Klausur 1 - jkrieger.de

• DeBroglie: p =
E
c
=
h
λ
= ~k
– Photoeffekt:
• Photonen: E = hν = pc, mγ =
ω = 2πν, k = 2π
λ
• Unschärfe: ~ ≈ ∆p · ∆x ≥
2
~
,
2
2 2
hν
,
c
pγ =
h
λ
γ
= ~k = mc,
eZ
∆E · ∆t ≥
1 4
~
2
2
Ekin +
2 4
• Relativität: E = p
~ c +m c =
m c , E = γmc,
~ β
~ = p~c , CM-System: p
~
=
−~
p
,
Schwellenenergie:
p
~ = γmP
βc,
1
2
E
2
2 2
E
m
,
raumartig:
E
−~
p
c
<
0,
zeitartig:
E 2 −~
p2 c2 > 0,
i
thr =
i
γ
−βγ
−βγ
γ
• Mandelstamvariable, 4-Teilchen-Streueung: s = (p1 +
2
2
2
p2 )2 = (p3 + p4 )2 , t = (p
P1 − p23 ) = (p2 − p4 ) , u = (p1 − p4 ) =
2
(p2 − p3 ) , s + t + u = i mi
λ
• optische Auflösung: α ≈ sin α = 1.22 D
(Abbe, D: Öffnung);
D
, f Brennweite, erhlt
Mit der numerischen Apertur sin(θ) = 2f
λ
man eine Ortsauflsung ∆x von ∆x = α · f = 1.22 λ·f
= n sinθ
=
D
h
.
Brechungsindex
zwischen
Objekt
und
Objektiv
n.
p n sinθ
√
• Kerne: Radius R ≈ 1.2 3 A fm (A: Nukleonenzahl)
• Zerfall:N (t) = N0 · exp(−λt) = N0 · exp(− τt ), Überlebenswahrscheinlichkeit nach Strecke x = vt = βct: P (x) = NN(x)
0
• Feinman-Graphen:
Übergangsamp.: Mf i ∝ LadungV 1 · Propagator · Ladungq
V2
√
e2
1
Ladung ∝
Photon: Propagator: ∆p
α =
2,
4π0 ~c
α
⇒ Mf i ∝ ∆p2
Fermi’s Golden Rule: Wf i = 2π
|Mf i |2 ρ2f , Mf i = hψf |Ĥ|ψi i,
~
dn(E)
Endzustandsdichte ρf = dE
Phasenraumvolumen: 1-Teilchen-Zustand V = h3 = (2π~)3 ,
ρ1 (E) = 2πV2pE
c2 ~2
1
starke WW: Propagator: ∆p2 +M
2 c2 elem. Vertex: (Quark, g,
Quark)
schwache WW: Ladung: g=0.65; mögliche elem. Vertizes:
(e− , W − , νe ), (e− , Z 0 , e− ), (νe , Z 0 , νe ), (d, W − , u),
(u, W + , d), (u, Z 0 , u), (d, Z 0 , d), (s, W − , u), (c, W + , s)
2
me c
– Compton-Streuung: Eγ0 = Eγ me c2 +Eγ (1−cos
,
θg amma)
ln ∝
σCompton
(
Eγ /me c2 )
=
e-
e-
θ γ
– Paarbildung: Eγ > 2me c2 , σpaar =
7 A 1
,
9 NA X 0
λpaar = 79 X0
-
e
e+
Z
(X0 : Strahlungslänge)
• elastische Streuung geladener Teilchen:
1
– Rutherford-Streuung I: Mf i = (ze) ∆p
2 (Ze),
1
(2π)2
pc |
|Mf i |2 |~
βi βf
dσ
dΩ
⇒
pa
pb
2
=
2
2
= −4 |~
p|
, aus Kinematik: ∆p
dσ
dΩ
=
sin2 θ2 ;
4E 2 (zZα)2
∆p2
ze
γ, ∆p
Ze
pc
pc
∆p
pd
– Rutherford II: Winkelverteilung:
, nicht-rel:
dσ
dΩ
=
Impulsübertrag:
θ
pa
dσ
dΩ
==
(zZα)2
1
2
sin4 (θ/2)
16Ekin
1
dσ
= 4π(zZα)2 β 2 ∆p
4,
d(∆p)2
(zZα)2
1
4|~
p|2 β 2 sin4 (θ/2)
nicht-rel.: β ≡ 1
– Mott-Streuung:
Modifikation
der
RutherfordStreuformel aufgrund des Elektronenspins:
