Höhere Mathematik 1

Höhere Mathematik 1
Kapitel 1
Grundlagen
Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
Höhere Mathematik 1
Kapitel 1
Inhaltsverzeichnis
1
Grundlagen ..........................................................................................................................1-1
1.1 Mengen, Mengenoperationen und Abbildungen...............................................................1-1
1.1.1 Spezielle Mengen.......................................................................................................1-3
1.1.2 Mengenoperationen....................................................................................................1-7
1.1.3 Abbildungen.............................................................................................................1-12
1.2 Reelle Zahlen...................................................................................................................1-16
1.2.1 Natürliche Zahlen.....................................................................................................1-16
1.2.2 Ganze Zahlen ...........................................................................................................1-17
1.2.3 Rationale Zahlen ......................................................................................................1-17
1.2.4 Mathematische Beweismethoden.............................................................................1-18
1.2.5 Irrationale Zahlen.....................................................................................................1-26
1.2.6 Axiome der reellen Zahlen.......................................................................................1-29
1.2.7 Anwendungen ..........................................................................................................1-32
1.3 Zahlensysteme .................................................................................................................1-49
1.4 Komplexe Zahlen ............................................................................................................1-59
1
Grundlagen
1.1 Mengen, Mengenoperationen und Abbildungen
Definition 1-1: (Menge)
Unter einer Menge versteht man die Zusammenfassung von Elementen zu einer Einheit. Dabei können die Elemente der Menge durch bestimmte Eigenschaften charakterisiert sein, oder sie werden explizit
aufgezählt.
Beschreibende Darstellungsform:
M  a | a besitzt die Eigenschaft E
Aufzählende Darstellungsform:
endliche Menge:
M  a1 , a2 , a3 ,, an 
abzählbar unendliche Menge:
M  a1 , a2 , a3 ,
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-1
Beispiel:
1) M 1  1,2,3,5,7,11
2) M 2   grün, rot, gelb, blau 
Symbolik der Elementbeziehung:
aM
aM
bedeutet: a ist ein Element der Menge M
bedeutet: a ist kein Element der Menge M
Beispiel:
1) 2  M 1 , 5  M 1 , 9  M 1
2) rot  M 2 , weiß  M 2
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-2
1.1.1 Spezielle Mengen
Definition 1-2: (Teilmenge)
Eine Menge A heißt Teilmenge der Menge B, wenn jedes Element der
Menge A auch Element von B ist.
Symbolische Schreibweise:
A  B A ist Teilmenge von B,
d.h. x  A  x  B
x
A
B
Beispiel:
1)
1, 2,3  M1, 1, 2,4   M1
2)
 rot, grün   M 2 , schwarz, blau   M 2
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-3
Definition 1-3: (Gleichheit)
Zwei Mengen A und B heißen gleich, wenn jedes Element der Menge
A auch Element von B ist und umgekehrt.
Symbolische Schreibweise:
A B
A ist gleich B,
x
d.h. x  A  x  B
A
B
Definition 1-4: (leere Menge)
Eine Menge M heißt leer, wenn sie kein Element enthält.
Symbolische Schreibweise:
M 
Hochschule Bremen

Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-4
Definition 1-5: (Potenzmenge)
M sei eine Menge und A sei eine Teilmenge von M, d.h. A  M. Wir
bilden eine Menge, die alle Teilmengen A von M enthält und nennen
diese Potenzmenge P(M ) von M.
Symbolische Schreibweise:
P  M    A| A  M 
Folgerung:
Es gilt stets, d.h. für jede Menge M
 PM   M  PM  ,
da   M und M  M.
Beispiel:
M 3  1,2 ,3  P  M 3    ,1,2 ,3,{1,2},{1,3},{2 ,3},M 3 
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-5
Definition 1-6: (Komplementärmenge)
Gegeben sei eine Menge A mit A  M. A heißt Komplementärmenge
von A bezüglich M, wenn gilt
A   x | x  M  x  A ,
d.h. A enthält alle Elemente von M die nicht zu A gehören. Die Menge M wird dabei als Universalmenge bezeichnet.
Folgerung:
M
M  ,   M
A
A
Beispiel:
A  M 3 , M  M 1  A   5,7 ,11
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-6
1.1.2 Mengenoperationen
Definition 1-7: (Vereinigungsmenge)
Unter einer Vereinigung(smenge) zweier Mengen A und B versteht
man die Menge aller Elemente, die mindestens einer der beiden Mengen A oder B angehören.
Symbolische Schreibweise:
A  B   x | x  A  x  B  A vereinigt B
A
B
A B
Beispiel:
A  1,2 ,3 , B   3,4 ,5  A  B  1,2 ,3,4 ,5
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-7
Definition 1-8: (Durchschnittsmenge)
Der Durchschnitt zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die sowohl A als auch B angehören.
Symbolische Schreibweise:
A  B   x | x  A  x  B  A geschnitten B
B
A
A B
Beispiel:
A  1,2 ,3 , B   3,4 ,5  A  B   3
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-8
Definition 1-9: (Differenzmenge)
Die Differenz zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente
von A, die nicht Element von B sind.
Symbolische Schreibweise:
A \ B   x | x  A  x  B  A ohne B
B
A
A\ B
B\A
Beispiel:
A  1,2 ,3 , B   3,4 ,5  A \ B  1,2  , B \ A   4 ,5
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-9
Rechenregeln für die Operationen , ,
Es gilt für alle Mengen A, B, C und D, die Teilmenge einer Universalmenge M sind
1) A  B  B  A
Kommutativgesetz
A B  B  A
 A  B   C  A  B  C 
 A  B   C  A  B  C 
A  A  C   A
B  B  C   B
Assoziativgesetz
4)
A  B  C    A  B    A  C 
Distributivgesetz
5)
A    A, A    
A  M  A, A  M  M
 – Nullelement
M – Einselement
2)
3)
A  B  C    A  B    A  C 
Hochschule Bremen
Verschmelzungsgesetz
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-10
6)
A A  M  A A  
7)
A A
8)
A B  A B
A B  A B
Komplement-Eigenschaft
de-Morgansche Regeln
Beweis von 8):
Nach 6) genügt es zu zeigen, dass  A  B   A  B  M und
A  B  A  B  




 A  B   A  B    A  B   A   A  B   B 


 

