Visualisierung von Graphen - WueCampus2

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Visualisierung von Graphen
Hierarchische Zeichnungen
6. Vorlesung
Sommersemester 2015
(basierend auf Folien von Marcus Krug, KIT)
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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Lehrstuhl für Informatik I
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2
Beispiel
E-Mail-Graph zwischen Einrichtungen der Fak. für Informatik, KIT
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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Lehrstuhl für Informatik I
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3
Hierarchisches Zeichnen
Problemstellung
Gegeben: gerichteter Graph D = (V , A)
Gesucht: Zeichnung von D , die Hierarchie möglichst gut
wiedergibt
Desiderata
Zuordnung der Knoten auf (wenige) horizontale Linien
möglichst viele Kanten aufwärtsgerichtet
möglichst wenige Kantenkreuzungen
Kanten möglichst vertikal, geradlinig und kurz
Knoten gleichmäßig verteilt
Kriterien widersprechen sich!
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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4
Klassische Vorgehensweise
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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[Sugiyama, Tagawa, Toda ’81]
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5-3
Schritt 1: Aufbrechen gerichteter Kreise
Vorgehen, anschaulich
Finde minimale Menge A? von Kanten,
die nicht aufwärts gezeichnet werden.
Entferne Kanten in A? und füge dazu Inverse ein.
Problem Minimum Feedback Arc Set (FAS):
Gegeben: gerichteter Graph D = (V , A)
Gesucht: minimale Menge A? ⊆ A, so dass D − A? azykl.
. . . ist NP-schwer :-(
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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Lehrstuhl für Informatik I
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5-4
Schritt 1: Aufbrechen gerichteter Kreise
Vorgehen, anschaulich
Finde minimale Menge A? von Kanten,
die nicht aufwärts gezeichnet werden.
Entferne Kanten in A? und füge dazu Inverse ein.
Problem Minimum Feedback Arc Set (FAS):
Gegeben: gerichteter Graph D = (V , A) D − A? + A?r
Gesucht: minimale Menge A? ⊆ A, so dass D − A? azykl.
. . . ist NP-schwer :-(
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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6
Greedy-Heuristik für FAS
GreedyMakeAcyclic(Digraph D = (V , A))
A0 ← ∅
foreach v ∈ V do
if outdeg(v ) > indeg(v ) then
A0 ← A0 ∪ out(v )=
{v w | v w ∈ A}
else
A0 ← A0 ∪ in(v ) = {uv | uv ∈ A}
A ← A \ (out(v ) ∪ in(v ))
return (V , A0 )
Laufzeit: O (V + A)
Qualitätsgarantie: |A0 | ≥ |A|/2
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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Verbesserte Greedy-Heuristik für FAS
Betrachte in foreach-Schleife immer Quellen und Senken,
falls vorhanden, und sonst den Knoten v mit
|outdeg(v ) − indeg(v )| maximal.
[
]
Ersetze Prioritätsschlange durch Feld[0..n−1]
Laufzeit: O (V + A) von
Knotenlisten; führe Maximum mit
Qualitätsgarantie: |A0 | ≥ |A|/2 + |V |/6
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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Schritt 2: Lagenzuordnung
Problemstellung
Gegeben: azyklischer, gerichteter Graph D = (V , A)
Gesucht: Abbildung y : V → {1, . . . , |V |},
so dass für alle uv ∈ A gilt y (u ) < y (v ).
Zielfunktionen: minimiere. . .
Anzahl der Lagen, d.h. |y (V )|
Länge der längsten Kante, d.h. maxuv ∈A y (v ) − y (u )
Gesamtlänge der Kanten (d.h. Anzahl der Dummy-Knoten)
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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Algorithmus zur Minimierung der Lagenanzahl
für jede Quelle q
setze y (q ) := 1
für jede Nichtquelle v
setze y (v ) := max y (u ) | uv ∈ A + 1
Beob. y (v ) ist. . .
Länge eines längsten Wegs von einer Quelle zu v plus 1.
. . . also optimal bezüglich der Lagenanzahl!
Frage: Berechnung in Linearzeit?
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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Linearzeit-Implementierung
ComputeLayering(AcyclicDigraph D = (V , A))
y = new int[1..|V |] // alle == 0
foreach Quelle q ∈ V do
für jede Quelle q
setze y (q) := 1
y (q ) ← 1
foreach Nichtquelle v ∈ V do
für jede Nichtquelle v
setze y(v ) :=
ComputeYRec(D , v , y )
max y (u) | uv ∈ A + 1
return y
ComputeYRec(AcyclicDigraph D = (V , A), Vertex v , int[ ] y )
if y (v ) == 0 then
y (v ) ← max ComputeYRec(D , u , y ) | uv ∈ A + 1
return y (v )
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Unser Beispiel
Alles optimal – oder?
Zeichnungen können seeehr breit werden :-(
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Ziel: schmalere Lagenzuordnung
Problem: Lagenzuordnung bei vorgegebener Breite
Gegeben: azyklischer, ger. Graph D = (V , A), Breite B > 0
Gesucht: Partition der Knotenmenge in minimale Anzahl
von Lagen, so dass jeder Lage höchstens B Elemente enthält.
ebenfalls!
