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Zusammenfassung
Physik I
Michael Müri
Bewegungen
Momentanbeschleunigung a(t)=dv/dt=d2x/dt2
Momentangeschwindigkeit: v(t)=dx/dt
B 
 A
 B
Relativgeschwindigkeit: v T =v T v A
B 
 A
(Geschwindigkeit System A im Vgl. zu B: v A =−v B
)
Gleichförmige Bewegungen
1 2
v=a tv 0
x= a t v 0 t
2
Mehrdimensionale Bewegungen
r =x ex y ey ,
v t=d r /dt , a t =d 2 r /d t 2
Ortsvektor 
Schräger Wurf: v 0x =v cos  , v 0y =v sin  , a x =0 , a y =−g , v x =v 0x , v y =v 0y −g t
x t =x 0v 0x t , y t = y 0v 0y t−1/2 g t
2
⇒ y  x =
v 0y
g
2
 x 2  x
v 0x
2v 0x
Gleichförmige Kreisbewegung
∣ v∣  r v t  r v v 2
=
⋅
= ⋅ =
Zentripetalbeschleunigung: a zp =
t
r t  t  t r r
v2
Momentanbeschleunigung: azp =a zp⋅
e r= er
r
2 r
Periode T, Strecke 2πr → v=
T
∣ ∣
v t⊥r t ∀ t

Newtonsche Axiome
Trägheitsgesetz:
Falls keine Kraft wirkt bleibt die Geschwindigkeit konstant
∑ F x =m⋅a x , ∑ F y =m⋅a y 
 BA=− F
 AB 
F
Actio=Reactio:
− m1 m 2 r12
 21=
F
⋅
Gravitationsgesetz:
2
r 12
r 12
 =m⋅a
F
m 1 /m 2=a 2 /a 1
 1
F
2 =−m1 g
g=
 m2
 g Äquator g Pol 
2
r 12
Keplersche Gesetze
1 r
F  r ∝ 2⋅
r r
1. Planeten bewegen sich auf Ellipsen (Bahnkurven = Kegelschnitte)
2. Verbindungslinie Erde-Sonne überstreicht bei gleicher Zeit gleiche Flächen (Drehimpulserh.)
3. T=Umlaufzeit, r=Hauptachse der Ellipse: T 2 ∝r 3 (Annahme mS >> mE)
m E⋅v 2
m E mS
Spezialfall: Kreisbahn
=
,
2
r
r
mS
v =
r
2
3
r ⋅4 
⇒ T =
r ms
2
2
Reibung
Haftreibung:
∣F R , h , max∣=R ,h⋅∣FN∣
krummlinige Bewegung:
∣FR , g∣=R , g⋅∣FN∣
, Gleitreibung:
Zentripetalkraft azp =
−v
r
2
, Rollr.:
∣FR , r∣=R ,r⋅∣FN∣
r
⋅ wird von Reibungskraft kompensiert
r
Trägheits-Scheinkräfte
v b  t =v I t −v BI  t a  B=a I −aBI = −aBI  (=Zentrifugalkraft a(I)=b. Inertialsystem (ruhend) )
Coriolis-Kraft
a c =2v 
F c=a c m=2 m v 
[email protected]
Fc =2 m v ×
 (z.B. konst. Bewegung über rot. Scheibe)
V 1.3
1/15
Zusammenfassung
Physik I
Michael Müri
Arbeit & Energie
S2
∣⋅ x⋅cos =∫ F
 ⋅ds
 , F
 =
W = E=∣F
F  r 
W =W 1W 2...= F x ,1F x , 2...⋅ x
S1
1
2
m v (Rotation: E kin ∝  2 ), potentielle Energie: E pot =m g h
2

Hooke'sches Gesetz: F =−k⋅x⋅ex (k=Federkonstante)
dW 
= F⋅
v t
Leistung: P=
dt
W =W ext W kons W nk
W ext W nk = E mech = E kin E pot
v 2E
1
2
Bsp: Pendel m g h= m v E ⇒ v E = 2g l 1−cos 
, F s=m ga y  , a y =
2
l
2
 E mech =−0.5 mv A= F r⋅ s= E wärme
Bremsen durch Reibung:
kinetische Energie: E kin=
Masse & Energie
E=mc2
−31
2
2
9
Elektron: m E =9.1⋅10 kg ⇒ mc =511 keV (Proton: m P =m E⋅2000 ⇒ mc =10 eV
Kernreaktion: 2.22 MeV Energie pro Kernreaktion
Impulserhaltung
Schwerpunkt:


