Das Unendliche in der Mathematik

Prof. Dr. Günter Brackly
FB I/MST
FH Kaiserslautern
Das Unendliche in der Mathematik
Überlegungen über unendliche viele, unendlich große oder unendlich kleine Dinge haben
die Mathematiker beschäftigt, seit es Menschen gibt, die über Phänomene der sie umgebenden
Welt nachdenken. Überliefert sind zum Beispiel Dokumente von Griechen wie Anaximander,
Zenon, Demokrit, Eudoxus, Aristoteles, Archimedes,...) ab etwa 600 v. Chr., die bei der
Beschäftigung mit Raum und Zeit zu verschiedenen Erkenntnissen über die Existenz von
unendlich vielen Dingen (z.B. die Sandzahl des Archimedes) oder unendlich kleinen Dingen
(Demokrit und die Atome (unteilbare kleinste Dinge)) gelangten.
I) Das Unendlich Große
Die meisten dieser Überlegungen entstanden im Zusammenhang mit dem Zählen oder dem
Messen von gegebenen zunächst realen Objekten: das Zählen der Schafe einer Herde, der
Gefangenen in einem Krieg, oder auch der Anzahl der Körner des Sandes an einem Strand;
das Messen der Länge einer Strecke, einer Entfernung, eines Winkels, etc. ...
Dokumente über das Zählen von Dingen oder Lebewesen gibt es schon aus Zeiten lange vor
den Griechen (Sumerer, und andere). Und bis ins 19. Jahrhundert hinein wurde darüber
gestritten, ob den (natürlichen) Zahlen, mit denen man die Anzahl von Dingen beschreibt,
keine eigene Existenz zukommt (sondern dass diese Anzahl den gezählten Dingen anhaftet
(eine Herde mit 300 Tieren, etc. ...)), oder ob diese Zahlen eine eigene Existenz besitzen
unabhängig von den Dingen, deren Anzahl sie beschreiben!
Das Zählen wurde bereits von den Griechen als Prozess abstrahiert, indem ausgehend von
einer vorgegebenen Einheit (der Eins) durch immer neue Hinzunahme dieser Einheit die
Zahlen entstehen ( 1+1, 1+1+1, 1+1+1+1, ...). Abstrakt formuliert findet man diesen Prozess
zum Beispiel im Buch VII des Euklid.
Für uns ist hier interessant, dass dieser Prozess des Zählens immer weiter geführt werden
kann „bis ins Unendliche“. Das heißt, egal, welche große Zahl ich mir auch vorstelle, durch
Addition der Eins erhalte ich eine größere Zahl, die ich wieder vergrößern kann, usw. ... Es
existiert also im Bereich der so genannten natürlichen Zahlen keine größte Zahl. Und es
kann nicht nur endlich viele natürliche Zahlen geben: dann würde der Prozess des Addierens
einer Eins nach endlich vielen Schritten aufhören, und dann ist die erreichte Zahl natürlich
auch die Größte dieser Zahlen, die es aber nicht gibt. Durch den beliebig oft ausführbaren
Prozess des Zählens natürlicher Zahlen wird das „ potenziell Unendliche“ beschrieben: es
wird nicht die Existenz einer unendlich großen Größe gefordert, sondern nur, dass man den
Prozess beliebig weiterführen kann.
Oder?
Was ist mit dieser Behauptung: wenn es zehn Zahlen gibt, dann existiert die Zahl 10, wenn es
eine Million Zahlen gibt, dann existiert die Zahl 1000000, wenn es unendlich viele Zahlen
gibt, dann existiert die Zahl unendlichviel ????? Aber was ist dann unendlichviel + 1 ?
Diese Widersprüchlichkeit in den beiden Auffassungen und das Paradoxe, das in der zweiten
Auffassung steckt, kann so ohne weiteres nicht aufgelöst werden. Zur Auflösung braucht es
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eine Sprache, in der die Dinge exakt formuliert werden können! Diese Präzisierung hat einen
langen Weg hinter sich und resultierte in der axiomatischen Mengenlehre von
Zermelo/Fraenkel/Skolem zu Beginne des letzten Jahrhunderts und theoretischen
Ergebnissen von Gödel, Cohen in der Mitte des letzten Jahrhunderts.