Problem: Precedence-Constrained Multi-Processor Scheduling
Gegeben: n Aufträge mit Bearbeitungsdauer 1, B ident. Maschinen und partielle Ordnung < auf den Aufträgen
Gesucht: Ablaufplan, der < berücksichtigt und minimale
Gesamt-Bearbeitungsdauer hat.
NP-schwer, (2 − 2/B )-Approx., keine (4/3 − ε)-Approx.
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Ein Approximationsalgorithmus für PCMPS
Eingabe: Präzedenzgraph
(schon in Lagen eingeteilt, aber beliebig breit)
8
2
E
6
9
C
3
5
F
1
7
A
D
4
G
B
Anzahl der Maschinen sei B = 2.
Ausgabe: Ablaufplan
M1 1 2 4 5 6 8 A C E G
M2 – 3 – – 7 9 B D F –
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Frage:
Güte/Approximationsfaktor?
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Algorithmus
Aufträge sind in Liste L gespeichert
(in beliebiger Reihenfolge, z.B. topologisch sortiert).
Versuche zu jedem Zeitpunkt t = 1, 2, . . . so viele Aufträge
zu bearbeiten wie momentan möglich.
Ein Auftrag in L ist verfügbar,
falls seine Vorgänger komplett abgearbeitet sind.
Solange es zum aktuellen Zeitpunkt noch freie Maschinen
und verfügbare Aufträge gibt, lösche den ersten verfügbaren
Auftrag aus L und ordne ihn einer freien Maschine zu.
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Analyse für B = 2
Präzedenzgraph G<
1
2
3
4
5
6
7
Ablaufplan
8
9
A
B
C
D
E
F
G
M1 1 2 4 5 6 8 A C E G
M2 – 3 – – 7 9 B D F –
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Die Kunst der unteren Schranke“
”
OPT ≥ dn/2e und OPT ≥ ` := Anz. Lagen von G<
Ziel: Finde Algorithmus, dessen Güte sich mithilfe der unteren
Schranke(n) messen lässt.
Allg. ≤ (2 − 1/B ) · OPT
n+` Beh. ALG ≤
≈ dn/2e + `/2 ≤ 3/2 · OPT
2
Injektion der Pausen ( ) des Ablaufplans
(außer der letzten) in die Lagen von G<
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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Schritt 3: Kreuzungsreduktion
Problemstellung
Gegeben: Graph G , Lagenzuordnung y : V → {1, . . . , |V |}
Gesucht: (Um-)Ordnung der Knoten innerhalb der Lagen,
so dass die Anzahl der Kreuzungen minimiert wird.
Problem ist NP-schwer, sogar für 2 Lagen [Garey & Johnson ’83]
kaum Ansätze, die echt über mehrere Layer optimieren
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Iterative Kreuzungsreduktion – Idee
Füge Dummy-Knoten für Kanten der (vert.) Länge > 1 ein.
Betrachte nacheinander jeweils benachbarte Lagen
(L1 , L2 ), (L2 , L3 ), . . . .
Minimiere Kreuzungen durch Permutieren von Li +1 bei
gegebener Ordnung von Li .
Beob. Kreuzungszahl hängt nur von der Permutation der Knoten auf den benachbarten Lagen ab.
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Iterative Kreuzungsreduktion – Algorithmus
(1) wähle zufällige Permutation für unterste Lage L1
(2) betrachte iterativ jeweils benachbarte Lagen Li und Li +1
(3) minimiere Anzahl der Kreuzungen durch Umordnen der
Knoten in Li +1 (Li fest) Einseitige Kreuzungsminimierung
(4) wiederhole Schritte (2)–(3) in umgekehrter Richtung
ausgehend von oberster Lage Lh
(5) wiederhole Schritte (2)–(4) bis keine Verbesserung mehr
erzielt wird
(6) wiederhole Schritte (1)–(5) mit unterschiedlichen
Startpermutationen
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Einseitige Kreuzungsminimierung
Problemstellung
Gegeben: bipartiter Graph G = (L1 ∪ L2 , E ),
Permutation π1 von L1
Gesucht: Permutation π2 von L2 , die die Anzahl der sich
kreuzenden Kantenpaare minimiert
Einseitige Kreuzungsminimierung ist NP-schwer.
Abb. aus [Kaufmann und Wagner: Drawing Graphs]
(c) Springer-Verlag
[Eades & Whitesides ’94]
Algorithmen
Schwerpunktheuristik
Medianheuristik
Greedy-Switch
ILP
...
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Schwerpunktheuristik
[Sugiyama et al. ’81]
Intuition:
wenige Kreuzungen, wenn Knoten nah bei Nachbarn
Schwerpunkt von u ist Durchschnitt der x -Koordinaten der
Nachbarn von u in Lage L1 [x1 ≡ π1 ]
Schlechtes Bsp.?
u v
X
1
x2 (u ) := bary(u ) :=
x1 (v )
deg(u )
|{z}
v ∈N (u )
|
{z
k2 − 1
}
k −1
bei gleichen Werten werden Knoten um kleines δ versetzt
lineare Laufzeit
relativ gute Ergebnisse
optimal, falls
√ keine Kreuzung benötigt wird
Faktor-O ( n)-Approximation
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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Übung!
