Prüfungsprotokoll Quantenmechanik I

Prüfungsprotokoll
Quantenmechanik I
Gehört bei: C.Anastasiou, Geprüft bei: Graf
Winter 2013
Da Anastasiou erkrankte, wurden die Prüfungen von verschiedenen Professoren durchgeführt.
Helles Unterrichtszimmer mit Glaswand (HIT E41.1) Nachmittag 10 min Verspätung. Graf
holt mich rein, kurze Begrüssung, drückt mir gleich die Kreide in die Hand, setzt sich und beginnt
mit der ersten Frage..
• Graf: Sie haben in der Vorlesung das Ammonium Molekül gesehen, was hat es damit auf
sich?
• Ich: Das Ammonium-Molekül ist ja folgendermassen aufgebaut: Zeichne das Tetraeder N H3
and die Tafel. Wir haben gesehen, dass sich das Molekül auf zwei Arten um die Symmetrieachse drehen kann. Wenn man eine bestimmte Drehrichtung definiert, so entspricht das
der Rotation des Moleküls, bei dem das N-Atom oben, bzw. unten ist. Diese zwei Zustände
kann man mit |1i und |2i bezeichnen.
• G: Und mit was für einem Tool können wir nun diese Gegebenheit beschreiben?
• I: Wusste erst nicht, auf was er hinaus wollte.. ääh.. mithilfe der Quantenmechanik.?
• G: lächelt.. genau.
• I: Wir haben gesehen, dass h1| H |1i = h2| H |2i = E0 . Das bedeutet, dass der Erwartungswert
des Hamiltonoperators bezüglich beiden states E0 ist. Also hHi1 := h1| H |1i. Und da es
möglich ist, dass der state flippt, ist h1| H |2i und h2| H |1i ungleich 0. In unserem Fall haben
wir gesehen, dass h1| H |2i = h2| H |1i = −A
• G: Inwiefern bedeutet das, dass der state flippen kann?
• I: Das hat damit zu tun, dass ja der Hamiltonoperator mit der Zeittranslation zu tun hat..
habe gerade die Antwort nicht gesehen und überlegte noch ein wenig..
• G: Was ist denn die Wahrschienlichkeit, dass ein state flippt?
• I: Ja, die Wahrscheinlichkeit ist ja gegeben durch |h1|1i|2 .. Äääh.. nein.. |h2|1i|2
• G: Da bin ich mit Ihnen nicht ganz einverstanden. Was für eine Wahrscheinlichkeit haben
wir, wenn wir ein ket im 1 Zustand haben und wir messen den Zustand?
• I: Also wenn keine Zeit vergeht, erhalten wir natürlich mit der Wahrscheinlichkeit von 1
wieder den 1 Zustand.
• G: Und wenn wir die Messung erst sagen wir morgen machen? Wie rechnen wir das aus?
1
2
• I: Ja, natürlich indem wir den Zeit-Translationsoperator an das ket multiplizieren. Welcher
gegeben ist für ein dt als: U (dt) = (1 − iHdt
) wobei H der Hamilton Operator als Generator
~
der Zeittranslation fungiert. Wenn wir viele infinitesimale solche Schritte machen, bekommen
). Und wir können die Zeitentwicklung eines states schrieben als: |a, ti =
wir U (t) = exp( −iHt
~
−iHt
exp( ~ ) |a, 0i. Wenn wir nun die Wahrscheinlichkeit wissen möchten, dass ein state |1i nach
einer gewissen Zeit in den state |2i geflippt ist, so müssen wir das so schreiben: |h2, 0|1, ti|2
..auf das wäre ich bestimmt noch alleine zu sprechen gekommen.. aber ja..
• G: Genau. Und wenn wir nun eine solche Wahrscheinlichkeit ausrechnen wollen? Wie machen
wir das quantitativ?
• I: wusst erst nicht genau, wass er wollte.. Naja, wir können das ja als Matrizen schreiben;
Der Hamilton-Operator wäre ja in der 1, 2 Basis gegeben als
E0 −A
H=
−A E0 |1,2i
Und wir können nun |±i states als Eigenstates des Hamilton Operators definieren, dh.
H |±i = λ± |±i
• G: unterbricht mich Nun ja, das mit den Matrizen ist ja gut und richtig, aber wie bekommen
wir nun einen effektiven Wert?
