07. Vorlesung - WueCampus2

1
Visualisierung von Graphen
Geradlinige Zeichnungen planarer Graphen
Teil 2
7. Vorlesung
Sommersemester 2014
(basierend auf Folien von Marcus Krug und Tamara Mchedlidze, KIT)
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
Lehrstuhl für Informatik I
·
Universität Würzburg
2
Planare Graphen zeichnen
letzte Woche:
Satz. [de Fraysseix, Pach & Pollack 1988]
Jeder eingebettete planare Graph mit n Knoten lässt sich
geradlinig und planar auf dem (2n − 4) × (n − 2)-Gitter
zeichnen.
inkrementelles Verfahren
heute:
Satz. [Schnyder 1990]
Jeder eingebettete planare Graph mit n Knoten lässt sich
geradlinig und planar auf dem (n − 2) × (n − 2)-Gitter
zeichnen.
direkte Berechnung der Koordinaten
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
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3
Ideen
Zur Erinnerung: Es reicht, maximal planare (triangulierte)
Graphen zu betrachten.
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·
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4
Baryzentrische Koordinaten
Baryzentrische Koordinaten
Seien A, B , C , P ∈ R2 . Ein Tripel (α, β, γ) ∈ R3 mit
α+β+γ =1
P = αA + β B + γ C
bildet baryzentrische Koordinaten von P bezüglich 4ABC .
α konst.
C
β konst.
γ konst.
A
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B
·
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5
Baryzentrische Repräsentation
Baryzentrische Repräsentation
Eine baryzentrische Repräsentation eines Graphen G = (V , E )
ist eine injektive Abbildung v ∈ V 7→ (v1 , v2 , v3 ) ∈ R3 mit
folgenden Eigenschaften:
v1 + v2 + v3 = 1 für alle v ∈ V
für alle {x , y } ∈ E und all z ∈ V \ {x , y } existiert k ∈
{1, 2, 3} mit xk < zk und yk < zk .
C
y
verbotenes Dreieck
x
A
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B
·
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6
Zusammenhang zu planaren Zeichnungen
Lemma [Schnyder ’90]
Sei v ∈ V 7→ (v1 , v2 , v3 ) ∈ R3 eine baryzentrische Repräsentation eines Graphen G = (V , E ) und seien A, B , C ∈
R2 in allgemeiner Lage. Dann ist die Abbildung
f : v ∈ V 7→ v1 A + v2 B + v3 C
eine kreuzungsfreie Zeichnung von G , die von A, B , C aufgespannt wird.
Wir suchen also eine baryzentrische Repräsentation und
Punkte A, B , C , so dass alle Knoten auf Gitterpunkten
landen.
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7
Beweis
kein Knoten im Inneren einer Kante
2 Kanten {u , v } und {u 0 , v 0 } kreuzen sich nicht
genauer:
ui0
> ui , vi
uk > uk0 , vk0
vj0
C
> uj , vj
v0 v
vl > ul0 , vl0
⇒ {i , j } ∩ { k , l } = ∅
u0
u
also z.B. i = j = 1
⇒ u10 , v10 > u1 , v1
A
Kanten durch Gerade getrennt
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B
·
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8
Winkelbeschriftung
Beobachtung
Sei v 7→ (v1 , v2 , v3 ) eine baryzentrische Repräsentation eines
triangulierten eingebetteten Graphen G = (V , E ). Wir können
jeden Winkel ∠(xy , xz ) eindeutig mit k ∈ {1, 2, 3} beschriften.
z
3
x
1
2
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·
y
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x1 > y1 , z1
y2 > x2 , z2
z3 > x3 , y3
·
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9
Schnyder-Beschriftung
Definition: Schnyder-Beschriftung
Eine Schnyder-Beschriftung (normal labeling) eines eingebetteten, triangulierten Graphen ist eine Beschriftung mit folgenden Eigenschaften:
Facetten Jedes Dreieck hat je einen Winkel, der mit 1,2 und
3 beschriftet ist. Die entsprechenden Knoten erscheinen im
Gegenuhrzeigersinn.
Knoten Beschriftungen um Knoten bilden drei nichtleere Intervalle von 1, 2 und 3 im Gegenuhrzeigersinn.