In der modernen Mathematik, die, nebenbei bemerkt, den Zahlen eine eigenständige Existenz
zubilligt, sagen wir heute, die Menge der natürlichen Zahlen ist eine unendliche Menge,
oder die Kardinalität dieser Menge ist unendlich. Damit ist die oben angedeutete
Widersprüchlichkeit zwischen dem potenziell Unendlichen durch den beliebig oft
ausführbaren Prozess des Zählens und eventuell existierenden unendlich großen natürlichen
Zahlen dahin gehend aufgelöst, dass die natürlichen Zahlen einerseits weiterhin durch den
nicht aufhörenden Prozess generiert werden, andererseits die Vielheit der natürlichen Zahlen
zusammengefasst wird zu einem Objekt (einer Menge) mit gewissen außergewöhnlichen
Eigenschaften.
Wir haben also das Problem verlagert auf die Existenz von unendlichen Mengen, die der
Anschauung schon nach kurzer Beschäftigung mit ihnen zuwider laufen, die aber im
theoretischen Konzept der axiomatischen Mengenlehre exakt beschreibbar und auch
handhabbar sind!
Wie sehr diese Mengen sich der gewohnten Anschauung entziehen, sei am Beispiel von
Hilberts Hotel beschrieben (David Hilbert (1862 -1943) war ein berühmter Mathematiker):
Stellen Sie sich ein Hotel mit unendlich vielen Zimmern vor, das voll
belegt ist. Ein neuer Gast kommt an und bekommt ohne Probleme sein
eigenes Zimmer! Wie:
ganz einfach: alle bisherigen Gäste ziehen ein Zimmer weiter: Gast aus
Zimmer 1 ins Zimmer 2, Gast aus Zimmer 2 ins Zimmer 3, usw., ... .
Das funktioniert, da es ja kein Zimmer mit einer größten Nummer
gibt! Und so bekommt der neue Gast sein Zimmer mit der Nummer 1.
Auch jeder Bus mit endlich vielen neuen Gästen kann im Hotel auf
diese Weise unterkommen, sogar ein Bus mit unendlich vielen neuen
Gästen!
Die natürlichen Zahlen wurden also gezähmt durch die Mengenlehre und bilden das
Fundament der Arithmetik, der Analysis und der Algebra. Sie werden axiomatisch eingeführt
und beschrieben, was wir auch in der Vorlesung im ersten Semester machen werden.
Damit ist das erste Auftauchen einer Unendlichkeit in der Mathematik im Sinne der
Widerspruchsfreiheit und Handhabbarkeit gelöst.
Was bedeutet aber „unendliche Menge“? Als Ausblick auf das, im nächsten Semester alles
auf Sie zukommt, eine formale Definition: der Begriff einer unendlichen Menge wurde von
Richard Dedekind (1831 - 1916) wie folgt definiert:
Eine Menge M heißt unendlich, falls es eine bijektive Abbildung
f : M → N auf eine echte Teilmenge N von M gibt.
Was eine bijektive Abbildung oder überhaupt eine Abbildung ist, auch dies wird in der
Mengenlehre formalisiert (und werden wir im ersten Semester nachvollziehen!). Die
Mengenlehre ist damit heute zum einen eine Sprache, in der mathematische Überlegungen
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formuliert werden können, sie ist aber auch eine mathematische Theorie, die die Grundlage
für den Aufbau der modernen Mathematik bildet!
In diesem Sinne ist die Mengenlehre für die moderne Mathematik immens wichtig, weshalb
man auch als Student, der sich mit mathematischen Überlegungen zum Beispiel in der
Informatik auseinandersetzen muss, nicht um sie herum kommt!
Mit diesen Überlegungen haben wir also dieses erste Auftreten einer Unendlichkeit in der
Mathematik innerhalb der Mathematik zufrieden stellend gelöst und handhabbar gemacht!
