Übung 08: Metalle, Potentiale - ETHZ / Photonics

Elektromagnetische Felder & Wellen
Frühjahrssemester 2017
Photonics Laboratory, ETH Zürich
www.photonics.ethz.ch
Übung 8
Abgabe: 02.05. bzw. 05.05.2017
Elektromagnetische Eigenschaften von Metallen,
Potentiale
1
Feld einer bewegten Ladung (50 Pkt.)
Die elektromagnetischen Potentiale erlauben die Berechnung der elektromagnetischen Felder in
relativ komplexen Problemen. In der Vorlesung haben Sie über die Potentiale die Felder eines
zeitharmonischen Dipols hergeleitet. In dieser Aufgabe betrachten wir ein Problem, das kein
harmonisches Zeitverhalten aufweist. Wir suchen das Feld einer Ladung q, die sich mit konstanter
Geschwindigkeit v = vnz in die positive z-Richtung bewege. Die Ladungsdichte lautet somit
ρ(r, t) = q δ(x)δ(y)δ(z − vt).
(1)
(a) (3 Pkt.) Formulieren Sie die Stromdichte j(r, t).
(b) (6 Pkt.) Verwenden Sie die Lorenzeichung um zu zeigen, dass für die elektromagnetischen
Potentiale gelten muss
φ = φ(x, y, z − vt),
(2)
A = A(x, y, z − vt)nz .
(c) (6 Pkt.) Zeigen Sie, dass mit den Koordinaten r0 = [x, y, z 0 = γ(z−vt)]T , mit γ 2 = 1/[1−(v/c)2 ],
und dem entsprechenden Laplace Operator ∇0 = ∂x2 + ∂y2 + ∂z02 für das skalare Potential ϕ die
Poissongleichung gilt
γq
∇02 ϕ = − δ(r0 ).
(3)
ε0
(d) (6 Pkt.) Formulieren Sie das skalare Potential φL (x, y, z).
Hinweis: Erinnern Sie sich an dieser Stelle daran, dass sich das Feld einer ruhenden Ladungsdichte ρ = qδ(r) aus dem Ihnen aus der Elektrostatik wohl bekannten Coulomb-Potential
ergibt
1 q
φ=
.
(4)
4πε0 r
(e) (6 Pkt.) Formulieren Sie das Vektorpotential AL (x, y, z).
(f) (6 Pkt.) Berechnen Sie das elektrische Feld E(r, t).
1
(g) (8 Pkt.) Wir definieren den Vektor R = (x, y, z − vt)T , der von der Ladung zum Beobachtungspunkt zeigt. Der Winkel θ sei der Winkel der von R mit der z-Achse eingeschlossen wird.
Zeigen Sie, dass das elektrische Feld formuliert werden kann als
E(r, t) =
q R
1 − (v/c)2
.
4πε0 R3 [1 − (v/c)2 sin2 θ]3/2
(5)
(h) (5 Pkt.) Berechnen Sie das Magnetfeld B(r, t), das durch die bewegte Ladung generiert wird
und zeigen Sie, dass es formuliert werden kann in der Form
B=
1
v × E.
c2
(6)
(i) (4 Pkt.) Berechnen Sie die elektromagnetische Energie, die durch die bewegte Ladung
abgestrahlt wird. Berechnen Sie hierzu den Poyntingvektor.
Hinweis: Verwenden Sie, dass folgendes Integral für a2 < 1 verschwindet
Z π
cos(x) sin(x)
(7)
dx 3 = 0.
0
1 − a2 sin2 (x)
2
2
Ladungsrelaxation in einem metallischen Medium (50 Pkt.)
Metallische Medien sind von weitreichender Bedeutung in der Elektrotechnik, sowohl zur Leitung
von Strömen bei niedrigen Frequenzen, als auch zur Reflexion elektromagnetischer Wellen. Ein
metallisches Medium zeichnet sich durch die grosse Dichte an freien Ladungsträgern aus, die
sich im Metall bewegen können, ohne an Atomkerne gebunden zu sein. Das einfachste Modell
zur Beschreibung der elektronischen und elektromagnetischen Eigenschaften eines Metalls ist
das Drude-Modell des freien Elektronengases. In dieser Aufgabe machen wir Gebrauch vom
Drude-Modell, um das Phänomen der Skin-Eindringtiefe und der Feldfreiheit im perfekten Leiter zu
verstehen.
Wir nehmen dazu an, dass die dielektrischen Eigenschaften des Metalls lediglich durch die
freien Ladungsträger bestimmt werden. Die Volumendichte an freien Elektronen sei n, ihre Ladung
e. Die Bewegung der Ladungsträger sei gedämpft durch Stösse mit Gitterfehlstellen und Vibrationen,
so dass auf einen Ladungsträger eine viskose Dämpfungskraft −mv/τ wirkt, wobei m die Masse
eines Ladungsträgers sei und τ die charakteristische Zeit zwischen zwei Stössen.
(a) (2 Pkt.) Formulieren Sie die Newton’sche Bewegungsgleichung für die Position u(t) eines
Ladungsträgers in einem Drude-Metall unter Einfluss eines elektrischen Feldes E(t).
(b) (3 Pkt.) Verwenden Sie zeitharmonische Ansätze für das Feld E(t) = Re E0 e−iωt und
die Geschwindigkeit v(t) = Re v0 e−iωt , um eine Gleichung für die Geschwindigkeit v0 in
Abhängigkeit von der Feldstärke E0 herzuleiten.