 A A  B  A B B

 M  B    A  M   M  M  M
 A  B   A  B   A  A  B   B  A  B 
     
   B     A       
 A A  B  B B  A
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-11
1.1.3 Abbildungen
Definition 1-10:
Werden durch eine bestimmte Vorschrift Elemente einer Menge A
Elemente einer Menge B zugeordnet, so spricht man von einer Abbildung aus der Menge A in die Menge B.
Abbildungen
 Relation, aus A wird in B abgebildet
Hochschule Bremen
A
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
B
1-12
 Surjektive Abbildung, A wird auf B abgebildet
A
(eindeutige auf)
B
W
D
 Injektive Abbildung, A wird in B abgebildet
(eineindeutige)
A
B
W
D
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-13
 Bijektive Abbildung, d.h. injektiv und surjektiv,
(eineindeutige auf bzw. umkehrbar eindeutig)
A
D
B
W
wobei D den Definitions- und
W den Wertebereich einer Funktion bezeichnet.
Definition 1-11: (Produktmenge)
A und B seien zwei Mengen. Dann heißt
A  B  (a,b) | a  A  b  B
Produktmenge der Mengen A und B (wird auch kartesisches Produkt
genannt).
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-14
Beispiel:
A  a, b , B  0,2,4  A  B  (a,0) ,(a,2) ,(a,4) ,(b,0) ,(b,2) ,(b,4)
Definition 1-12: (Abbildung)
A und B seien zwei Mengen. Dann heißt
F  ( x, y )| x  A  y  B  y  f ( x )  A  B
eine Abbildung aus der Menge A in die Menge B.
Beispiel:
F  (a,2),(b,0),(b,4)
Alternative Symbolik:
f : A B
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-15
1.2 Reelle Zahlen
Am Anfang mathematischer Betrachtungen steht auch der Zahlenbegriff. Die Zahlen gehören zu den grundlegenden mathematischen Objekten, mit deren Hilfe die realen Dinge oder Ereignisse quantifiziert
oder geordnet werden können.
1.2.1 Natürliche Zahlen
 : 1, 2, 3,
heißt Menge der natürlichen Zahlen,1)
0 : 0,1, 2,
heißt Menge der natürlichen Zahlen einschließlich 0
und es gilt
n, m    n  m  , n  m  
n, m    n  m  n  m   aber n  m  
1)
N kann auch axiomatisch erklärt werden. Dazu nutzt man die Kenntnis ihrer Eigenschaften. Wählt man unter diesen eine minimale Zahl von Grundeigenschaften derart
aus, dass sich alle weiteren von diesen ableiten lassen, so bilden diese ein Axiomensystem. Für N stammt das bekannteste von Peano (1891). a) 1 ist eine natürliche Zahl.
b) Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es genau einen Nachfolger n’. c) Es gibt keine natürliche Zahl, deren Nachfolger 1 ist. d) Die Nachfolger zweier verschiedener Zahlen
sind voneinander verschieden. e) Enthält eine Menge natürlicher Zahlen die Zahl 1 und mit jeder natürlichen Zahl n auch deren Nachfolger n’, so enthält sie alle natürlichen Zahlen
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-16
1.2.2 Ganze Zahlen
 :  , 3,  2,  1,0,1, 2,3, bzw.  :  p : p  0 (  p )  
heißt Menge der ganzen Zahlen und es gilt
p, q    p  q  , p  q  , p  q  
p
p
p, q    q  0  p, q teilerfremd    aber   .
q
q
1.2.3 Rationale Zahlen
 :  r  p q : p   , q   \ {0}
heißt Menge der rationalen Zahlen und es gilt
r1 , r2    r1  r2  , r1  r2  , r1  r2  
r1 , r2    r2  0  r1 r2   aber im allgemeinen ist
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
r1   .
1-17
1.2.4 Mathematische Beweismethoden
Grundlagen aus der Aussagelogik
A und B seien zwei Aussagen mit
A: Es regnet
bzw.
B: Die Straße ist nass
A: Das Tier ist ein Pferd
B: Es ist ein Säugetier
Implikation
A B
(aus A folgt B, wenn A dann B, A impliziert B)
Für die negierten Aussagen
 A: Es regnet nicht
bzw.
 B: Die Straße ist nicht nass
gilt
1)
B  A
 A:
 B:
Das Tier ist kein Pferd
Es ist kein Säugetier
1)
Die Aussage A  B ist nicht allgemein gültig, z.B. wenn das Tier kein Pferd ist, dann ist es nicht zwingend kein Säugetier.
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-18
Kontraposition
A  B  B  A
Beweis:
A
f
f
w
w
A B
w
w
f
w
B
f
w
f
w
B
w
f
w
f
A
w
w
f
f
B A
w
w
f
w
Nun bezeichne Aussage
A: die Voraussetzung
B: die Behauptung
Hochschule Bremen
(die Bedingung)
(den Sachverhalt)
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-19
Notwendige Bedingung
B  A  A  B
 Wenn die Voraussetzung A nicht erfüllt ist, dann gilt auch die Behauptung B nicht.
 Bei Erfüllung der Voraussetzung A kann keine Aussage über die
Gültigkeit der Behauptung B gemacht werden.
Hinreichende Bedingung
A  B  B  A
 Von der Gültigkeit der Voraussetzung A kann auf die Gültigkeit
der Behauptung B geschlossen werden.
 Wenn die Voraussetzung A nicht erfüllt ist, dann kann keine Aussage über die Gültigkeit der Behauptung B getroffen werden.
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-20
Notwendige und Hinreichende Bedingung
A B
 Wenn die Voraussetzung A erfüllt ist, dann gilt auch die Behauptung B.
 Wenn die Voraussetzung A nicht erfüllt ist, dann gilt auch die Behauptung B nicht.
Direkte Beweismethode
Beim direkten Beweis folgert man aus der Gültigkeit der Voraussetzung A durch aussagelogische Gesetze die Gültigkeit der Behauptung
B. Man geht von der Voraussetzung A aus und überführt diese durch
mathematisches Schließen direkt in die Behauptung B.
Voraussetzung A  Behauptung B
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-21
Beispiel:
Voraussetzung:
sn ( x )  1  x  x 2    x n
Behauptung:
1  x n 1
sn ( x ) 
,
1 x
x 1
Beweis:
sn ( x )  1  x  x 2    x n
xsn ( x ) 
x  x 2    x n  x n 1
 sn ( x )  xsn ( x )  1  x n 1
1  x n 1
sn ( x ) 
1 x
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-22
Indirekte Beweismethode
Nicht immer lässt sich eine Voraussetzung A problemlos in die gewünschte Behauptung B überführen. Es ist häufig leichter, von der
Nichtgültigkeit der Behauptung B auszugehen und daraus auf einen
Widerspruch zur Voraussetzung A, d.h. auf die Nichtgültigkeit der
Voraussetzung A, zu schließen.
Beispiel:
p    p 2 durch 2 teilbar  p durch 2 teilbar