II) Das Unendlich Kleine
Im Laufe der Geschichte sind, mehr oder weniger widerwillig (bzgl. der negativen,
irrationalen oder komplexen Zahlen), neue Zahlen oder Zahlbereiche hinzugekommen:
- die ganzen Zahlen, in denen die Addition umgekehrt werden kann;
- die rationalen Zahlen, in denen auch die Multiplikation umgekehrt werden kann;
- die reellen Zahlen, in denen es keine Probleme des Messens mehr gibt;
- die komplexen Zahlen, in denen alle algebraischen Gleichungen gelöst werden können.
Diese Zahlbereiche bauen auf dem der natürlichen Zahlen auf und können aus ihnen
konstruiert werden (was wir auch im ersten Semester tun werden). Damit ist schon intuitiv
klar, dass auch diese neuen Zahlbereiche unendliche Mengen im obigen Sinne sind.
Allerdings gibt es im Bereich der reellen Zahlen weitere Probleme im Zusammenhang mit
Unendlichkeit!
Wozu braucht man reelle Zahlen? Warum reichen die rationalen Zahlen nicht aus? Bereits
griechische Mathematiker (Pythagoras) hatten herausgefunden, dass es „Zahlen“ gibt, die sich
nicht als Quotient von zwei natürlichen Zahlen schreiben lassen (so genannte
inkommensurable Größen): beispielsweise hat die Diagonale eines Quadrats der Seitenlänge 1
die Länge 2 , was eine solche inkommensurable Größe ist, die sich nicht als rationale Zahl
darstellen lässt!
Betrachten wir zur Veranschauung eine (geometrische) Gerade G. Auf dieser Geraden liegen
unserer Anschauung nach die Punkte beliebig dicht beieinander, es gibt keine Lücken! Wir
wollen diese Gerade als Zahlenstrahl interpretieren. Dazu fixieren wir einen Punkt 0 auf
dieser Geraden und tragen die Längen von beliebigen Strecken ab, die rationalen Zahlen
entsprechen. Die rationalen Zahlen haben die Eigenschaft, dass zwischen je zwei rationalen
Zahlen immer weitere beliebig viele rationale Zahlen liegen: zwischen 14 und 12 liegen zum
Beispiel die rationalen Zahlen 83 , 165 , 167 , 329 , ... usw.
Also wird durch diese Streckenabtragung die Gerade G komplett mit ihren Punkten ausgefüllt,
oder?
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Konstruieren wir über der Geraden G ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit Schenkellänge
1, so dass A mit dem Punkt 0 zusammenfällt und die Hypotenuse AB von ABC auf G liegt:
C
1
1
G
0=A
B
Dann hat die Strecke AB die Länge 2 , d.h. eine „Zahl“, die nicht zu den rationalen Zahlen
gehört! Die geometrische Konstruktion verlangt natürlich, dass der Punkt B des Dreiecks ein
Punkt der Geraden G ist! Tragen wir allerdings wie oben die Strecke AB auf G als
Zahlengerade der rationalen Zahlen ab, fallen wir an der Stelle B in eine Lücke, da 2 eben
keine rationale Zahl ist!
Um aus der beliebigen geometrischen Geraden eine Zahlengrade zu machen, deren Punkte
den Punkten auf G entsprechen, fehlen also die Strecken, die solchen Größen wie zum
Beispiel 2, 3, n , entsprechen, wo n eine natürliche Zahl ist, die keine Quadratzahl ist.
Erst durch Hinzunahme solcher so genannten irrationalen Zahlen wird die Gerade G,
interpretiert als Zahlengerade, lückenlos! Den Zahlbereich, der entsteht, wenn wir die
rationalen Zahlen und die irrationalen Zahlen zusammenfassen, nennen wir den
Zahlbereich der reellen Zahlen.
Später hat man dann gesehen, dass es gewaltig viel mehr irrationale als rationale Zahlen gibt,
was dazu führt, dass die Menge der reellen Zahlen gegenüber der Menge der rationalen
Zahlen eine Unendlichkeit neuer Qualität besitzt! Dazu später mehr.
Schauen wir uns zunächst an, was wir bekommen haben: die reellen Zahlen bilden ein
Kontinuum, das keine Lücken aufweist, sie sind vollständig! Die Konstruktion dieses
Kontinuums aus den rationalen Zahlen hat der Mathematiker Dedekind zum Ende des 19.
