Höhere Mathematik 1

D. Ewert
I. Rybak
S. Poppitz
3. Gruppenübung
Prof. Dr. M. Stroppel
Prof. Dr. N. Knarr
Höhere Mathematik 1
Winter 2008/09
Aufgabe P 9. Polarkoordinaten komplexer Zahlen
Berechnen Sie jeweils die Polarkoordinatendarstellung der folgenden komplexen Zahlen:
(a) z1 = 4 i
(b) z2 = 5 − 5 i
√
(c) z3 = 1 + 3 i
Aufgabe P 10.
Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen z , die die Gleichung
z 4 = 16 − 16 i
erfüllen.
Aufgabe P 11.
Linearfaktoren
(a) Zerlegen Sie die folgenden Polynome in Linearfaktoren:
p1 (X) = 4 X 3 + 7 X 2 − 7 X − 10 und p2 (X) = 7 X 4 − 10 X 3 − 15 X 2 + 10 X + 8 .
(b) Wie müssen die Parameter a, b, c und d aus C gewählt werden, damit i, −1 und 1−2 i
Nullstellen des Polynoms p(X) = a X 3 + b X 2 + c X + d sind?
Aufgabe P 12. Vektorräume und Untervektorräume
Gegeben ist die Menge der reellen Polynome Pol R.
P
Weiter ist Pol2 R := p ∈ Pol R p = 2k=0 αk X k ; αk ∈ R die Menge der Polynome vom
Grad höchstens 2.
(a) Verifizieren Sie, dass Pol R ein R-Vektorraum ist.
Hinweis: Machen Sie sich zunächst klar, wie die Addition und die Multiplikation mit
Skalaren sinnvollerweise zu definieren ist.
(b) Zeigen Sie, dass Pol2 R ein Untervektorraum von Pol R ist.
Aufgabe P 13. Kartesische Produkte
Gegeben ist das reelle Intervall I := [0, 1] und die Menge
W := I 3 =
I × I × 2I sowie die
2
Mengen S1 := (a, b, 0) ∈ W (a, b) ∈ I und S2 := (a, 0, b) ∈ W (a, b) ∈ I .
(a) Visualisieren Sie die Menge W durch eine Skizze.
Hinweis: Es kann dabei helfen, sich W als Teilmenge des R3 vorzustellen.
(b) Skizzieren Sie S1 , S2 j W .
(c) Verstehen Sie anhand dieses Beispiels die Gesetze von de Morgan.
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3. Gruppenübung
Höhere Mathematik 1
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 7.
Gegeben sind die komplexen Zahlen
z1 := 1 − i , z2 :=
√
3 + i , z3 :=
√
3i .
Berechnen Sie die folgenden Terme möglichst geschickt, indem Sie Polarkoordinaten verwenden,
wenn es gegeben erscheint. Geben Sie die Ergebnisse sowohl in Polarkoordinaten als auch in
der Form a + b i mit (a, b) ∈ R2 an.
(a) z2 · z3
(b) z1 2 − z3
(c) z2 10
(d) z4 + z1 , wobei z4 Lösung der Gleichung z4 2 = z3 ist.
Aufgabe H 8.
(a) Gesucht ist ein Polynom p ∈ Pol R so, dass
p · (X 2 − 7 X) = (3 X 5 − 21 X 4 + X 3 − 5 X 2 − 14 X) .
(b) Zerlegen Sie das Polynom X 4 − X 2 − 12 ∈ Pol C in (komplexe) Linearfaktoren.
(c) Zerlegen Sie das Polynom X 4 − X 2 − 12 ∈ Pol R so in ein Produkt reeller Polynome,
dass keiner dieser Faktoren mehr als eine reelle Nullstelle besitzt.
Aufgabe H 9.
Vektoräume und Untervektorräume
(a) Weisen Sie nach, dass C ein R-Vektorraum ist.
Hinweis: Machen Sie sich zunächst klar, wie die Addition und die Multiplikation mit
Skalaren sinnvollerweise zu definieren ist.
(b) Sei c ∈ R eine reelle Konstante. Untersuchen Sie, ob es sich bei den folgenden Mengen
um Untervektorräume des R-Vektorraums C handelt:
R := a + 0i ∈ C a ∈ R
G := z ∈ C arg(z) = c
K := z ∈ C |z| = c
Zusatz (geht nicht in die Bewertung ein): Wie ändert sich die Situation, wenn man C als
C-Vektorraum betrachtet?
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