Übungsblatt 2

Angewandte Spieltheorie HT 10 Univ.‐Prof. Dr. Karl Morasch, Volkswirtschaftslehre, insbes. Mikroökonomie und Wettbewerbspolitik Übungsblatt 2 Aufgabe 2.1 (Nash‐Gleichgewicht in stetigen Strategien) Zwei Unternehmen stehen miteinander auf einem Duopolmarkt mit differenzierten Produkten im Wettbewerb. Die Marktnachfragefunktionen sind für die beiden Unter‐
nehmen , jeweils durch ,
30
, die daraus abgeleiteten Preisab‐
satzfunktionen durch ,
60
gegeben. Zur Vereinfachung der Be‐
rechnungen wird von konstanten Durchschnittskosten in Höhe von null ausgegangen. a) Bestimmen Sie graphisch und rechnerisch die Reaktionskurven und das Nash‐
Gleichgewicht des Simultanspiels sowohl für Preis‐ als auch für Mengenwettbe‐
werb! b) Erläutern Sie kurz die Grundidee des Nash‐Gleichgewichts! Begründen Sie warum es im vorliegenden Fall ein sinnvolles Lösungskonzept darstellt! Unter welchen Umständen ist das Nash‐Konzept weniger überzeugend? c) Ist das Nash‐Gleichgewicht pareto‐optimal? Beweisen Sie Ihre Antwort! Aufgabe 2.2 (Medianwähler‐Theorem, Nash‐GG in diskreten/stetigen Strategien) In der Republik Democratia stehen mal wieder Präsidentschaftswahlen an. Zur Wahl stehen der eher linksgerichtete Gewerkschaftsfreund Ehrhard Köder (1) und die ultra‐
kapitalistische Kandidatin des rechten Flügels Peggy Catcher (2). Die Wahl vollzieht sich in zwei Schritten: Im Wahlkampf legen beide Kandidaten zunächst simultan ihre politischen Positionen fest. Dabei können sie sich entlang eines diskreten, eindimensionalen Spektrums für drei Positionen entscheiden: links ( 1) , Mitte ( 0,5) oder rechts ( 1): 0 0,5 1
Das Ziel beider Kandidaten – Wahlprogramme hin oder her – ist der Wahlsieg. Die Wahl gewinnt derjenige Kandidat, der die meisten Wählerstimmen auf sich vereinigt (einfache Mehrheit). Die Situation ist für beide Kandidaten symmetrisch. Übung: Dipl.‐Vw. Florian Bartholomae Übungsblatt 2 1 Angewandte Spieltheorie HT 10 Univ.‐Prof. Dr. Karl Morasch, Volkswirtschaftslehre, insbes. Mikroökonomie und Wettbewerbspolitik Am Wahltag treffen dann 4 Millionen wahlberechtigte Bürger ihre Entscheidung. Die letzte – allen bekannte – statistische Erhebung vor der Wahl (Politbarometer) weist auf eine eindeutig symmetrische Verteilung der Wählerpräferenzen (= Position der Wähler entlang des Spektrums) hin: Position im Politspektrum Anzahl der diese Position präferierenden Wahlberechtigten Links 1 Mio. Mitte 2 Mio. Rechts 1 Mio. Die Bewertung eines Kandidaten durch den Wähler erfolgt danach, wie weit die Positi‐
onierung des Politikers und die Präferenzen des Wählers auseinanderliegen (Entfer‐
nung entlang des Spektrums). Je geringer dieser Abstand ist, desto größeren Nutzen stiftet der Kandidat dem Wähler. Jeder Wähler maximiert somit seinen Nutzen durch die Wahl desjenigen Kandidaten, der seinen Präferenzen am nächsten steht. In dem Fall, in dem der Abstand des Wäh‐
lers zu beiden Kandidaten identisch ist, entscheidet der Wähler „aus dem Bauch her‐
aus“ (d. h. zufällig, z. B. per Münzwurf), er „wählt“ in diesem Fall also beide Kandidaten mit einer Wahrscheinlichkeit von 50%. a) Stellen Sie dieses Spiel (Spieler, Strategien, Auszahlungen) in strategischer Form (Matrix) dar und lösen Sie es! Ist die Lösung eindeutig? Welches – durchaus auch in der Realität beobachtbare – Problem ergibt sich hieraus im Hinblick auf die stra‐
tegische Positionierung von Parteien im Wahlkampf? b) Die Ausgangssituation wird nun in zwei Punkten abgeändert: (i)
Das Politspektrum – und damit auch die Strategiemenge der Kandidaten – ist nun stetig, d. h. jeder Kandidat kann zusätzlich zu den Randpositionen (links, rechts) jede beliebige Position dazwischen einnehmen. (ii)