Jahrhunderts mit Hilfe der nach ihm benannten Dedekindschen Schnitte vollbracht, und damit
zugleich gezeigt, dass das Kontinuum in diesem Sinne keiner Erweiterung fähig ist, d.h. alle
Lücken sind geschlossen!
Dieses Kontinuum hat es aber auch wieder in sich:
da es keine Lücken mehr gibt, kann ich mich also einer gegebenen reellen Zahl r (etwa wieder
dargestellt als Punkt auf der Zahlengeraden) beliebig dicht nähern.
Das bedeutet, dass diese Zahl r nur durch einen unendlichen Prozess immer größerer
Genauigkeit erreicht werden kann: von der Zahl 4,9 komme ich zur Zahl 5 nur in unendlich
vielen Genauigkeitsschritten: 4,99 4,999 4,9999 4,99999 ... 4,99999999999999999 usw. Und
alle Zahlen auf diesem Wege von 4,9 zur 5 sind reelle Zahlen. Sprachlich anders ausgedrückt
(wie es vielleicht aus der Schule bekannt ist):
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jede reelle Zahl r lässt sich darstellen als „unendlicher Dezimalbruch“:
r = z, a0a1a2a3a4a5......., mit z einer ganzen Zahl und ai eine Ziffer zwischen 0 und 9.
Die Menge der reellen Zahlen (anschaulich dargestellt als Zahlengerade) ist also nicht nur
nach rechts und links in dem Sinne unendlich, dass man in ihr nirgendwo an ein Ende kommt
(es gibt keine kleinste ( − ∞ ) oder größte ( + ∞ ) reelle Zahl), sie ist auch an jeder Stelle nach
innen hinein unendlich, da man sich jedem Punkt beliebig genau nähern kann. Auch diese
nach innen gerichtete Unendlichkeit ist eine „potenzielle Unendlichkeit“, eine
Unendlichkeit, beschrieben durch einen (Annäherungs-) Prozess.
Die nach innen gerichtete potenzielle Unendlichkeit ist die Ursache für die Unmöglichkeit,
sich die reellen Zahlen als an jeder Stelle gegebenen fertigen Raum der Realität vorzustellen.
Diese Unmöglichkeit wird am Besten durch das Paradoxon von Zenon (ca. 450 v. Chr.)
beschrieben:
Der berühmte Held Achill macht einen Wettlauf mit einer Schildkröte
und gibt ihr einen Vorsprung. Nehmen wir zur Vereinfachung des
Folgenden an, dass Achill doppelt so schnell laufen kann (die gleichen
Aussagen erhält man auch, wenn Achill 10 Mal oder 100 Mal schneller
ist als die Schildkröte, lediglich die Darstellung wird komplizierter!).
Beide starten von ihren Positionen, Achill von Position 0, die
Schildkröte von Position 1 (dem Vorsprung). Das Ziel liegt beim
Punkt 3. Hat Achill die Position 1 erreicht, ist die Schildkröte bei
Position 1+ 12 , da sie ja nur halb so schnell ist wie Achill; hat Achill
die Position 1+ 12 erreicht, ist die Schildkröte bei Position 1 + 12 + 14 ; hat
Achill diese Position erreicht, ist die Schildkröte bei Position
1 + 12 + 14 + 81 ; usw. ... .
Definiert man den Stand des Wettlaufs, bei dem Achill die Position 1
erreicht, die Schildkröte die Position 1 + 12 , als Phase 1 des Wettlaufs,
so ist der Stand des Wettlaufs in Phase n: Achill ist bei Position
1 1 1
1
1 + + 2 + 3 + ... + n , die Schildkröte bei Position
2 2 2
2
1 1 1
1
1
1 + + 2 + 3 + ... + n + n+1 .
2 2 2
2 2
Nach diesem Vorgehen kann Achill die Schildkröte nicht in endlich
vielen Phasen einholen!
????????????????????????????????????????????????????????????????
