Höhere Mathematik I - Höhere Mathematik an der TUM
Werbung
Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Prof. Dr. P. Gritzmann
Wintersemester 2005/06
Blatt 5
Höhere Mathematik I
(Elektro - und Informationstechnik)
Zentralübung:
Z 5.1
V sei ein Vektorraum und U1 sowie U2 zwei Untervektorräume von V .
a) Zeigen Sie, daß auch U1 ∩ U2 und
U1 + U2 := {u1 + u2 : u1 ∈ U1 und u2 ∈ U2 }
Untervektorräume von V sind.
b) Zeigen Sie durch Angabe eines Beispiels, daß im allgemeinen U1 ∪ U2 kein Untervektorraum von V ist.
Z 5.2
Z 5.3
Untersuchen Sie, welche der folgenden Mengen Untervektorräume des R3 sind:
r
r
a) r : r und s ∈ R
b) 1 : r und s ∈ R
s
s
r
r
c) r2 : r und s ∈ R
d) s + 3r : r und s ∈ R
s
0
1) Zeigen Sie, daß die Menge M der Polynome p(x) =
i = 0, . . . , n und n ∈ N, einen Vektorraum bildet.
Pn
i=0
ai xi , wobei ai ∈ R für
2) Welche der folgenden Teilmengen von M sind sogar Untervektorräume von M ?
a)
b)
c)
d)
Z 5.4
Die
Die
Die
Die
Polynome
Polynome
Polynome
Polynome
p∈M
p∈M
p∈M
p∈M
mit p(1) = 1.
mit p(3) = 0.
von ungeradem Grad.
mit p(x) > 0 für x < 0.
Bestimmen Sie unter Verwendung des Gauß-Algorithmus die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems in Abhängigkeit von α ∈ R:
5
x2 − x3 = 10α
4
5x1 + x2 + 10x3 = α
x1 + x2 + x3 = 8 − α
Bitte wenden!
Tutor- und Hausaufgaben:
T 5.1 Welche der folgenden Teilmengen des R2 sind Untervektorräume des R2 ?
a) Die Menge aller (x, y) ∈ R2 mit x = 6y.
b) Die Menge aller (x, y) ∈ R2 mit x − y = 6.
c) Die Menge aller (x, y) ∈ R2 mit x + 6y = x − y.
d) Die Menge aller (x, y) ∈ R2 mit x + y 2 = 0.
T 5.2 Sei A = {(2a, a) : a ∈ R} und B = {(b, b) : b ∈ R}.
a) Sind A und B Untervektorräume von R2 ?
b) Bestimmen Sie A ∩ B.
c) Ist A ∪ B ein Untervektorraum von R2 ?
d) Ist C = {x ∈ R2 : x ∈ A und x ∈
/ B} ein Untervektorraum von R2 ?
T 5.3 Bestimmen Sie unter Verwendung des Gauß-Algorithmus die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems:
x2 + 3x3 = 4
2x1 + x2 = 3
4x1 + x2 + x3 = 6
T 5.4 Für welche α, β ∈ R besitzt das lineare Gleichungssystem
2x1 + x2
x1 + 2x2 + x3
x2 + 2x3 + x4
x3 + αx4
=
=
=
=
0
0
0
β
a) eine eindeutig bestimmte Lösung?
b) mehrere Lösungen?
c) keine Lösung?
Geben sie in den Fällen a) und b) jeweils die Lösungsmenge an.
T 5.5 Gegeben seien die Polynome p0 (x) := 1, p1 (x) := 1 − x, p2 (x) := (1 − x)2 sowie
p3 := (1 − x)3 .
a) Zeigen Sie, daß sich jedes Polynom p(x) mit Grad ≤ 3 darstellen läßt in der
Form
p(x) = αp0 (x) + βp1 (x) + γp2 (x) + δp3 (x)
für gewisse Zahlen α, β, γ, δ ∈ R.
b) Sind die Zahlen α, β, γ, δ eindeutig bestimmt?
c) Sei p4 (x) := 3x2 und p5 (x) := x2 − x. Zeigen Sie, daß sich jedes Polynom p(x)
mit Grad ≤ 3 auch darstellen läßt in der Form
e 1 (x) + γ
e 5 (x) + e
p(x) = α
ep0 (x) + βp
ep4 (x) + δp
p3 (x)
eγ
ee
für gewisse α
e, β,
e, δ,
∈ R.
eγ
d) Sind die Zahlen α
e, β,
e, δe und e
eindeutig bestimmt?