Behauptung B
Voraussetzung A
Beweis:
Annahme:
p sei nicht durch 2 teilbar

B
 p  2 r  1 mit r  
4r  1
 p 2  (2 r  1) 2  4
r 2


durch 2 teilbar
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-23
 p 2 nicht durch 2 teilbar


A
somit gilt wegen der Kontraposition
 B  A  A  B
 p durch 2 teilbar
Beweis durch vollständige Induktion
Häufig ist die Gültigkeit einer Behauptung B zu zeigen, die von natürlichen Zahlen n   abhängt, d.h.
B  B ( n ).
Zum Beweis einer solchen Behauptung wird häufig das Beweisverfahren der vollständigen Induktion angewendet. Dabei wird ausgehend
von einem Induktionsanfang über die Induktionsannahme und einem
Induktionsschritt ein Induktionsschluss gefolgert.
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-24
1)
2)
3)
4)
Induktionsanfang
Induktionsannahme
Induktionsschritt
Induktionsschluss
Beispiel:
Behauptung:
2nn
2, n  2
B(n)
Beweis:
Induktionsanfang:
Induktionsannahme:
Induktionsschritt:
(n  n  1)
Induktionsschluss:
Hochschule Bremen
B(n0) ist richtig für n0  
B(n) ist richtig für n  n0
Aus B(n) folgt auch B(n  1)
Aus der Gültigkeit von 1) – 3) folgt, dass
B(n) richtig ist n   mit n  n0
n  2 : 2n  4  n  2  4
für beliebiges n  2 sei 2n  n  2
2n 1  2  2n  2(n  2)  2n  4  n  3  (n  1)  2
2n  n  2 gilt n  2
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-25
1.2.5 Irrationale Zahlen
Behauptung:
2 
Beweis: (indirekter Beweis, d.h. Widerspruchsbeweis)
Annahme:
2   2  p q
mit p und q haben keinen gemeinsamen Teiler >1
 2q 2  p 2
 p 2 durch zwei teilbar
 p durch zwei teilbar (Beweis siehe oben)
 p  2r mit r  
 2q 2  4r 2  q 2  2r 2
 q durch zwei teilbar
 p und q durch zwei teilbar
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-26
 Widerspruch zur Annahme
 Annahme falsch  2 
2 ist also eine irrationale Zahl. Irrationale Zahlen besitzen unendliche nicht periodische Dezimalbruchdarstellungen.
Beispiel:
2  1,4142135 
  3,1415926 
e  2,7182818 
(Eulersche Zahl)
Die Vereinigung aus der Menge der rationalen und der Menge der irrationalen Zahlen
 :    irrationale Zahlen 
heißt Menge der reellen Zahlen.
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-27
Definition 1-13:
1) Mengen M  , die endlich viele Elemente besitzen, heißen endliche Mengen.
2) Mengen, die nicht aus endlich vielen Elementen bestehen, heißen
unendliche Mengen
3) Mengen, deren Elemente sich mit Hilfe der natürlichen Zahlen
nummerieren lassen, heißen abzählbare Mengen.




ist eine abzählbare unendliche Menge.
ist eine abzählbare unendliche Menge.
ist eine abzählbare unendliche Menge.
ist eine nicht abzählbare unendliche Menge.
Eine nicht abzählbare unendliche Menge bezeichnet man als überabzählbar.

ist eine überabzählbare Menge.
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-28
1.2.6 Axiome der reellen Zahlen
Körperaxiome1)
1) a   , b    a  b  
a) a  b  b  a
Abgeschlossenheit der Addition
Kommutativgesetz
Assoziativgesetz
b) (a  b)  c  a  (b  c)
c) a, b    x   mit a  x  b
( x : b  a neutrales/inverses Element)
bezüglich der Addition ist  eine kommutative oder auch abelsche
Gruppe.
1)
Man spricht von einer Gruppe, wenn bzgl. der Addition 1b und 1c und bzgl. der Multiplikation 2b und 2c, von einer abelschen (kommutativen) Gruppe, wenn bzgl. der
Addition 1a, 1b und 1c und bzgl. der Multiplikation 2a, 2b und 2c und von einem Ring, wenn 1a,1b,1c und 2a, 2b sowie 3 gilt.
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
2) a   , b    a b  
1-29
Abgeschlossenheit der Multiplikation
Kommutativgesetz
a) a b  b a
Assoziativgesetz
b) ( a b ) c  a ( b c )
c) a   \{0}  b    x   mit a x  b
( x : b / a neutrales/inverses Element)
bezüglich der Multiplikation ist  \ {0} eine kommutative oder abelsche Gruppe.
3) a (b  c )  ab  ac
Distributivgesetz
 bildet einen Körper, d.h. in  werden die Eigenschaften 1) – 3) erfüllt.
Ordnungsaxiome
4) a, b   gilt
a) a  b  a  b  a  b
Hochschule Bremen
Trichotomiegesetz
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-30
b) a  b  b  c  a  c
Transitivitätsgesetz
c) a  b  a  c  b  c
Monotoniegesetz
a  b  c  0  ac  bc
 bildet einen angeordneten Körper, d.h. in  werden die Eigenschaften 1) – 4) erfüllt.
Archimedisches Axiom
5)
a    n   mit n  a
Vollständigkeitsaxiom
6)
A  , B  , mit a  A  b  B sei a  b
 c   mit a  c  b a  A  b  B
Mit diesen Axiomen lassen sich sämtliche Rechengesetze der reellen
Zahlen herleiten.
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-31
1.2.7 Anwendungen
Bezeichnungen
n
 a : a
Summenzeichen:
i
i 1
n
a
Produktzeichen:
i 1
Rechengesetze:
1)
2)
n
a  a
i 1
n
4)
i
k 1
n
k

i
i 1
 a
i
i 1
n
a
i 1
i
i
n
a
k  l 1
n
i 1
 a 2  a3    a n
: a1 a2 a3  an
n l
 a   b   a
i 1
n
3)
n
i
1
i
k l
l 
 bi 
   ai
i 1
Kommutativgesetz
Distributivgesetz
n
n
i 1
i 1
 i gilt ai  a   ai   a  na
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-32
5)
n
n
a  a
i
i 1
n
6)
7)
8)
k 1
n

k
n
n l
a
k  l 1
l 
k l
 a  b   a b 
a
i 1
n
Kommutativgesetz
i i
i
i
i 1
n
i 1
i 1
n
i
n
 i gilt ai  a  ai   a  a n
i 1
n
n
  a      a
i
i 1
i 1
i 1
i 1
n
i
  n  ai
i 1
Bezeichnungen
n – Fakultät:
 n
  i  1  2  3    ( n  1)  n
n ! :  i 1
1

Hochschule Bremen
für n  
für n  0
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-33
Binominalkoeffizient „n über k“:
n!

für n , k  0  k  n
n 

k
n
k
!(
)!