Andererseits ist natürlich klar, dass Achill die Schildkröte schnell
eingeholt und den Wettlauf gewonnen hat!!
Bevor Sie weiter lesen, versuchen Sie erst einmal selbst, eine eigene Erklärung für diese
Widersprüchlichkeit zu geben!
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Meine Erklärung ist wie folgt:
Hat man die Vorstellung, dass die real existierende endliche Strecke von 0 bis 3 in
1
1 1
unendlich viele real existierende Teilstrecken jeweils der Länge 1, 1+ , 1 + + 2 ,
2
2 2
1 1 1
1 1 1 1
1 + + 2 + 3 , 1 + + 2 + 3 + 4 , ...usw. zerlegt ist, so muss man auch akzeptieren, dass
2 2 2
2 2 2 2
Achill diese unendlich vielen jeweils endlich großen Strecken in endlicher Zeit durchlaufen
kann, was den Widerspruch erzeugt.
Ein gleichwertiges Beispiel wäre dann die Existenz einer Maschine, die eine unendliche
Folge verschiedener Entscheidungen in endlicher Zeit zum Abschluss bringt: das erste
1
1
Resultat nach Minute, das zweite nach einer weiteren Minute, das dritte nach einer
2
4
1
weiteren Minute, usw. ...
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Letztlich wird also das Zenonsche Paradoxon dadurch erzeugt, dass man ein mathematisches
Objekt (die Zerlegung einer Strecke in unendlich viele Teilstrecken) in die Wirklichkeit
überträgt, dort natürlich eine solche Unendlichkeit nicht vorfindet, diese aber postuliert und
dadurch in den Widerspruch läuft!
Anmerkung:
1 1 1
1
+ 2 + 3 + ... + n + ... überhaupt einen endlichen
2 2 2
2
Wert annimmt, kann bewiesen werden (und werden wir auch in der Analysis Vorlesung im zweiten Semester im Zusammenhang mit der Konvergenz
Geometrischer Reihen beweisen), das ist nicht die Ursache des Problems!!
Dass die (unendliche) Summation
Noch einmal: die Schwierigkeit bzw. das Paradoxon entsteht durch die Existenzannahme der
unendlich vielen Teilstrecken jeweils endlicher Länge in der Realität, in die die gegebene
endliche Strecke zerlegt ist. Eine real existierende Zerlegung in endlich viele Teilstrecken ist
kein Problem!
Um auch in der Mathematik damit klar zu kommen, muss man sich die Zerlegung einer
endlichen Strecke in unendliche Teilstrecken wieder als Prozess denken, und darf nicht von
einer fertigen Zerlegung mit unendlich vielen Teilen ausgehen! In diesem Sinne produziert
das lückenlose Kontinuum der reellen Zahlen eine potenzielle Unendlichkeit, die an jeder
Stelle, d.h. an jeder Zahl, nach innen, quasi in die Tiefe, gerichtet ist.
Die Eigenschaft des nach innen gerichteten potenziell Unendlichen der reellen Zahlen wird in
der Mathematik durch das Konzept des Grenzwertprozesses ausgenutzt! Beispiele solcher
Grenzwertbetrachtungen sind die (hoffentlich) aus der Schule bekannten Grenzwerte reeller
Zahlenfolgen, Stetigkeitsuntersuchungen reeller Funktionen oder die Ableitung einer reellen
Funktion an einer Stelle x0 . Letzteres zur Erinnerung: Geometrisch interpretiert ist die
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Ableitung der Funktion f an der Stelle x0 die Steigung der Tangente t als Grenzlage der
Sekante s an den Graphen von f im Punkt (x0, f(x0)):
y
1,8
s
1,4
P
1,0
0,6
0,2
-1,8
-1,4
-1,0
-0,6
Q
0,2
-0,2
-0,2
x
1,8
1,4
1,0
0,6
-0,6
-1,0
-1,4
-1,8
Läuft der Schnittpunkt Q entlang des Graphen von f nach P, wird aus der Sekante s die
Tangente t an den Graphen im Punkt P:
y
1,8
t
1,4
1,0
P
0,6
0,2
x
-1,8
-1,4
-1,0
-0,6
-0,2
0,2
0,6
1,0
1,4
1,8
-0,2
-0,6
-1,0
-1,4
-1,8
f '( x0 ) = lim
x → x0
f ( x) − f ( x0 )
x − x0
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Das Kontinuum der reellen Zahlen ist auch nicht aus kleinen Einheiten (die dann allerdings unendlich klein sein müssten) zusammengesetzt (wie es noch bei den natürlichen
Zahlen mit der (endlichen) Einheit Eins war)! Das würde den Grenzprozess überflüssig
machen. Etwa in der Vorstellung von Galilei:
....“Wie ich eine Gerade zu einem Achteck oder Tausendeck knicken
kann, so kann ich sie auch in ein Polygon von unendlich vielen,
unendlich kleinen Seiten verwandeln, indem ich sie auf einen Kreis
wickle“....Dann ist zum Beispiel die Tangente an den Kreis die
Verbindungsgerade zweier konsekutiver Punkte des Kreises, die die
Richtung eines einzelnen Linienelements angibt.