4E 2 (zZα)2
dσ
bisher: dΩ
= c∆p4 ,
β=1
dσ
E0
dσ
=
1 − β 2 sin2 θ2
=
jetzt: dΩ
dΩ Rutherford E
Mott
4Ec2 (zZα)2 E 0
E
∆p4
2
cos2 θ2 , E 0 /E berücksichtigt den Rückstoß,
cos (θ/2) bedeutet vollkommene Unterdrückung der
Rückstreuung;
– Vielfachstreuung: Gaußverteilung
θ; Streuwahrscheinlichkeit: P (θ) =
mit
Standardabweichung
θ0
über
Streuwinkel
θ2
− 2θ
2 ,
√ 1
exp
2πθ0
13.6 MeV
βcp
=
0
· z ·
P(θ)
• Wirkungsquerschnitt:
R
]Reaktionen/Zeiteinheit
NReac
= NBeam
,σ=
σ = Teilchenfluss·]Streuzentren
·N
T ar
A
Beam
Fluss: Φ = NA·∆t
cm2− s−1 , Wf i = Φ · σ
Reaktionswahrsch.: P = nT ar · d · σ
ρ
(d: Dicke d. Targets; nT ar = NA · mmol
)
• freie Weglänge: λ =
1
σ·nT ar
dσ
dΩ
dΩ
q
L
X0
2
~ ⇒ ptrans. = q ·B ·R
– Impulsmessung mv
~er = q ·(~v × B)
R
→ 0.3B[ T] · R[ m] = pT [ GeV/c]; θ ≈ 0.3L·B
; Sagitta
pT
s = R(1 − cos θ/2) ≈
, N (x) = N0 · exp(−x/λ)
Rθ 2
8
≈
L
xλ
Reakt.-Wahrsch.: P (x) = 1 − exp(−x/λ) −→ λx ) = nT ar σx
• Luminosität L cm−2 s−1 : L = NBeam · nT ar · d, NReac = L · σ,
N N ν
Collider: L = +A − (ν: Umlauffrequ.; A: Querschnitt)
Breit-Wigner: σ(E) = σ0
Γ2
4
2
(E−M )2 + Γ4
• Synchrotron-Strahlung: geladene Teilchen im Magnetfeld
4 4 β→1 2α
2α
E 4
P = 3R
−→ 3R2 m
(nat. Einh.),
2β γ
4
−
−5
∆E
m
E 4 ∆E(e )
x
= 8.85 · 10 GeV3 · R ∆E(x) = m
≈ 1013 (für p)
Umlauf
me
• WW von Photonen mit Materie
0.3 L2 B
8 pT
B
xλ
Reakt.-Rate: R(x) = N0 − N (x) −→ N0 λx = N0 nT ar σx
• Zerfallsbreite Γ, Lebensdauer
τ:
2R
Γ = τ~ = ~Wf i = 2π |MP
ρf dΩ
f i|
mehrere Kanäle i: Γ = i Γi , branching ration: Bi = Γi /Γ
θ
d
1 + 0.038 ln XL0
s
R
θ
• Strahlungslänge (WW von e− mit Materie): X0 =
P
716.4 g cm−2 ·A
1
√
, X10 =
, nach der Länge X0 ist
i wi X0
Z(Z+1) ln(287/ Z)
i
die Energie um 37% reduziert
• Bremsstrahlung:
dE
dx
=
E
;
X0
E = E0 · exp(−x/X0 ) mit Strah-
e-
e
lungslänge X0 =
A
2 ln 183
4αNa Z 2 re
√
3
Z
gcm2
γ
Z
• Bethe-Bloch:
Ionisationsverluste
h
i
2me c2 β 2 γ 2 Tmax
2Z 1
2
1
δ
−Kz A β 2 2 ln
−
β
−
;
2
2
I
dE =
dx
mit
K
=
0.307M eV g −1 cm2 ; Einfallendes Teilchen: m, z; Maximale
2me c2 β 2 γ 2
übertragbare Energie in einem Stoß Tmax = 1+2γm
2;
e /m+(me /m)
Mittlere Anregungsenergie des Mediums I; Dichtekorrektur δ;
Fr Elektronen Tmax = 21 Tin
• Photo-Absorptions-Ionisations-Modell:
1
– Čerenkov-Strahlung: Öffnungswinkel: cos(θc ) = nβ
=
cmed
ω
c
;
Dispersionsrelation:
=
c
=
;