:
k  
  0
für n , k  0  k  n

und es gilt
 n  1  2    ( n  k  1)  ( n  k )  ( n  k  1)    ( n  1)  n
k  
1  2    ( n  k  1)  ( n  k )  1  2    ( k  1)  k
 
n  ( n  1)    ( n  k  1)
.

k!
Ferner ist
n
n
n
n
 n 
,
,
n




,
denn
1
1
,

k 
0
n
1
 n  1  n
 
 
 
 


und
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-34


 


 






 n     n ( n  1)  n  2  n  3  n  k  1 
.
 k     1  2  3  4 
k
 
    







  



 









  usw.


Beispiel:
7 7 65 4 3
 5   1  2  3  4  5  21
 
Allgemein gibt „n über k“ die Anzahl der Möglichkeiten an, ohne
Wiederholung aus n Elementen k auszuwählen.
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-35
Beispiel:
Beim Lotto sind aus 49 Zahlen 6 anzukreuzen
 49  49  48  47  46  45  44
 49  47  46  3  44  14 Millionen
 6 
1
2
3
4
5
6





 
Rechenregeln:
1)
 n  n 
   

k
n
k

  

2)
 n   n   n  1

     


1
k
k
k

   

Beweis: als Übung
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-36
Mit Hilfe dieser Eigenschaften kann das Pascalsche Dreieck aufgebaut
werden.
 0
 
 0
 1
1
 
 
0
 
1
 2
 2
 2
 
 
 
 0
 1
 2
 3
 3
 3
 3
 
 
 
 
 0
 1
 2
 3
 4
 4
 4
 4
 4
 
 
 
 
 
0
1
2
3
 
 
 
 
 4
 5
 5
 5
 5
 5
 5
 
 
 
 
 
 
0
1
2
3
4
 
 
 
 
 
 5
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
1
3
6
10
1-37
1
4
10
1
5
1
Binomischer Lehrsatz
Es sei a, b   und n  , dann gilt
n
n  n k k n  n  k n k

n
( a  b)     a b     a b  (b  a ) n
k
k
k 0  
k 0  
n
n  2 n 2
 a n  na n 1b    a n  2b 2    
a b  nab n 1  b n

2
n  2
Beweis: als Übung mittels vollständiger Induktion
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-38
Ungleichungen
Rechenregeln:
Es seien a, b, c, d  , dann gilt
1) a  b  c  d  a  c  b  d
2)
a  b  c  0  ac  bc
3)
0  a  b  0 1 b 1 a
4)
a  0  b  0   a  b  a 2  b2 
Beweis:
1) a  c  b  c  b  d
2)
3)
(c)  0  a (c)  b(c)  bc  ac  0  bc  ac
1
1
1 1
1 1
1 1
0  a  b   0,  0    a    b  
a
b
a b
a b
b a
Hochschule Bremen
4)
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-39
" ": 0  a  b  a 2  ab, ab  b 2  a 2  b 2
" ": a  0, b  0, a 2  b 2  a  b, denn sonst
wäre a  b  a 2  b 2 Widerspruch
Bernoulische Ungleichung
Für alle x   mit x  1 und alle n   gilt
(1  x ) n  (1  nx )
Beweis:
n  1: (1  x)  1  x
n  n  1: (1  x) n 1  (1  x) (1  x) n  (1
 x) (1  nx )

0
2
 1  (n  1) x  nx
  1  ( n  1) x
0
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-40
Definition 1-14: (absoluter Betrag)
Für alle a   sei
für a  0
a
| a |: 
 a für a  0
der absolute Betrag von a.
Eigenschaften:
Es seien, a, b   dann gilt
1) | a |  0, | a |  0  a  0
2)
| a |  max(a, a )
3)
| ab |  | a | | b |
4)
| a / b |  | a | | b |, b  0
5)
|a  b |  |a |  |b |
6)
|a |  |b |  |a  b |
Hochschule Bremen
Dreiecksungleichung
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-41
Beweis:
3)
für ab  0
 ab
| ab |  
  ab für ab  0
ab  0  a  0  b  0  a  0  b  0
 a  | a |  b  | b |  a   | a |  b   | b |
 | ab |  ab  | a | | b |
ab  0  a  0  b  0  a  0  b  0
 a  | a |  b   | b |  a   | a |  b  | b |
 | ab |   ab  | a | | b |
4)
a
1
1 |a |
1  1 b für b  0  1
 a   | a |  , denn


b
b
b |b |
b  1 b für b  0  | b |
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-42
5)
für a  b  0 gilt mit 2):
|a  b |  a  b  |a |  |b |
für a  b  0 gilt mit 2):
| a  b |    a  b   (  a )  ( b)  | a |  | b |
6)
| a |  | a  b  b |  | a  b  (  b )|  | a  b |  | b |
| b |  | b  a  a |  | b  a  (  a )|  | a  b |  | a |
 | a |  | b |  | a  b |  | b |  | a |  | a  b |
 | a |  | b |  | a  b |   | a |  | b |  | a  b |
 |a |  |b|  |a  b |
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-43
Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel
Es seien a, b   mit a > 0 und b > 0, dann gilt
(a  b) 2  ab ,
wobei
(a  b) 2 das arithmetische Mittel
und
ab
das geometrische Mittel
bezeichnet.
Beweis:
Da also a > 0 und b > 0 gilt
( a  b) 2  ab   ( a  b) 2   ab  ( a  b) 2  4ab
2
 a 2  2ab  b 2  4ab
 a 2  2ab  b 2  0  ( a  b) 2  0
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-44
Schwarzsche Ungleichung
Es seien n   und ai, bi   für i = 1,2,3,…,n , dann gilt
n
a b
n
a b

i i
i 1
n
2
i
i 1
i 1
2
i
Beweis:
für alle ,    gilt
n
n
0   (  ai   bi )   (  2 ai2  2 ai bi   2bi2 )
2
i 1
i 1