Hat man die reellen Zahlen durch Konstrukte aus der Mengenlehre (Äquivalenzrelationen)
über die rationalen Zahlen und die ganzen Zahlen auf die natürlichen Zahlen begründet, kann
man die so genannte Archimedische Eigenschaft dieses Zahlbereichs beweisen:
Sind a und b zwei reelle Zahlen mit a < b, so gibt es immer eine natürliche Zahl n, so
dass n ⋅ a > b ist.
Geometrisch gedeutet: sind a und b zwei Strecken mit a < b, so existiert eine
natürliche Zahl n derart, dass das n-fache Aneinanderfügen von a an sich selbst über b
hinauswächst.
Damit kann es keine unendlich kleine reelle Zahl a geben, denn das endliche
Aneinanderfügen einer solchen Zahl zu sich kann keinen endlich großen Wert ergeben. Diese
Archimedische Eigenschaft sichert auch, dass es keine unendlich große reelle Zahl b geben
kann.
Führt man die reellen Zahlen axiomatisch mittels Körperaxiomen und Axiomen der
Anordnung ein, so muss man zusätzlich die Archimedische Eigenschaft und die
Vollständigkeit jeweils als Axiom formulieren!
III) Und noch einmal das unendlich Große
Für diejenigen, die die Lust noch nicht verloren haben oder ihrem Gehirn noch ein paar
Fitness-Einheiten zumuten können, kommen wir noch einmal auf die Betrachtung der
Zahlbereiche als unendliche Mengen zurück. Die folgenden Überlegungen setzen allerdings
auch voraus, dass der Leser mit einigen elementaren Begriffen aus der Analysis vertraut ist!
Wir hatten gesehen, dass die Menge der natürlichen Zahlen eine potenzielle Unendlichkeit
besitzt in dem Sinne, dass der Zählprozess immer weiter fortgeführt werden kann.
Gleichzeitig ist es eine unendliche Menge im obigen Sinne der Dedekindschen Definition, ist
also eine real existierende Unendlichkeit, ist aktual unendlich. Auch die anderen
Zahlbereiche besitzen diese Eigenschaft, unendliche Mengen zu sein!
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Überraschenderweise kann man aber zeigen, dass diese Zahlbereiche sich bzgl. ihrer
Unendlichkeit verschieden und wieder gegen die Anschauung darstellen. Dazu muss man
wieder einen Begriff aus der Mengenlehre hinzunehmen, den Begriff der Mächtigkeit einer
Menge. Ist die Menge M endlich, so ist die Mächtigkeit von M, bezeichnet mit |M|, einfach
die Anzahl ihrer Elemente: ist z.B. M = { a, b, c}, so ist |M| = 3. Bzgl. unendlichen Mengen
machen wir zur Mächtigkeit zunächst nur folgende Aussagen:
Sind M und N zwei unendliche Mengen, so wird definiert:
i) |M| = |N| , falls es eine bijektive Abbildung f : M → N gibt;
(es gibt eine umkehrbar eindeutige Zuordnung von Elementen von M zu Elementen
von N)
ii) |M| ≤ |N||, falls es eine injektive Abbildung f : M → N gibt.