Alle Wähler sind über diesem Spektrum gleichmäßig verteilt. Sei der Median der Wähler‐Verteilung. Zeigen Sie, dass die Strategiekombinati‐
on , das eindeutige Nash‐Gleichgewicht des Spiels darstellt (Medianwähler‐
Theorem)! Verdeutlichen Sie Ihr Ergebnis auch graphisch anhand der Reaktions‐
abbildungen! c) Zeigen Sie, dass kein Nash‐Gleichgewicht in reinen Strategien existiert, wenn drei Präsidentschaftskandidaten antreten würden! Übung: Dipl.‐Vw. Florian Bartholomae Übungsblatt 2 2 Angewandte Spieltheorie HT 10 Univ.‐Prof. Dr. Karl Morasch, Volkswirtschaftslehre, insbes. Mikroökonomie und Wettbewerbspolitik * Aufgabe 2.3 (Medianwähler‐Theorem – Klausur DHP SWI 2006) Die beiden Kontrahenten Che Castro und Fidel Guevara möchten sich zum Revoluti‐
onsführer der Republik Coconut Paradise wählen lassen. Sie können dazu zwischen drei politischen Positionen wählen: Konservativ, Liberal oder Sozialistisch. Die Zu‐
stimmung zu den einzelnen Positionen innerhalb der Wähler lautet: Konservativ Liberal Sozialistisch 5 8 5 Jeder Wähler gibt demjenigen Kandidaten seine Stimme, der seiner Position am nächsten kommt, d. h. ein Konservativer würde eher einem liberalen Kandidaten seine Stimme geben als einem sozialistischem. Sind beide Kandidaten gleich weit entfernt, so entscheidet der Wähler per Münzwurf. Es gewinnt der Kandidat, der die meisten Stimmen auf sich vereinigen kann. a) Schreiben Sie zunächst das Spiel (Spieler, Strategien und Auszahlungen) in strate‐
gischer Form (Matrix) auf (die erwartete Anzahl an Stimmen sei hierbei die Aus‐
zahlung)! Che fühlte sich damals dem sozialistischen Lager zugehörig, während Fi‐
del erz‐konservativ war. Wer gewinnt in diesem Fall, wenn sich beide entspre‐
chend ihrer Präferenzen für den Wähler ideologisch eindeutig positionieren? b) Wenn beide unbedingt gewinnen möchten und ideologische Fragen hinten anstel‐
len, wie werden sich beide dann verhalten? Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit a) und erläutern Sie vor diesem Hintergrund das Konzept des „Nash‐Gleichgewichts“! Aufgabe 2.4 (Nash‐Gleichgewicht, gemischte Strategien) Bestimmen Sie alle Nash‐Gleichgewichte in folgendem Spiel und stellen Sie das Ergeb‐
nis graphisch dar (Diagramm mit Reaktionsabbildungen)! ( 0 , 0 ) ( 0 , 50 ) ( 50 , 0 ) ( –10 , –10 ) Übung: Dipl.‐Vw. Florian Bartholomae Übungsblatt 2 3 Angewandte Spieltheorie HT 10 Univ.‐Prof. Dr. Karl Morasch, Volkswirtschaftslehre, insbes. Mikroökonomie und Wettbewerbspolitik *Aufgabe 2.5 (Nash‐Gleichgewicht, gemischte Strategien) Untersuchen Sie das folgende Spiel systematisch auf Nash‐Gleichgewichte und wenden Sie dabei auch das Verfahren zur Bestimmung gemischter Strategien an! ( 1 , 0 ) ( 1 , 2 ) ( 0 , 1 ) ( 0 , 3 ) ( 1 , 1 ) ( 2 , 0 ) *Aufgabe 2.6 (Nash‐GG in stetigen Strategien – Fortsetzung „Insel Monetaria“ 1.6) Gehen Sie jetzt von stetigen Strategien aus. Bestimmen Sie die Reaktionsfunktionen und ermitteln Sie dann graphisch und rechnerisch das Nash‐Gleichgewicht des Simul‐
tanspiels inklusive der dabei erzielten Auszahlungen! *Aufgabe 2.7 (Nash‐GG in reinen und gemischten Strategien – Klausur HT 2006) Die beiden Unternehmen „Fujita“ (Spieler 1) und „Sumsang“ (Spieler 2) möchten einen neuen Bildstandard für TFT‐Bildschirme auf dem Markt durchsetzen. In Frage kommt dabei entweder die von Fujita neu entwickelte Technologie „Bestscreen“ oder die von Sumsang bereits in Feldversuchen erprobte Technologie „Cleartop“. Grundsätzlich gilt dabei, dass Unternehmen eine höhere Auszahlung als Unterneh‐