Anzahl
der
medium
v
k
n
2
2
d2 N
α
emitierten Photonen: dλdx
= 2πz
sin
(θ
); Energiedisc
2
λ
2
2
2
d N
d N
position: dEdx
= z~cα sin2 (θc ) = const. fr z=1: dEdx
=
2
−1
−1
370 sin (θc ) eV cm
– Übergangsstrahlung wird an Grenzflächen zwischen Medien emmitiert. Totale abgestrahlte Energie an Grenzfläche
zu Vakuum: W = 31 α~ωP γ mit Plasmafrequenz ωP =
q
q
4παne
Z
= 28.8 ρ A
eV
me
• Hadronische Schauer (inel. WW von Neutronen mit Materie): Absorptionslänge: λhadr = NAA
, mit σinel ≈ 35 mb ·
σinel
A0.7 , z.B.: n + p → n + p, n + 6 Li → α + 3 H, n + 10 B → α + 7 Li,
n + 3 He → p + 3 H)
D
E
dhÔ i
• Erhaltungssätze in QM: i~ dt = [Ô, Ĥ]
Also gilt: [Ĥ, Ô] = 0 ⇒
dÔ
dt
= 0, also Ô erhalten
• Paritätsoperator Π̂: ~
x → −~
x, Π̂ψ(~
x) = ψ(−~
x), Π̂2 = 1,
in Kugelkoordinaten: (θ → π − θ, φ → π + φ, r → r)
• Zeitumkehr T̂ : t → −t
• Ladungskonjugation Ĉ: Teilchen → Antitleichen
• CPT-Theorem: Alle Naturgesetze sind unter Anwendung von
Ĉ Π̂T̂ invariant
• Translation Û : Û φ(x) = φ(x + ∆x) = exp i ∆x
p ψ(x)
~ x
• Drehimpulskopplung:
Zusammensetzung
eines
2Teilchenzustandes
|JM i
aus
Einteilchenzuständen
|j1 m1 i, |j2 m2 i: J~ = ~j1 + ~j2 , J = |j1 − j2 | , ..., |j1 + j2 |,
M = −J, ..., +J
• Additive Erhaltungsgrößen: Viererimpuls, Drehimpuls, Spin,
Ladung, Leptonenzahlen (Generationsweise, L = 1 für Leptonen/Neutrinos, L = −1 für Antiteilchen), Baryonenzahl
bei starker WW: Strangeness (Charm, Bottom, Top), Isospin
Bsp: µ− 9 e− + γ, p 9 e+ + π 0
~ ~
S·β
, alle Neutrinos sind
|S~ |·|β~|
linkshändig (H = −1), alle Antineutrinos sind rechtshändig (H =
+1), für relativistische Teilchen ist H erhalten!
• Eigenschaften des Elektrons: Elektron hat magnetisches Moe~
ment: µ
~ = gµB ~s Bohrsches Magneton: µB = 2m
= 5.788 ·
ec
−11 M eV
10
;
fr
Dirac-Teilchen:
g
=
2;
T
• Teilchenbezeichnungen: Fermionen: Spin halbzahlig; Bosonen: Spin ganzzahlig; Hadronen: Teilchen mit starker WW, unterteilt in Baryonen und Mesonen; Baryonen: schwere Teilchen wie:
p,n, bestehen aus 3 Quarks; Mesonen: mittelschwere Teilchen wie:
π, K, .. bestehen aus 2 Quarks; Leptonen: leichte Teilchen wie:
e, e+ , ν, ν̄, haben keine starke WW; Bosonen: Wechselwirkungsteilchen: em WW: γ; schwache WW: W +− , Z 0 ; g, G
• Quarks: Alle Quarks haben Spin J = 12 und Baryonenzahl
By = 13 (bzw. Anti-Quarks: By = − 13 ), sind also Fermionen.