2
n
a
i 1
2
i
n
 2  ai bi  
i 1
2
n
b
i 1
2
i
und mit
n
n
A  a , B  b
i 1
Hochschule Bremen
2
i
i 1
2
i
n
und C   ai bi
i 1
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-45
folgt
 2 A   2 B  2 C  0 ( ,    )
Zu zeigen ist nun
|C | 
AB
Setzen von
  A für C  0
  B,   
für C  0
 A
liefert
 C   A |C |
und nach Einsetzen schließlich
2 AB  2 AB | C | 0 
Hochschule Bremen
AB  | C |
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-46
Verallgemeinerung der Dreiecksungleichung
Für alle n   und ai   mit i = 1,2,3,…,n gilt
n
n
 a   |a |
i 1
i
i
i 1
Beweis:
n  1: | a1 |  | a1 |
n  n  1:
n 1
a
i 1
i

n
a
i 1

i
n
a
i 1
n
i
 an 1
 | an 1 |
n 1
  | ai |  | an 1 |   | ai |
i 1
Hochschule Bremen
i 1
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-47
Verallgemeinerte Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel
Für alle n   und ai   mit i = 1,2,3,…,n gilt
1 n
 ai 
n i 1
n
n
a
i 1
i
Beispiel:
Es gelte ai  a für i = 1,2,3,…,n
1 n
1
1
a

a

a



a

na  a


 i n 1 2
n
n i 1
n

n
n
a
i 1
Hochschule Bremen
i
 n a1  a2    an  n a n  a
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-48
1.3 Zahlensysteme
Zur numerischen Rechnung werden die positiven reellen Zahlen in
Zahlensystemen durch Aneinanderreihen von Ziffern, die bei Brüchen
noch durch ein Komma getrennt werden, dargestellt. Die Ziffern sind
bei Potenz- (Stellenwert-) Systemen von einer Basis B abgeleitet.
Definition 1-15:
a  zn zn 1  z1 z0 , z 1 z 2  
a  zn B n  zn 1 B n 1    z1 B  z0 B 0  z 1 B 1  z 2 B 2 
Neben dem
 Dezimalsystem
B  10,
0 z9
sind für einige Anwendungen, z.B. Computer, das
 Dualsystem
B  2,
0  z 1

Oktalsystem
Hochschule Bremen
B  8,
0 z7
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
und
 Sedezimalsystem
sinnvoll.
B  16,
1-49
z  {0,1, ,9, A, B, , F }
Umrechnen von Dual-, Oktal- und Sedezimalzahlen in das
Dezimalsystem
Beispiel:
1) 1001, 012  1 23  0  22  0  21  1 20  0  21  1 22
 8  1  14   9, 2510
2)
 31,58  3  81  1 80  5  81  24  1  85   25, 62510
3)
 E8BD 16  14 163  8 162  11161  13 160   5958110
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-50
Umwandlen von Dezimalzahlen in das
Dual-, Oktal- und Sedezimalsystem
Umwandlung ganzer Zahlen
Beispiel:
1)  5 10   x 2
5 : 2  2 Rest 1
2 : 2  1 Rest 0
1: 2  0 Rest 1
Schreibt man die Reste von unten nach oben auf, so erhält man
 5 10  1012
2)
 22 10   x 2
22 : 2  11 Rest 0
11: 2  5
5:2  2
2:2 1
1: 2  0
Hochschule Bremen
Rest
Rest
Rest
Rest
1
1
0
1
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-51
also gilt  22 10  10110 2 , denn









   0  2  1  2  0   2  1   2  1   2  0  22

   






1
  


 

2



5



11
3)
 2210   x8
also gilt  22 10
Hochschule Bremen
22:8  2 Rest 6
2:8  0 Rest 2
  26 8
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-52
4)
 2210   x16
also gilt  22 10
22:16  1 Rest 6
1:16  0 Rest 1
 16 16
Umwandlung gebrochener Zahlen
Beispiel:
1)  0,37510   x2
0,375 2  0  0,75
0,75 2  1  0,5
0,5 2  1  0,0
Schreibt man die ganzzahligen Anteile von oben nach unten auf,
so erhält man  0,375 10   0, 0112 denn
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-53





   0 / 2  1 / 2  1  / 2  0  / 2  3  0, 375


 


8
1


 

3/ 2


3/ 4
2)
 0,110  x2
0,1 2  0  0,2
0,2 2  0  0,4
0,4 2  0  0,8
0,8 2 1  0,6
0,6 2 1  0,2

also gilt
Hochschule Bremen
 0,110   0, 000112
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-54
3)
 0,110  x8
0,18  0  0,8
0,88  6  0,4
0,48  3  0,2
0,28 1  0,6
0,68  4  0,8

demzufolge gilt  0,110  0, 06314

4)
 0,110  x16

8
0,116  1  0,6
0,6 16  9  0,6
0,6 16  9  0,6

somit gilt
 0,110   0,19 16
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-55
Rechnen mit Dualzahlen
0  0  0, 0  1  1, 1  0  1, 1  1  10
Addition:
+
0
1
Multiplikation:

0
1
Hochschule Bremen
0
0
1
1
1
0
0  0  0, 0 1  0, 1  0  0, 1 1  1
0
1
0
0
0
1
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-56
Beispiel:
Addition (5 + 22 = 27)10
101
 10110
11011
Multiplikation (22  5 = 110)10
10110 101
101100
10110
1101110
Hochschule Bremen
Subtraktion (22 - 5 = 17)10
10110

101
10001
Division (22 : 5 = 4,4)10
10110 : 101  100,01100
101
01000
101
110
101
01000
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-57
Umwandlung zwischen Dual-, Oktal- und Sedezimalsystem
Man wandelt eine Oktal- bzw. Sedezimalzahl in eine Dualzahl um,
indem man jede Oktal-/ Sedezimalziffer als drei- bzw. vierstellige
Dualzahl schreibt.
Man wandelt eine Dual- in eine Oktal- bzw. Sedezimalzahl um, indem
man von rechts nach links Dreier- bzw. Vierergruppen bildet und diese durch entsprechende Oktal- bzw. Sedezimalziffern ersetzt.
Beispiel:
1)
 20 10  14 16   0001 0100 2   24 8
2)
100 10   64 16   0110 0100 2  144 8
3)
 28 10  11100 2  1C 16   34 8
4)
 5110  1100112   3316   638
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-58
1.4 Komplexe Zahlen
Es ist bekannt, dass das Polynom
p( x )  x 2  1
keine reellen Nullstellen besitzt. Soll dieses Polynom auch Nullstellen
haben, so müssen wir den Bereich der reellen Zahlen erweitern. Dazu
wird festgelegt, dass die Gleichung
x2  1  0
von der imaginären Einheit j gelöst wird. Es gilt also
j 2  1
so dass z1 = j und z2 = j die Nullstellen von
z 1  0
2
 z12  1  j 2  1  1  1  0