• I: Ja, wir müssen nun die Basis Wechseln, sodass wir H beziehungsweise U(t) auf das state
) |1, 0i berechnen, und dafür
ket anwenden können. Denn wir wollen ja U (t) |1, 0i = exp( −iHt
~
müssen wir |1.0i in der |±i-Basis schreiben.
• G: Aber die Basiswechslung ist ja offensichtlich. Was hat denn H in der |±i-Basis für eine
Form?
• I: dann wurde mir klar: Diagonalgestalt mit den Eigenwerten λ± auf der Diagonalen.
• G: Und was sind die Eigenvektoren? Ist ja offensichtlich, bei dieser Matrix..
• I: (1,1) und (1,-1)
• G: Und die Eigenwerte?
• I: λ± = E0 ± A
• G: Genau. Nun müssen wir aber noch zu einem anderen Thema kommen. Was können Sie
mir über Schrödingers Wellengleichung sagen?
∂
ψ(x, t) = Hψ(x, t) ..wusste noch nicht, auf
• I: ähm.. ja, ich kann sie ja mal aufschrieben: i~ ∂t
was er hinaus wollte..
• G: Das ist aber noch nicht die Gleichung, die Sie gesehen haben.
• I: Ah, ja, wenn man von der Wellengleichung spricht, so meint man damit diese Gleichung
mit dem Hamiltonian für ein Teilchen im Potential, also:
∂
~2 2
i~ ψ(x, t) = −
∇ + V (x) ψ(x, t)
∂t
2m
• G: Und was sagt nun diese Gleichung aus? Was ist die physikalische Interpretation?
3
• I: ..kurz nachgedacht.. Nun ja, es handelt sich dabei ja um die Zeitentwicklung der Wellenfunktion, also darum, wie sich eine Wellenfunktion entwickeln wird. Jedoch geht es hier
darum, Wahrscheinlichkeiten vorauszusagen, anders als bei der klassischen Mechanik. Es lassen sich also nur Wahrscheinlichkeiten in der Quantenmechanik angeben, für das eintreffen
eines Events.
• G: strahlend.. Genau das wollte ich hören. Und was bedeutet nun ψ(x, t)?
• I: Das ist die Wellenfunktion. Es ist die Ortsdarstellung eines states, also ψ(x, t) := hx|ψi
Man könnte den state auch im Impulsraum darstellen. → Fouriertransformation
• G: Inwiefern hängt dann ψ mit der Wahrscheinlichkeit zusammen?
• I: Die Wahrscheinlichkeit ist gegeben durch P = |ψ(x, t)|2 dx. Als dies wäre die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen in einem Volumen dx befindet.
• G: Was wäre dann |ψ(x, t)|2 ?
• I: Das kann als eine Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden. Also ρ = |ψ(x, t)|2
• G: Zu diesem ρ gibt es noch ein Grösse, welche wäre das?
• I: Ja, das wäre das J, weche eine Art Fluss der Wahrscheinlichkeit entspricht.
• G: Können Sie mir diese aufschrieben?
• I: .. nein, auswendig kann ich dies nicht. Ich könnte sie jedoch herleiten..
• G: strahlt.. Na, dann bitte..
• I: Wir können die Wellengleichung komplex konjugieren und erhalten
~2 2
∂ ∗
∇ + V (x) ψ ∗ (x, t)
−i~ ψ (x, t) = −
∂t
2m
und dann mit ψ von links heran multiplizieren. Als zweiter Schritt können wir die ursprüngliche Wellengleichung auch mit ψ ∗ von links heran multiplizieren. Somit erhalten wir
zwei Gleichungen, die wir Addieren können.
• G: unterbricht kurz.. sind Sie sicher, addieren?
• I: .. äh.. nein, .. ja. ich meinte wenn wir die erste Gleichung mit (-1) multiplizieren, sodass
links das minus verschwindet.. dann addieren.. Somit erhalten wir
~2
i~(ψ∂t ψ ∗ + ψ ∗ ∂t ψ) =
ψ∇2 ψ ∗ − ψ ∗ ∇2 ψ
2m
und das V(x) verschwindet, da es ein unterschiedliches Vorzeichen hat.
• G: etwas verwirrt: warum haben wir da ein “-” in der rechten Klammer?
• I: Weil wir in der zweiten Gleichung immer noch ein “-” vor dem kinetischen Term steht..