men hat, wenn sich „seine“ Technologie als Standard durchsetzt. Die konkreten Auszahlungen von Fujita hängen aber auch davon ab, ob das Management vor der Technologiewahl der Unternehmen eine spezifische Investition in Höhe von in die Weiterentwicklung der eigenen Technologie „Bestscreen“ tätigt. Im Erfolgsfall (Tech‐
nologie wird zum Standard) kann Fujita dann eine Auszahlung von 2
erreichen, bei Misserfolg (die Technologie von Sumsang setzt sich durch) müssen die Investitionen abgeschrieben werden und die Auszahlung beträgt 4
. Zur Vereinfachung der wei‐
teren Analyse wird zum einen angenommen, dass die Gewinne von Sumsang durch die Investition nicht direkt beeinflusst werden, und zum anderen werden die Auszahlun‐
gen für den Fall eines „Standardkriegs“ (d. h. der Wahl unterschiedlicher Technologien) Übung: Dipl.‐Vw. Florian Bartholomae Übungsblatt 2 4 Angewandte Spieltheorie HT 10 Univ.‐Prof. Dr. Karl Morasch, Volkswirtschaftslehre, insbes. Mikroökonomie und Wettbewerbspolitik auf Null normiert. Konkret gibt dann die folgende Matrix die Auszahlungen in Abhän‐
gigkeit der Technologiewahl an, wobei für die Strategie „Bestscreen“ und für die Strategie „Cleartop“ des Spielers 1, 2 steht: ( 2
, 1 )
( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) ( 4
, 5 )
Nehmen Sie im Folgenden zum einen positive Investitionen im Intervall 4
0 an und gehen Sie zum anderen davon aus, dass die Technologiewahl der Unternehmen simultan und ohne Absprache erfolgt. a) Ermitteln Sie zunächst alle Nash‐Gleichgewichte in reinen Strategien, indem Sie jeweils die besten Antworten (Reaktionsabbildungen) bestimmen! Handelt es sich bei der vorliegenden Spielsituation um ein Koordinations‐ oder um ein Kooperationsproblem (Begründung!)? Erläutern Sie das Konzept des „Fokus‐
punkts“ und geben Sie an, für welche V sich unmittelbar aus den Auszahlungen ein Fokuspunkt ableiten lässt! Bestimmen Sie schließlich denjenigen Wert von V, für den sich genau die Struktur des „Kampfs der Geschlechter“ ergibt! b) Was versteht man unter einer gemischten Strategie? Wodurch ist ein Nash‐
Gleichgewicht in gemischten Strategien in einem Zwei‐Personen‐Spiel mit zwei reinen Strategien gekennzeichnet? Wie können Sie aus dem Ergebnis in a) unmit‐
telbar ableiten, dass im vorliegenden Spiel ein weiteres Nash‐Gleichgewicht in gemischten Strategien vorliegen muss? Bestimmen Sie nun mit einem geeigneten Verfahren dieses Nash‐Gleichgewicht in gemischten Strategien (Hinweis: Das Er‐
gebnis ist dabei natürlich eine Funktion des Parameters )! Zeichnen Sie die Reak‐
tionsabbildungen für 3 und kennzeichnen Sie die Nash‐Gleichgewichte! Wel‐
ches Nash‐Gleichgewicht ist Ihrer Meinung nach die plausibelste Lösung des Spiels? Hängt Ihre Aussage dabei von ab? Übung: Dipl.‐Vw. Florian Bartholomae Übungsblatt 2 5 Angewandte Spieltheorie HT 10 Univ.‐Prof. Dr. Karl Morasch, Volkswirtschaftslehre, insbes. Mikroökonomie und Wettbewerbspolitik Aufgabe 2.8 (Nash‐Gleichgewicht, gemischte Strategien) Vergleichen Sie die folgenden Matrix‐Spiele hinsichtlich der Auszahlungsstruktur! Be‐
stimmen Sie dann für jede Matrix alle Nash‐Gleichgewichte und verdeutlichen Sie sich anschließend den Zusammenhang zwischen Auszahlungsstruktur und Lösung des Spiels! (i) ( 2 , 2 ) ( 0 , 3 ) ( 3 , 0 ) ( 1 , 1 ) (ii) ( 2 , 2 ) ( 1 , 3 ) ( 3 , 1 ) ( 0 , 0 ) (iii) ( 3 , 3 ) ( 0 , 2 ) ( 2 , 0 ) ( 1 , 1 ) (iv) ( 3 , 1 ) ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) ( 1 , 3 ) (v) ( 1 , 0 ) ( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) ( 1 , 0 ) Übung: Dipl.‐Vw. Florian Bartholomae Übungsblatt 2 6