 2

2
2
 z 2  1  (  j )  1  j  1  1  1  0 
sind.
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-59
Potenzen von j
j1  j ,
j 2   1,
j 3  j  j 2   j,
j4  j2  j2  1
allgemein gilt:
j 4 n 1  j ,
j 4 n  2  1,
j 4 n 3   j,
j 4 n  1,
n 0
Umformen von j2 = 1 liefert außerdem die Beziehungen
1
j
j  1
und



j
wird manchmal als Definition

spielt in E-Technik
eine wichtige Rolle
für j angegeben
Definition 1-16: (Komplexe Zahlen)
Für x, y   heißt
z = x + j y komplexe Zahl
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-60
mit
und
Re( z )  x
Realteil von z
Im( z )  y
Imaginärteil von z
Die Menge
   x  j y : x  , y  
heißt Menge der komplexen Zahlen.
y
imaginäre Achse
Gaußsche Zahlenebene
  z  : Im( z )  0  
definiert die reelle und
z   : Re( z )  0
5
z=5+j4
z=2+j3
die imaginäre Achse.
Hochschule Bremen
x
5
reelle Achse
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-61
Definition 1-17: (Gleichheit komplexer Zahlen)
Zwei komplexe Zahlen gelten als gleich, wenn sowohl die Real- als
auch die Imaginärteile übereinstimmen.
z1  x1  j y1  x2  j y 2  z2 
x1  x2  y1  y2 
Definition 1-18: (Konjugiert komplexe Zahlen)
Es sei z = x +j y  , dann heißt
y
z  : x  j y
1)
3
z=5+j3
die zu z konjugiert komplexe Zahl.
5
x
z* = 5 – j 3
1)
In der Mathematik wird die konjugiert komplexe Zahl von z durch z symbolisiert.
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-62
Definition 1-19: (Addition komplexer Zahlen)
Für z1 = x1 +j y1   und z2 = x2 +j y2   sei
z  z1  z2 : ( x1  x2 )  j ( y1  y 2 )
y
z=8+j5
5
z1 = 1 + j 2
z2 = 7 + j 3
x
5
Beispiel: (Addition und Subtraktion konjugiert komplexer Zahlen)
1) Addition:
1
z  z   ( x  j y )  ( x  j y )  2 x  x  ( z  z  )  Re( z )
2
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-63
2) Subtraktion
z  z  ( x  j y)  ( x  j y)  2 j y  y 
1
( z  z  )  Im( z )
2j
Definition 1-20: (Multiplikation komplexer Zahlen)
Für z1 = x1 +j y1   und z2 = x2 +j y2   sei
z  z1  z2 : ( x1  j y1 )  ( x2  j y2 )
 x1x2  j x1 y2  j x2 y1  j 2 y1 y2
 ( x1x2  y1 y2 )  j ( x1 y2  x2 y1 )  x  j y


 


Re z  x
Im z  y
Definition 1-21: (Betrag komplexer Zahlen)
Es sei z = x +j y  , dann heißt
|z| 
Hochschule Bremen
x 2  y 2  z  z
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-64
der Betrag von z, wobei
z  z   ( x  j y )  ( x  j y )  ( x 2  y 2 )  j (  xy  xy )  x 2  y 2
ausgenutzt wurde. |z| entspricht der Länge des zugehörigen Vektors.
Definition 1-22: (Division komplexer Zahlen)
Für z1 = x1 +j y1   und z2 = x2 +j y2   sei
z
x  j y1 ( x1  j y1 )  ( x2  j y2 )
z  1 : 1

z2 x2  j y2 ( x2  j y2 )  ( x2  j y2 )
 
z2
z2

 x1x2  y1 ( y2 )  j  x1( y2 )  x2 y1 )
x22  y22
xx yy
x y x y
 1 22 12 2  j 2 21 12 2  x  j y .
x2  y2
x2  y2




Re z  x
Hochschule Bremen
Im z  y
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-65
Beispiel:
Für z1 = 3 +j 4 und z2 = 1  j 2 folgt
1) Addition
z  z1  z2  3  j 4  1  j 2  4  j 2  2  2  j 
2) Subtraktion
z  z1  z2  3  j 4  1  j 2  2  j 6  2 1  j 3
3) Multiplikation
z  z1  z2   3  j 4   1  j 2    3  8   j  4  6   11  j 2
4) Division
z
z1 3  j 4 (3  j 4)  (1  j 2) (3  8)  j (6  4)



 1  j 2
2
2
z2 1  j 2 (1  j 2)  (1  j 2)
1 2
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-66
Es gelten die folgenden Eigenschaften
Satz 1-1:
Für z, z1, z2   gilt
1)
( z1  z2 )  z1  z2
2)
( z1  z2 )  z1  z2
3)
( z1 z 2 )  z1 z 2 mit z 2  0
4)
( z  )  z
5)
Re( z ) 
1
( z  z )
2
6)
Im( z ) 
1
( z  z )
2j
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
7)
z  z   | z |2
8)
1 z  z  ( z  z  )  z  | z |2
9)
| z |  | z |
1-67
10) | z |  0
11) | z |  0  z  0
12)
| z1  z2 |  | z1 |  | z2 |
13)
| z1 z2 |  | z1 | | z2 | mit z2  0
14)
| z1  z2 |  | z1 |  | z2 |
Hochschule Bremen
Dreiecksungleichung
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-68
Beweis:

1) ( z1  z2 )  ( x1  j y1  x2  j y2 )   ( x1  x2 )  j ( y1  y2 )
 ( x1  x2 )  j ( y1  y2 )  ( x1  j y1 )  ( x2  j y2 )  z1  z2
2)
( z1  z2 )   ( x1  j y1 )  ( x2  j y2 )   ( x1x2  y1 y2 )  j ( x1 y2  x2 y1 )


 ( x1x2  y1 y2 )  j ( x1 y2  x2 y1 )
 ( x1  j y1 )  ( x2  j y2 )  z1  z2
3)
( z1 z2 )   ( x1  j y1 ) ( x2  j y2 )   ( x1  j y1 )  ( x2  j y2 ) | z2 |2 