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21-3
Medianheuristik
[Eades & Wormald ’94]
{v1 , . . . , vk } := N (u ) mit π1 (v1 ) < π1 (v2 ) < · · · < π1 (vk )
(
0
falls N (u ) = ∅
x2 (u ) := med(u ) :=
π1 (vdk /2e ) sonst.
verschiebe Knoten u und v geeignet um δ, falls x2 (u ) = x2 (v )
lineare Laufzeit
relativ gute Ergebnisse
optimal, falls keine Kreuzung benötigt wird
Faktor-3-Approximation
Beweis siehe [DETT]
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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21-6
Medianheuristik
[Eades & Wormald ’94]
{v1 , . . . , vk } := N (u ) mit π1 (v1 ) < π1 (v2 ) < · · · < π1 (vk )
(
0
falls N (u ) = ∅
x2 (u ) := med(u ) :=
π1 (vdk /2e ) sonst.
verschiebe Knoten u und v geeignet um δ, falls x2 (u ) = x2 (v )
Schlechtes Beispiel?
lineare Laufzeit
u
v
relativ gute Ergebnisse
optimal, falls keine Kreuzung benötigt wird
|{z} | {z } | {z } |{z}
Faktor-3-Approximation
k
k
k +1 k +1
Beweis siehe [DETT]
2k(k + 1) + k 2 vs. (k + 1)2 #
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Greedy-Switch-Heuristik
vertausche iterativ jeweils benachbarte Knoten,
falls dadurch weniger Kreuzungen induziert werden
Laufzeit O (L2 ) pro Iteration; maximal |L2 | Iterationen
als Post-Processing für andere Heuristiken geeignet
Schlechtes Beispiel?
L2
L1 |
{z
k
}
≈ k 2 /4
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
≈ 2k
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23
Ganzzahliges lineares Programm
[Jünger & Mutzel, ’97]
Konstante cij := Anzahl von Kreuzungen zwischen Kanten,
die zu vi oder vj inzident sind, falls π2 (vi ) < π2 (vj )
Variable für 1 ≤ i < j ≤ n2 := |L2 |
1 falls π2 (vi ) < π2 (vj )
xij =
0 sonst
vi
vj
Anzahl Kreuzungen für feste Permutation π2
cross(π2 ) =
nX
2 −1
n2
X
(cij − cji )xij +
i =1 j =i +1
nX
2 −1
·
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cji
i =1 j =i +1
{z
|
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
n2
X
konstant
·
}
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24
Fortsetzung ILP
Minimiere Anzahl der Kreuzungen:
minimiere
nX
2 −1
n2
X
(cij − cji )xij
i =1 j =i +1
Nebenbedingungen:
0 ≤ xij + xjk − xik ≤ 1
für 1 ≤ i < j < k ≤ n2
d.h. wenn xij = 1 und xjk = 1, dann auch xik = 1
0
0
0
(Transitivität)
Lösung mit Branch-and-Cut bei wenigen Knoten pro Lage relativ schnell.
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Unser Beispiel – iterativ
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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26
Schritt 4: Knotenpositionierung
Ziel:
geringe Abweichung der Kanten-Pfade von Geraden
Exakt:
Quadratisches Programm (QP)
Heuristik: iterativ
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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27
Quadratisches Programm
Betrachte Kanten-Pfad pe = (v1 , . . . , vk )
zu Kante e = v1 vk mit Dummy-Knoten v2 , . . . , vk −1
x -Koordinate von vi bei gerader Kante v1 vk
(bei Einheitslagenabstand):
vi
i −1
x (vi ) = x (v1 ) +
x (vk ) − x (v1 )
k −1
definiere Abweichung von gerader Kante
dev(pe ) :=
k −1 X
vk
v1
2
x (vi ) − x (vi )
i =2
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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Fortsetzung (QP)
Zielfunktion:
min
X
dev(pe )
e ∈E
Nebenbedingungen: für alle Knoten v und alle Knoten w
im gleichen Layer mit w rechts von v
x (w ) − x (v ) ≥ ρ(w , v )
ρ(w , v ) ist minimaler horiz. Abst. zw. Knoten w und v
Problem: QP und potentiell exponentielle Breite
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Iterative Heuristik
berechne Initial-Layout
führe die folgenden Schritte so lange aus,
bis Abbruchbedingung erfüllt ist:
(1) positioniere Knoten,
(2) ziehe Kanten gerade,
(3) kompaktifiziere Layout in x -Richtung.
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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Unser Beispiel
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Schritt 5: Kanten zeichnen
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Schritt 5 – anschaulich
Alle Abb. aus [Kaufmann und Wagner: Drawing Graphs]
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Unser Beispiel
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