• G: Ah ja genau..
• I: Auf jeden fall können wir nun noch durch i~ teilen und erhalten:
(ψ∂t ψ ∗ + ψ ∗ ∂t ψ) =
~
ψ∇2 ψ ∗ − ψ ∗ ∇2 ψ
2mi
Die rechte Klammer können wir jetzt schrieben als Gradient mal (ψ∇ψ ∗ − ψ ∗ ∇ψ) und der
∂
∂
linke Teil als ∂t
(ψψ ∗ ) oder ∂t
ρ
4
• G: Sie haben gesagt, das sei der Gradient, dieser Klammer, was ist das für ein Feld? (ψ∇ψ ∗ −
ψ ∗ ∇ψ)
• I: phu.. Ich weiss jetzt nicht recht, was das für ein Name hat, jedoch weiss ich, dass wir in
Elektrodynamik so ein Feld gesehen haben. Als es um die Greens Funktion ging.
• G: Nein, ich meine, Sie haben gesagt es sei der Gradient dieses Feldes. Ist das ein Skalarfeld
oder ein Vektorfeld?
• I: ah.. Ja das ist natürlich ein Vektorfeld..
• G: Und der Gradient wirkt auf ?
• I: Auf ein Skalarfeld natürlich.. dies wäre dann natürlich nicht der Gradient, sondern die
Divergenz.. .. naja.. fand ich jetzt nicht so nennenswert, dass ich dies falsch gesagt habe..
wir wussten ja beide, was gemeint war..
Auf jedenfall können wir nun schreiben:
~
∂
ρ(x, t) = −∇
(−ψ∇ψ ∗ + ψ ∗ ∇ψ)
∂t
2mi
|
{z
}
=:J
Und Somit haben wir auch gleich die Kontinuitätsgleichung für die Wahrscheinlichkeit:
∂
ρ + ∇J = 0
∂t
• G: Sehr schön. Weil das nun so gut gelaufen ist, möchte ich Ihnen eine etwas schwierigere
Aufgabe stellen, falls das Ihnen recht ist.
• I: ääh.. ok..
• G: Was können Sie mit über die Semiklassische Aproximation erzählen?
• I: Phu.. Da habe ich doch recht mühe gehabt, als ich das versucht habe zu verstehen..
• G: Wir können natürlich auch das Thema wechseln, das ist kein Problem.
• I: Da geht es doch darum, dass wir ρ = 0 annehmen, oder?
• G: schaut ein wenig fraglich.. Nicht wirklich..
• I: oder nein, dass ∂t ρ null ist und somit die Kontinuitätsgleichung ∇J = 0 ist.. somit wäre
J vom Ort unabhängig.. ?
• G: Ich versuche gerade zu interpretieren, was Sie meinen.. Wir können die Wellenfunktion
√
ja schreiben als: ψ = ρ exp(iS(x)/~)
• I: ah, ja genau, und S(x)/m kann glaube ich interpretiert werden als die Geschwindigkeit,
und man kann J dann durch ρ und die Geschwindigkeit schreiben..
• G: lächelt genau! sehr schön.. Nun, die Zeit ist zwar bereits um, jedoch möchte ich Ihnen
doch noch eine Frage stellen: Können wir die Wellengleichung auch schreiben, wenn wir zum
Beispiel ein Magnetfeld haben?
5
• I: .. hmm. ja, wir haben in der Vorlesung den Hamilton Operator für ein Teilchen im
elektromagnetischen Feld gesehen.. das heisst wir können diesen verwenden. Der wäre ausgeschrieben:
~ 2
(~p − q A)
+ qΦ
H=
2m
i
Wenn wir nun dx
mit Hilfe der Heisenberg’schen equation of motion berechnen, dann bedt
kommen wir
dxi
1
pi − qAi
= [xi , H] = ... =
dt
i~
m
~ als Impuls interpretiert werden.
Somit kann Π := p~ − q A
• G: Sehr schön. Was ist dann p~ für ein Impuls?
• I: äh. der ka..
• G: ja?
• I: der kanonische Impuls
• G: genau. und Π?
• I: ...
• G: Das wäre dann der kinematische Impuls. Nun, jetzt sind wir wirklich am Ende. Vielen
Dank
Tipp: Wichtig ist es das Skript gut zu verstehen und die Anfänge der Kapitel sicher gut zu
können..
Note: 5.5