(c) (3 Pkt.) Die Leitfähigkeit σ(ω) ist definiert als die Proportionalitätskonstante zwischen dem
komplexen elektrischen Feld und der komplexen Stromdichte j(ω). Die Stromdichte ist gegeben
durch das Produkt aus Ladungsträgerdichte und Ladungsträgergeschwindigkeit. Zeigen Sie,
dass die Leitfähigkeit eines Drude-Metalls gegeben ist durch
σ(ω) =
ne2 τ /m
.
1 − iωτ
(8)
iσ
(d) (3 Pkt.) Sie kennen bereits den Ausdruck für die komplexe Dielektrizitätskonstante ε = ε0 + ωε
.
0
Leiten Sie diesen Ausdruck aus den Maxwell-Gleichungen her.
(e) (5 Pkt.) Im Rest der Aufgabe nehmen wir stets an, dass gilt ε0 = 1. Leiten Sie unter Verwendung
der Plasmafrequenz ωp2 = ne2 /(mε0 ) einen Ausdruck für die Dielektrizitätskonstante eines
Drude-Metalls her.
Hinweis: Der gesuchte Ausdruck ist von der Form
"
#
ωp2 τ 2
ωp2 τ
ε=A−
+i
.
(9)
B
C
(f) (4 Pkt.) Wir beschränken uns in dieser Aufgabe durchweg auf den Fall des typischen Metalls,
das sich durch eine lange Stosszeit auzeichnet, so dass gilt ωp τ 1. Zeigen Sie, dass für ein
Drude-Metall bei niedrigen Frequenzen ωτ 1 gilt
εpm ≈ i
3
ωp2 τ
.
ω
(10)
(g) (4 Pkt.) Wir betrachten nun eine in z-Richtung propagierende ebene Welle vom Typ E(r) =
E0 eikz in einem Drude-Metall. Berechnen Sie die Längenskala, auf der das Feld auf 1/e seines
Anfangswertes abgefallen ist. Zeigen Sie, dass diese Skin-Eindringtiefe lautet
r
2
,
(11)
δ(ω) =
ωµµ0 σ0
wobei die für ein Medium charakteristische Konstante σ0 von Ihnen geeignet zu bestimmen ist.
(h) (4 Pkt.) Betrachten Sie nun die Permittivität aus Teilaufgabe (e) im Grenzwert hoher Frequenzen ωτ 1. Zeigen Sie, dass die Permeabilität in führender Ordnung in 1/ωτ mit dem
Resultat
ωp2
ε=1−
(12)
ω(ω + i/τ )
übereinstimmt, das in vielen Lehrbüchern als Permittivität eines Metalls bei optischen Frequenzen anzutreffen ist.
(i) (4 Pkt.) Beschreiben Sie kurz, warum die meisten Metalle im UV-Bereich transparent sind,
während sie im sichtbaren Spektrum und bei längeren Wellenlängen ausgezeichnet reflektieren.
Bis hierher haben wir die Dielektrizitätskonstante eines Metalls mit dem einfachen Drude-Modell
beschrieben. Wir konnten so verstehen, warum elektromagnetische Felder in gute Leiter nicht
weiter als die Skintiefe eindringen können. Nun betrachten wir den Fall einer hypothetischen
Ladungsansammlung in einem Drude-Metall um herauszufinden, auf welcher Zeitskala diese
Ladungsdichte verschwindet um die Feldfreiheit im Leiter wieder herzustellen.
(j) (2 Pkt.) Leiten Sie aus den Maxwell’schen Gleichungen die Kontinuitätsgleichung her, die
einen Zusammenhang zwischen der reellen Stromdichte j(r, t) und der reellen Ladungsdichte
ρ(r, t) herstellt.
(k) (2 Pkt.) Führen Sie die Kontinuitätsgleichung durch Fouriertransformation in den Frequenzraum
über.
(l) (3 Pkt.) Verwenden Sie das Gauss’sche Gesetz für das elektrische Feld E(r, ω) zusammen mit
dem Ohm’schen Gesetz j(r, ω) = σ(ω)E(r, ω) und dem Ausdruck für die Leitfähigkeit eines
Drude-Metalls Gl. (8), um eine Bewegungsgleichung für die Ladungsdichte im Frequenzraum
herzuleiten.
(m) (3 Pkt.) Suchen Sie die charakteristischen Frequenzen ω, die Ihre Bewegungsgleichung aus
der vorherigen Teilaufgabe erfüllen.
Hinweis: Die gesuchten Frequenzen sind vom Typ
A q
ω = − ± ωp2 − B.
(13)
2τ
(n) (3 Pkt.) Zeigen Sie, dass die charakteristischen Frequenzen im Grenzwert des guten Leiters
ωp τ 1, sowie des schlechten Leiters ωp τ 1, lauten
ω± = −i/(2τ ) ± ωp ,
für ωp τ 1,
ω± = −i/τ, bzw. − iωp2 τ,
4
für ωp τ 1.
(14)
(15)
(o) (5 Pkt.) Formulieren Sie die reelle Ladungsverteilung für die Anfangsbedingung ρ(r, t = 0).
Bedenken Sie, dass die einzigen im System vorkommenden Frequenzen die Lösungen der
charakteristischen Gleichung sein können. Zeigen Sie, dass für längere Zeiten das Abklingen
der Ladungsdichte durch eine Zeitkonstante ε0 /σ0 gegeben ist, mit σ0 = ωp2 τ ε0 .
5