 ( x1  j y1 )  ( x2  j y2 ) | z2 |2
  x1  j y1   ( x2  j y2 ) | z2 |2  z1  z2 ( z2  z2 )  z1 z2
4)
( z  )  ( x  j y )  x  j y  z
5)
1
1
( z  z  )   ( x  j y )  ( x  j y )   x  Re( z )
2
2
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-69
6)
1
1
( z  z ) 
 ( x  j y )  ( x  j y )   y  Im( z )
2j
2j
7)
z  z  ( x  j y)  ( x  j y )
 ( x 2  y 2 )  j (  xy  xy )  x 2  y 2  | z |2
8)
1 z  1 ( x  j y )  ( x  j y )  ( x  j y )  ( x  j y )   z  | z |2
9)
| z  |  | x  j y |  | x  j (  y )| 
10) | z | 
x 2  (  y )2 
x2  y2  | z |
x2  y2  0
11) | z |  0   x  0  y  0  z  0
12) | z1  z2 |  ( x1  j y1)  ( x2  j y2 )  ( x1x2  y1 y2 )  j ( x1 y2  x2 y1)
 ( x1x2  y1 y2 )2  ( x1 y2  x2 y1)2
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-70
 x12 x22  2x1x2 y1 y2  y12 y22  x12 y22  2x1x2 y1 y2  x22 y12
 x12 x22  x12 y22  x22 y12  y12 y22
 ( x12  y12 )  ( x22  y22 )  x12  y12 x22  y22  | z1 |  | z2 |
13) | z1 z2 |  | z1 z2 ( z2 z2 )|  | z1 z2 | z2 |2 |  | z1 z2 | | z2 |2
 | z1 |  | z2 | | z2 |2  | z1 |  | z2 | | z2 |2  | z1 | | z2 |
2
14) | z1  z2 |  | z1 |  | z2 |  | z1  z2 |   | z1 |  | z2 | 
2
| z1  z2 |2  (z1  z2 )  (z1  z2 )  (z1  z2 )  (z1  z2)
 z1z1  z2 z2  z1z2  z1z2  | z1 |2  | z2 |2  2Re(z1z2)
 | z1 |  | z2 |
2
 | z1 |2  | z2 |2  2| z1 |  | z2 |
 | z1 |2  | z2 |2  2| z1 |  | z2 | | z1 |2  | z2 |2  2| z1 z2 |,
da 2 Re( z1 z2 )  2| z1 z2 | folgt die Richtigkeit der Behauptung.
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-71
Definition der Kreisfunktionen (trigonometrische Funktionen)
Graph der Sinus- und Kosinusfunktion
y  sin 
y
b
Es gilt:

a

x
x  cos


2

3
2
2

r2 = a2 + b2 (Pythagoras)
r = Hypotenuse
a = Ankathete
b = Gegenkathete

2

3
2
2

Hochschule Bremen
a
b
 cos  ,
 sin 
r
r
a cos 

 cot 
b sin 
b sin 

 tan 
a cos 
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-72
Eigenschaften
1)
sin(  )   sin 
ungerade Funktion
2)
cos(  )  cos 
gerade Funktion
3)



cos      sin  
2


 
 cos      sin 
2



cos     sin  

2




sin      cos  
2


 
 sin       cos 
2



sin       cos  

2

Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-73
4)
sin(  2k )  sin  
 für k  
cos(  2k )  cos  
Periodizität
5)
(cos  ) 2  (sin  ) 2  cos 2   sin 2   1
Pythagoras
Hochschule Bremen
Winkel
[rad] [deg]
0
0
Winkelfunktionen
sin
cos
tan
cot
0
1
0
-
 /6
30°
12
 /4
45°
 /3
60°
3 2
 /2
90°
1
1
2
3 2
1
2
1
3
1
12
0
3
3
-
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1
1
3
0
1-74
Additionstheoreme
Es gelten
1) sin(1   2 )  sin 1 cos  2  sin  2 cos 1
2) cos(1   2 )  cos 1 cos  2  sin 1 sin  2
1
1
e
r

b
c
1
d
a
1
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-75
Beweis:
c ab
1)

 sin(1   2 )
r
r
a
d
a a d
 sin 1 ,
 cos  2     sin 1 cos  2
d
r
r d r
b
e
b e b
 cos 1 ,
 sin  2     sin  2 cos 1
e
r
r r e
a b
 sin 1   2     sin 1 cos  2  sin  2 cos 1
r r
bzw.
sin(1   2 )  sin 1  (  2 ) 
 sin 1 cos(  2 )  sin(  2 ) cos 1
 sin 1 cos  2  sin  2 cos 1
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-76





cos(1   2 )  sin  1   2    sin   1     2 
2
2



2)




 sin  1   cos  2  sin  2 cos  1  
2
2


 cos 1 cos  2  sin 1 sin  2
bzw.
cos(1   2 )  cos 1  (  2 ) 
 cos 1 cos(  2 )  sin(  2 ) sin 1
 cos 1 cos  2  sin 1 sin  2
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-77
Graphen der Tangens- und Kotangensfunktion

-
tan  
Hochschule Bremen




-
sin 
cos 
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus


cot  



cos 
sin 
1-78
Umkehrfunktionen
y  cos x
y  arccos x
und deren Umkehrfunktion
 1, 1  0,  
   1, 1
y  sin x
y  arcsin x
und deren Umkehrfunktion
 1, 1   
   1, 1
y  tan x
2 ,  2
y  arctan x
und deren Umkehrfunktion
 \ (2k  1)  2 | k    
     2,  2 
y  cot x
y  arccot x
und deren Umkehrfunktion
   0,  
 \ k | k    
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-79
Polarkoordinatendarstellung komplexer Zahlen
Für z = x +j y   und z  0 gilt die trigonometrische Darstellung
z  x  j y  r cos   j r sin   r (cos   j sin  )
mit
z
y
r  |z| 
x2  y2
und