3
x
1
2
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
y
·
1 1 13
2 2 33
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10-3
Schnyder-Wald
Definition: Schnyder-Wald
Ein Schnyder-Wald eines triangulierten, eingebetteten planaren
Graphen G = (V , E ) ist eine Partition der Kantenmenge E in drei
Mengen T1 , T2 , T3 gerichteter Kanten, so dass für jeden inneren
Knoten v ∈ V gilt:
v hat Ausgangsgrad 1 in T1 , T2 , T3 .
Die Reihenfolge der Kante um v im Gegenuhrzeigersinn ist:
ausgehend in T1 , eingehend in T3 , ausgehend in T2 , eingehend
in T1 , ausgehend in T3 , eingehend in T2 .
T3
T1
Schnyder-Beschriftung ↔ Schnyder-Wald
k
Ti j
i
y
x
k
i
j
T2
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10-16
Schnyder-Wald
Definition: Schnyder-Wald
Ein Schnyder-Wald eines triangulierten, eingebetteten planaren
Graphen G = (V , E ) ist eine Partition der Kantenmenge E in drei
Mengen T1 , T2 , T3 gerichteter Kanten, so dass für jeden inneren
Knoten v ∈ V gilt:
v hat Ausgangsgrad 1 in T1 , T2 , T3 .
Die Reihenfolge der Kante um v im Gegenuhrzeigersinn ist:
2
ausgehend in T1 , eingehend in T3 , ausgehend in T2 , eingehend
3
1
in T1 , ausgehend in T
, eingehend
in T2 .
1
1 3
2
3
T3
T1
3
3
1
Schnyder-Beschriftung
↔ Schnyder-Wald
k 2 2 1
Ti j
i
y
x
k
i
j
T2
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11-2
Existenz von Schnyder-Beschriftungen
Lemma [Kampen 1976]
Sei G ein triangulierter, eingebetteter planarer Graph und seien
a, b, c die Knoten der äußeren Facette. Dann existiert ein Nachbarknoten x ∈
/ {b, c} von a, so dass {a, x} kontrahierbar ist.
a und x haben genau 2
gemeinsame Nachbarn
v4
v4
v3
v2
x
v2
v1
a
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v3
v1
a
·
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11-9
Existenz von Schnyder-Beschriftungen
Lemma [Kampen 1976]
Sei G ein triangulierter, eingebetteter planarer Graph und seien
a, b, c die Knoten der äußeren Facette. Dann existiert ein Nachbarknoten x ∈
/ {b, c} von a, so dass {a, x} kontrahierbar ist.
Satz [Schnyder ’90]
Jeder triangulierte, eingebettete planare Graph besitzt eine
Schnyder-Beschriftung.
v4
2
3 3
1
2 1
3 12
2
x
a
1
1
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
v4
v3
2 3
3
3
2
3
v3
v2
2
3
1
v1
2
1
1
v2
v1
a
·
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11-10
Existenz von Schnyder-Beschriftungen
Lemma [Kampen 1976]
Sei G ein triangulierter, eingebetteter planarer Graph und seien
a, b, c die Knoten derDer
äußeren
Facette.
existiert
NachBeweis
liefertDann
direkt
eineneinAlgobarknoten x ∈
/ {b, c} von a, so dass {a, x} kontrahierbar ist.
rithmus zur Berechnung einer SchnyderSatz [Schnyder ’90]Beschriftung.
Der Algorithmus kann so implementiert
Jeder triangulierte, werden,
eingebettete
besitzt
eine
dass erplanare
in O (n)Graph
Zeit läuft,
siehe
Schnyder-Beschriftung.
Übung.
v4
v4
v3
v3
2
3 3
1
2 1
3 12
2
x
a
1
1
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
2
3
2 3
3
3
v2
2
3
1
v1
2
1
1
v2
v1
a
·
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12
Eigenschaften Schnyder-Beschriftung
Lemma
In einem triangulierten, eingebettenen, beschrifteten Graphen
gilt:
Die Winkel an einem äußeren Knoten sind jeweils gleich
beschriftet.
Die Winkel an unterschiedlichen äußeren Knoten sind unterschiedlich beschriftet.
Die Beschriftung der äußeren Knoten ist 1,2,3 im Gegenuhrzeigersinn.