(es gibt eine eindeutige Zuordnung von Elementen von M zu Elementen von N, aber
es müssen nicht alle Elemente von N erfasst sein)
Zur Verkürzung der Schreibweise bekommen die verschiedenen Zahlbereiche eigene
Symbole:
` bezeichnet die Menge der natürlichen Zahlen;
] bezeichnet die Menge der ganzen Zahlen;
_ bezeichnet die Menge der rationalen Zahlen;
\ bezeichnet die Menge der reellen Zahlen.
Mit diesem Rüstzeug kann man nun folgendes zeigen:
A) Die Zahlbereiche ` , ] und _ sind gleichmächtig: | ` | = | ] | = | _ |
B) Der Zahlbereich der reellen Zahlen ist mächtiger als der der natürlichen
Zahlen: | ` | < | \ |
Salopp gesprochen bedeuten diese Ergebnisse also: Die unendlichen Mengen ` , ] und _
enthalten gleich viele Elemente, während die Menge \ signifikant mehr Elemente
enthält!
Am Beispiel von ` und ] :
Die ganzen Zahlen sind ja die natürlichen Zahlen, erweitert um die „natürlichen Zahlen mit
negativem Vorzeichen“. Erweitert man also die unendliche Menge der natürlichen Zahlen um
eine „gleiche unendliche Anzahl“ von Elementen, ändert sich nichts an der Mächtigkeit der
erhaltenen Menge im Vergleich mit ` .
Das hatten wir bereits an Hilberts Hotel gesehen: es kann auch ein Bus mit genau so vielen
neuen Gästen kommen, wie es belegte Zimmer in diesem voll belegten Hotel gibt, wenn alle
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bereits dort wohnenden Gäste um jeweils | ` | Zimmer umziehen, können alle neuen Gäste
untergebracht werden.
Erst beim Übergang zu den reellen Zahlen, also durch die Hinzunahme der irrationalen
Zahlen, kommt eine neue Qualität hinzu, die resultierende unendliche Menge ist signifikant
größer!
Um noch einmal auf das Beispiel der Zahlengerade zu kommen:
Erst die reelle Zahlengerade hat keine Lücken und entspricht der geometrischen Geraden mit
ihren beliebig dicht vorkommenden Punkten, die rationale Zahlengerade besteht aus dieser
Sicht eigentlich nur aus Löchern!
Da die natürlichen Zahlen aus dem Zählen entstanden sind, und jetzt, wie wir gesehen haben,
eine Klasse von unendlichen Mengen repräsentiert, nennt man alle unendlichen Mengen, die
die gleiche Mächtigkeit haben wie die Menge der natürlichen Zahlen, abzählbar unendlich.
Konsequenterweise heißt dann die unendliche Menge der reellen Zahlen (und alle Mengen
mit der gleichen Mächtigkeit wie diese) überabzählbar unendlich.
Wer noch Lust hat:
Es geht noch weiter. Betrachtet man die Menge F der Funktionen von \ nach \ :
F = { f | f : \ → \ }, so kann man zeigen:
|\ | < | F |
Und auch hier hört es noch nicht auf, aber wir lassen es dabei.
IV) Als Fazit können wir festhalten:
•
Die Beschäftigung mit den Zahlen innerhalb der Mathematik und losgelöst von
realen Bezügen führt notwendig zur Betrachtung von Mengen, die nicht mehr nur
endlich viele Elemente enthalten können, in diesem Sinne unendlich sind.
•
Diese Unendlichkeit hat zwei Facetten: zum einen ist sie potenziell, d.h. sie entsteht
durch einen Prozess (zum Beispiel den des Zählens), zum anderen ist sie aktual, d.h.
sie existiert als etwas komplett Gegebenes (eben als unendliche Menge).
•
Die Unendlichkeit als unendlich Großes ist gestuft, es gibt Unendlichkeiten
verschiedener Mächtigkeit.
•
Die Unendlichkeit als unendlich Kleines existiert nur als Prozess. In der Mathematik,
die wir betreiben, gibt es kein aktual unendlich Kleines.
10