Isospin I, I3 – Ladung Q – Strangeness S – Charm C– Bottom/Beauty B – Top/truth T
]
Name
I
I3
Q
S
C
B
T
m[ GeV
c2
1
2
1
+
+
0
0
0
0
≈
350
up
u
2
2
3
1
u
− 12 − 32
0
0
0
0
≈ 350
2
1
1
1
down
d
−
−
0
0
0
0
≈
350
2
2
3
1
d
+ 12 + 31
0
0
0
0
≈ 350
2
strange s
0
0
− 13 −1
0
0
0
≈ 550
s
0
0
+ 31 +1
0
0
0
≈ 550
charm
c
0
0
+ 23
0
+1
0
0
≈ 1800
c
0
0
− 32
0
−1
0
0
≈ 1800
bottom b
0
0
− 13
0
0
−1
0
≈ 4500
top
t
0
0
+ 23
0
0
0
+1 ≥ 78000
• Helizität (Pseudoskalar): H :=
Es gilt:
1
(B + S + C + By + T )
2
Q = I3 +
• Standardmodell:
Fermionen
Leptonen
Lepton-Neutrinos
Quarks
1
e−
νe
u
d
Familie
2
3
µ− τ −
νµ
ντ
c
t
s
b
Q
−1
0
+ 23
− 13
G
x
x
x
x
WWs
γ W, Z
x
x
x
x
x
x
x
g
x
x
• Barionen: Allgmemeiner Aufbau aus drei Quarks: (QQQ), mit
halbzahligem Spin (Fermionen) J = 12 , 32
Name
Quarks m[ GeV/c2 ] J Q
S
I
I3
1
1
1
Proton
p
(uud)
0.938
1
0
+
2
2
2
1
1
1
Neutron n
(udd)
0.940
0
0
−
2
2
2
1
Lambda Λ
(uds)
1.116
0 −1 0
0
2
• Mesonen: Allgemeiner Aufbau
Paar: (QQ), mit ganzzahligem
Quarks
m[ GeV/c2 ] J
π+
π0
π−
K+
K0
K−
(ud)
(uu + dd)
(ud)
(us)
(ds)
(us)
0.140
0.135
0.140
0.494
0.498
0.494
aus Quark-AntiquarkSpin J
=
0, 1.
Q
S
I
I3
0
0
0
0
0
0
+1
0
−1
+1
0
−1
0
0
0
+1
+1
−1
1
1
1
1
0
−1
1
2
1
2
1
2
• Isospin und Strangeness die bei schwacher und EM-WW zerfallen:
By
1
1
0
0
0
1
1
1
0
S
0
−1
0
+1
−1
−1
−2
−3
0
I
−1
1
2
0
1
1
2
1
2
1
− 21
n
I3
0
Λ
π0
π−
K0
K−
Σ−
1
2
+ 12
p
π+
K+
0
K
Σ0
Ξ
+1
−
Σ+
Ξ
0
Ω−
η
0
0
• Konstanten:
2
klassischer Elektronenradius: re = 4π0eme c2 = 2.8 fm
8 m
Lichtgeschw.: c = 2.99792458 · 10 s
Planck: h = 6.6260755 · 10−34 J s
~ = 1.0545726 · 10−34 J s = 197.3 MeV
c·fm
~c = 0.197 GeV fm = 197.3 MeV fm = 197.3 eV nm
2
2
(~c) = 0.389 GeV mb
J
Boltzmann: k = NRA 1.380658 · 10−23 K
23
−1
Avogadro: NA = 6.0221367 · 10 mol
l
Molvolumen: VM = 22.41410 mol
12
1
AME: 12 m( C) = 1.6605402 · 10−27 kg
Elektron: e = 1, 60217733 · 10−19 C
me = 9.1093897 · 10−31 kg = 510.998918 keV/c2
Proton: mp = 1.6726231 · 10−27 kg = 938.272029 MeV/c2
Neutron: mn = 1.6749286 · 10−27 kg = 939.565360 MeV/c2
Nukleon: rNukleon = 1.2 · 10−15 m = 1.2 fm
0 h2
−11
m ≈ 0.5 Å
B.-Magneton: a0 = πµe
2 = 5, 2917 · 10
−12 A s
1
Dielek.: 0 = µ0 c2 = 8, 854187817 · 10
Vm
Permeabil.: µ0 = 4π · 10−7 AVms = 1.25663706 · 10−6 AVms
• Einheiten:
1 mb = 2.57 GeV−2 = 10−27 cm2
• Natürliche Einheiten:
SI
E0 = e · E
m0 = m/c2
p0 = p/c
Nat.
E[ GeV]
m[ GeV]
p[ GeV]
SI
t0 = t~
L0 = L~c
σ 0 [ mb] = 2.57σ
Nat.
t[ GeV−1 ]
L[ GeV−1 ]
σ[ GeV−2 ]