arctan  y x 

 2

  2
  arctan  y x 
Hochschule Bremen
x
für x  0
für y  0  x  0
für y  0  x  0
für x  0
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-80
Mit Hilfe der Eulerschen Formel
e j  cos   j sin 
die hier ohne Beweis angegeben wird, erhält man die exponentielle
Darstellung komplexer Zahlen gemäß
z  r e j
und es gilt
e j1  e j2  e j (1 2 ) ,
denn
e j1  e j 2  (cos 1  j sin 1 ) (cos  2  j sin  2 )
 (cos 1 cos  2  sin 1 sin  2 )  j (sin 1 cos  2  sin  2 cos 1 )
 cos(1   2 )  j sin(1   2 )
 e j (1  2 )
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-81
Satz 1-2:
Für z  r e j, z1  r1 e j1, z2  r2 e j2   gilt
1)
z   r e  j
2)
z1 z 2  r1 r2 e j 1  2 
3)
4)
1 1  j
 e
z r
z1 r1 j 1  2 
 e
z 2 r2
5)
z n  r n e jn
6)
z n 
Hochschule Bremen
1  jn
e
rn
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-82
Beweis:
1) z   r (cos   j sin  )  r (cos   j sin  )
 r  cos(  )  j sin(  )   r e  j
2)
z1 z2  r1 e j1 r2 e j 2  r1 r2 e j (1  2 )
3)
1 z
1
1
 2  2 r e  j  e  j
z z
r
r
4)
z1
1
1
r
 z1  r1 e j1 e  j 2  1 e j (1  2 )
z2
z2
r2
r2
5)
6)
n  1:
z  r e j
n  n  1: z n 1  z z n  r e j r n e jn  r n 1 e j ( n 1)
z
n
e  jn
1
1
1
 n  n jn   jn  n e  jn
z
r e
e
r
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-83
Formel von Moivre
( e j ) n  e jn  cos( n )  j sin( n )  (cos   j sin  ) n
Darstellung der Multiplikation
y
z1z2
r1r2
z2
r2
z1
r1
φ1
Hochschule Bremen
φ2
φ1+φ2
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
x
1-84
Wurzeln komplexer Zahlen
Es sei a  , a  0 und n  .
Frage:
Für welche z   gilt zn  a, d.h. welche z sind Nullstellen
des Polynoms zn  a  0 ?
Mit a  r e j und z  p e j folgt
z n  p n e jn  r e j
 p n  r und n    2 k
k 
 p  n r und   (  2 k ) n .
Also sind
zk  r e
n
j
  2 k
n
mit k  0,1,, n  1.
Lösungen (Wurzeln) der Gleichung zn  a  r e j. Alle anderen k führen zu gleichen Werten, denn
z n  z0 , z n 1  z1 usw.
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-85
Diese n Wurzeln von a bilden die Ecken eines regelmäßigen n-Ecks
auf dem Kreis mit dem Radius n r .
Beispiel:
1)
z 5  1, d.h. a  1  1e j 0 und n  5,
 zk  5 1 e
0  2 k
j
5
 2k
 cos
 5
y
z1
z2

 2k 
  j sin 


 5 
und fü r k  0,1,, 4 gilt
z0
x
z3
z4
 2 
 2 
 4 
 4 
sin
,
cos
sin
z0  1, z1  cos 
j
z
j



2







 5 
 5 
 5 
 5 
 6 
 6 
 8 
 8 
z3  cos    j sin   , z4  cos    j sin  
 5 
 5 
 5 
 5 
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-86
2)
z 2  j , d.h. a  j  1e j 
 zk  1 e
2
j
 2  2 k
2
und n  2,




 cos  k   j sin   k 
4

4

2
und für k  0,1 gilt
 
 
z0  cos    j sin  
4
4
1

(1  j )
2
 5 
 5 

z1  cos 
j
sin



 4 
 4 
1

(1  j )
2
Hochschule Bremen
y
z0
x
z1
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1-87
Beispiel:
Multiplikation einer komplexen Zahl mit j bedeutet geometrisch eine
Drehung des Zeigers um +90°
y
z  r e j ,
j  1 e j

jz  re
jz
2
φ+/2
r
j   2 
z
r
φ
x
Beispiel:
Multiplikation (Division) einer komplexen Zahl mit –j (durch j) bedeutet geometrisch eine Drehung um –90°
y
z  r e j ,
 j  1 e  j
  jz  re
z
2
1 j
j    2 
r
φ
-jz = z/j
r
φ-/2
Hochschule Bremen
Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
x
1-88
Übungen zur Höheren Mathematik 1 / Kapitel 1
Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
Aufgabe 1-1: Beweisen Sie
ab
 ab , a,b  , a  0, b  0 (Ungleichung für geo- und arithmetisches Mittel)
2
2
b)  a1b1  a2b2    a12  a22  b12  b22  (Schwarzsche Ungleichung)
a)
Aufgabe 1-2: Beweisen Sie durch vollständige Induktion
n  n  1 2n  1
6
k 1
n
k
n2
b)  k  2  n
2
k 1 2
n
a)
k
2

Aufgabe 1-3:
Untersuchen Sie für welche x  gilt
a) x( x 2  3x  1)  3
2x
x
b)
x4
Aufgabe 1-4:
Untersuchen Sie für welche x  gilt
a)
x  3  2x  1
b)
x 1  x  2  4
Aufgabe 1-5: Man berechne z1  z 2 , z1  z 2 , z1  z 2 , z1 : z 2 , z1 *  z 2 , z1 und z 2
a)
b)
c)
d)
z1
z1
z1
z1
 1 j 3
 2  j3
 4  j5
 j
z2
z2
z2
z2
 1 j
 3  j5
 4  j5
 2  j 4
1
Übungen zur Höheren Mathematik 1 / Kapitel 1
Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
Aufgabe 1-6: Schreiben Sie folgende komplexe Zahlen in der Form z  x  jy
a) z  e j 3
b) z  e
c) z  e
d) z  e
 j
3
j11 
6

j 3   2 n
2

n
Aufgabe 1-7: Stellen Sie folgende komplexe Zahlen in der exponentiellen Form dar.
a) z  j 2
b) z  1  j
c) z  3  j 3
Aufgabe 1-8: Man berechne Real- und Imaginärteil sowie Betrag und Argument von
2 j

a) z  
2
 1  1  j 


9


*  ,


1 
arctan( x )  arctan   
x 2
99
1 j 
b) z  

1 j 
n
1

c) z   1  j 3 
2



Aufgabe 1-9: Ermitteln Sie sämtliche Lösungen der Gleichungen
a) z 3  3  j 3
b) z 4  81
Aufgabe 1- 10: In welchen Bereichen der Gaußschen Zahlenebene liegen die komplexen
Zahlen z , für die die folgenden Beziehungen erfüllt sind.
a)
z  1 z 1  1
b) z  z*  1
c)
arg z 

2
d) Re z  Im z  1
2