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13
Eigenschaften Schnyder-Wald
Satz [Schnyder ’90]
Sei G ein triangulierter, eingebetteter planarer Graph mit SchnyderWald T1 , T2 , T3 , dann enthält Ti alle inneren und genau einen
äußeren Knoten ai und alle Kanten sind nach ai gerichtet. Die ai s
sind paarweise verschieden und erscheinen im Gegenuhrzeigersinn.
Satz [Schnyder ’90]
Sei G ein triangulierter, eingebetteter planarer Graph mit
Schnyder-Wald T1 , T2 , T3 , dann enthält
Ti ∪ Ti−1
+1
−1
∪
T
mod 3
i +2
mod 3
keinen gerichteten Kreis für alle i = 1, 2, 3.
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14
Knoten-Regionen
a3
Pi (v ) ∩ Pj (v ) = {v } für i 6= j
P3
3
1
a1
R1
v
R2
x
R
(
v
)
y
3
1
2
2
u
R3 ( u )
P2
P1
a2
Lemma [Schnyder ’90]
Seien u 6= v zwei innere Knoten eines beschrifteten triangulierten Graphen. Dann gilt
u ∈ Ri (v ) ⇒ Ri (u ) ( Ri (v )
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15
Schnyder-Zeichnung
Satz [Schnyder ’90]
Die Abbildung
1
1
f : v 7→
(v1 , v2 , v3 ) =
(#R1 (v ), #R2 (v ), #R3 (v ))
2n − 5
2n − 5
ist eine baryzentrische Repräsentation von G .
Bemerkungen:
#Ri (v ) = Anzahl der Dreiecke (Innenfacetten) innerhalb der
Region Ri (v ).
Wählt man A = (2n − 5, 0), B = (0, 2n − 5), C = (0, 0),
dann erhält man eine Zeichnung von G auf einem Gitter der
Größe (2n − 5) × (2n − 5).
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16-2
Schwache baryzentrische Repräsentation
Schwache baryzentrische Repräsentation
Eine schwache baryzentrische Repräsentation eines Graphen
G = (V , E ) ist eine injektive Abbildung v ∈ V 7→
(v1 , v2 , v3 ) ∈ R3 mit folgenden Eigenschaften
v1 + v2 + v3 = 1 für alle v ∈ V
für alle {x , y } ∈ E und all z ∈ V \ {x , y } existiert k ∈
{1, 2, 3} mit (xk , xk +1 ) <lex (zk , zk +1 ) und
(yk , yk +1 ) <lex (zk , zk +1 ).
d.h. entweder yk < zk oder yk = zk und
yk +1 < zk +1
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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16-4
Schwache baryzentrische Repräsentation
Schwache baryzentrische Repräsentation
Eine schwache baryzentrische Repräsentation eines Graphen
G = (V , E ) ist eine injektive Abbildung v ∈ V 7→
(v1 , v2 , v3 ) ∈ R3 mit folgenden Eigenschaften
v1 + v2 + v3 = 1 für alle v ∈ V
für alle {x , y } ∈ E und all z ∈ V \ {x , y } existiert k ∈
{1, 2, 3} mit (xk , xk +1 ) <lex (zk , zk +1 ) und
(yk , yk +1 ) <lex (zk , zk +1 ).
Auch eine schwache baryzentrische Repräsentation liefert eine
planare Zeichnung.
Beweis: sehr ähnlich, siehe Übung
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17
Neue baryzentrische Koordinaten
a3
vi0
setze =
|Ri (v )| − |Pi −1 (v )|
P3
3
P1
1
R1
v
R2
R3 ( v )
2
a1
ai0
= n − 2,
ai0+1
= 1,
ai0−1
P2
=0
a2
Lemma [Schnyder ’90]
Seien u 6= v zwei innere Knoten eines beschrifteten triangulierten Graphen. Dann gilt
u ∈ Ri (v ) ⇒ (ui0 , ui0+1 ) <lex (vi0 , vi0+1 )
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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18
Schnyder-Zeichnung 2
Satz [Schnyder ’90]
Die Abbildung
1
f : v 7→
(v10 , v20 , v30 )
n−1
ist eine schwache baryzentrische Repräsentation von G .
Bemerkungen:
Wählt man A = (n − 1, 0), B = (0, n − 1), C = (0, 0), dann
erhält man eine Zeichnung von G auf einem Gitter der Größe
(n − 2) × (n − 2).
Zur Berechnung der Koordinaten reichen konstant viele
Baumdurchläufe, siehe Übung.
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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