geben) 1
0,1
0
6
4
wenn
6
4
wenn 0
6
1
, Prob
mit Prob
4
wenn 1
, Prob
1
wenn
0,1
wenn
0
wenn
5
6
5
6
0
1
und Prob
5
6
1
. Das Nash‐Gleichgewicht in gemischten Strategien ist hier nicht plausibel, da es dazu kom‐
men kann, dass beide eine unterschiedliche Technologie wählen. Es handelt sich hier auch nicht um ein Anti‐Koordinationsspiel (Kontroll‐Spiel). 1 ein endogener Fo‐
Aussage ist von abhängig, wie in a) gezeigt wurde, existiert für kuspunkt. Teil c) Das Teilspielperfekte Nash‐Gleichgewicht lautet: ,
,
. Der „First Mover Advantage“ besagt, dass der Spieler, der als erster zieht einen Vorteil hat, da er durch seine Wahl den Strategieraum des folgenden Spielers einschränken kann und so einen für ihn vorteilhaften Ausgang herbeiführen kann. Teil d) Fujita sollte V 4 wählen. In diesem Falle wäre eine streng dominante Strategie, das heißt unabhängig davon, was Sumsang macht, wird Fujita immer wählen. 
Werte für 
Für 0

Für 0 ergeben keinen ökonomischen Sinn. 4 ergibt sich die Lösung aus b). 4 stellt (
,
das einzige Nash‐Gleichgewicht dar. Aufgabe Z.6 Die genaue Gestalt der Kostenfunktion ist für den ersten Lösungsschritt (Cournot‐
Wettbewerb auf der 2. Stufe) nicht erheblich und sollte daher aus Vereinfachungsgründen erst im 2. Lösungsschritt Beachtung finden. Gleiches gilt für die F&E‐Kosten. Vorgehen: Aus 100
Übung: Dr. Florian Bartholomae Kirsten Johanneman, M.Sc. (VWL) Lösungshinweise (1) 4 Angewandte Spieltheorie HT 13 Univ.‐Prof. Dr. Karl Morasch, Volkswirtschaftslehre, insbes. Mikroökonomie und Wettbewerbspolitik ergeben sich die Reaktionsfunktionen 1
1
⋅
⋅ 2
2
und daraus die gewinnmaximalen Ausbringungsmengen 50
∗
100
⁄3. 2∙
(2) Einsetzen von (2) in (1) liefert die Gewinne in Abhängigkeit von den Kosten: ,
100
⁄9 für
2∙
,
1, 2. (3) Im zweiten Schritt wird nun die optimale Investition bestimmt, die von beiden Unterneh‐
men in der ersten Stufe simultan festgelegt wird. Die Kostenfunktionen ,
50
sind nun in die Gewinnfunktion (3) unter Berücksichtigung der Kosten für F&E, , einzusetzen, um das symmetrische Cournot‐Nash‐Gleichgewicht der ersten Stufe zu berechnen: 1
∙ 100 2 ∙ 50
9
1
50
2
9
Die Bedingung erster Ordnung ergibt: 2
∙ 50
2
9
Aus den Reaktionsfunktionen ∙
50
2
∙
2
∙
1 ∙
1 ∙
2
2
!
∙ 2
2⋅ 2
1 ⋅ 2
⋅ 50
9 2⋅ 2
ergibt sich das Cournot‐Nash‐Gleichgewicht der ersten Stufe, 50 ⋅ 2
∗
. 4,5
2
1
0 Aufgabe Z.7 Teil a) Spieler: Gewerkschaft, Arbeitgeberverband, Aktionen: Akzeptieren, Ablehnen und Gegenangebot Sequentielles Spiel, unendlicher Zeithorizont, jederzeit durch Spieler beendbar, mögliche Auszahlungen: ∈ 0; 1 (Spieler 1) und 1
(Spieler 2) Übung: Dr. Florian Bartholomae Kirsten Johanneman, M.Sc. (VWL) Lösungshinweise 5 Angewandte Spieltheorie HT 13 Univ.‐Prof. Dr. Karl Morasch, Volkswirtschaftslehre, insbes. Mikroökonomie und Wettbewerbspolitik Teil b) 0,9 ,
(i) Anteil der Gewerkschaft: , ∙ ,
, Anteil der Arbeitgeber: , ∙ ,
, ∙ ,
0 (ii) Ableitung: (iii) Abschluss erfolgt bereits in erster Runde. Aufgabe Z.8 Teil a) Aktionen: Verkäufer sei Spieler 1; Käufer sei Spieler 2 ∶ Preisvorschlag ∶ Annahme oder Ablehnung: ∶ Annahme oder Ablehnung: ∶ Preisvorschlag ,
Strategien: ,
; Auszahlungen: Verkäuferrente (VR): Verkaufspreis – Reservationspreis Kunden‐ oder Käuferrente (KR): max. Zahlungsbereitschaft – Kaufpreis ( p - 90, 100 - p )
a
a10
0
2
a 20 
a11
(q -90 , 100- q)
a11
(0, 0)
a 12
Teil b) Verkäufer macht Angebot und Käufer nimmt an („take‐it‐or‐leave‐it‐offer“) .
,
Übung: Dr. Florian Bartholomae Kirsten Johanneman, M.Sc. (VWL) Lösungshinweise 6 Angewandte Spieltheorie HT 13 Univ.‐Prof. Dr. Karl Morasch, Volkswirtschaftslehre, insbes. Mikroökonomie und Wettbewerbspolitik Verkäufer schlägt vor: ∈ 90, 100 ; Käufer muss annehmen! (Selbst wenn Verkäufer 99,99 für sich beansprucht, erhält Käufer 0,01 > 0.) Teilspielperfektheit: Ist die Strategiekombination, die in Periode 0 wechselseitig optimal ist, auch dann noch optimal, wenn (i)
Info aus Periode 1 hinzukommt (ii)
Rationalität als gemeinsames Wissen unterstellt wird? Ziel: Ausschluss unplausibler Nash‐Gleichgewichte aus dem Intervall ∈ 90, 100 . Käufer nimmt dann an, wenn er sich in der Folgezeit durch ein eigenes Angebot nicht besser stellen kann: ∗
∈ 90, 90
. Für den Käufer wäre auch ein Preis ′ mit 90
mal. Schlägt der Verkäufer 90
′
90
opti‐
vor und der Käufer lehnt ab mit der Forderung nach ′, dann weiß der Verkäufer, dass ′ in Periode 2 nicht zu verwirklichen ist. Allein für 90
ist der Käufer indifferent zwischen der heutigen Auszahlung bei Annahme und morgiger Auszahlung bei Ablehnung. ′ ist damit leere Drohung und 90
das teil‐
spielperfekte Nash‐Gleichgewicht. Übung: Dr. Florian Bartholomae Kirsten Johanneman, M.Sc. (VWL) Lösungshinweise 7