mi
mi
∑ mi =m
vi , as =∑ ai
i
m
m
i
i
i
m=⋅⋅r =m/l  ⇒ dm=⋅r⋅d  ; y=r sin 
Bsp: Kreisscheibe
1
1
r 
2r
y s = ∫ dmr =
 r d r sin = ∫0 d  sin =
∫
m
 r


x 1 , S m1 x 2 , S m 2
Bsp: 2 Objekte mit Massen mi und Schwerpunkten  x , y i , S
⇒ x s=
yS analog
m1m2
Bewegungsgleichung: m
Impulserhaltung:
Energie:
unelastischer Stoss:
elastischer Stoss:
(2)/(1)→(1)
mi
r ,
m i
rs=∑
d 2 rs
dt
ps =
2
d
d
p t= m⋅v = ṁ v m ̇v= Fext
dt
dt
d rs
d 
ps
p i = m vs =m

= const
=
F
dt
dt
=
F
∑
i
vs=∑


E pot =m⋅g⋅h s
1
1
2
2
E kin= m vs  ∑ m i  vi− vs  (kin. E der Schwerpunkt- und Relativbew.)
2
2 i
vor
m1 v 1
nach
(m1<<m2: v2nach<<v1vor ; m1=m2: v2nach=1/2 v1vor ; m1>>m2: v2nach=v1vor )
v2 =
m1m 2
vor
nach
nach
m 1 v vor
(1)
1 m 2 v 2 =m1 v 1 m 2 v 2
1
1
1
1
vor 2
vor 2
nach 2
nach 2
m  v   m 2 v 2  = m1  v1   m 2  v 2  (Energieerhaltung) (2)
2 1 1
2
2
2
m
−m
2m
2m 1 vor m1−m 2 vor
n
1
2 vor
2
vor
n
⇒ v 1=
v1 
v2 ,
v2 =
v −
v
m 1m 2
m 1m2
m1 m 2 1
m1m 2 2
vor
elastischer Stoss in 3D: Spezialfall m 1=m 2 , 
v 2 =0
vor
⇒ v1 = v1
nach
v2
nach
v 2
n 2
n 2
;  v1  = v1   v2 
→ Winkel zwischen v1nach und v2nach beträgt 90°
nach
vor
veränderliche Masse: v m =v R −v rel
[email protected]
⇒
mR
d vR
d mR
=v rel
F
dt
dt
V 1.3
R=Rakete, m=Masse,
F=externe Kraft
2/15
Zusammenfassung
Physik I
Michael Müri
Drehbewegungen
2
2

konstante Beschl.:  =0 2 − 0 
=d

 /dt
2
d
 d 
=

= 2
dt
dt
a t i =r i⋅
v t i=r i⋅
st i=r i⋅
2
a r i=r i⋅
Winkelgeschwindigkeit:
Winkelbeschleunigung:
Tangentiale Werte:
Radiale Werte:
kinetische Energie (Rotation):
E kin =∑
ges
i
Trägheitsmoment I:
1
1
1 2
1 2
2
2
2
2
mi v i = ∑ mi r i  =  ∑ mi r i =  I
2
2 i
2
2
i
Stabilste Symmetrieachse hat das grösste Trägheitsmoment
I =∑ mi r i =∫ r dm (kontinuierliche Masseverteilung)
2
2
i
m
m
= 2 , dm= dA= 2  r dr
A r s
rs
1
2
2 m
2
I =∫ r dm=∫0 r
2 dr = m r s
2
2
 rs
=
Bsp: homogene Scheibe
Bsp: dünner Ring dr ≪ r
⇒ I =∫ r dm=r
2
l /2
2
∫ dm=r 2 m
l/2
∫ r dm= ∫ r  A dr= A ∫ r dr
Bsp: langer, dünner Stab I =
s
2
3
= A
−l / 2
V
2
−l /2
2
l
l
1
2
=

Al ⋅ = ml

12
12 12
m
l
Achse durch Endpunkt: I = A
3
I =I sm⋅h2
T ∝ −1 ∝
Umlaufzeit:
Drehmoment:

∫ r 2 dr = A l3 = 13 m l 2=I sm⋅ 2l
0
Steiner'scher Satz:
2
2
E tot = E pot  E kin TranslationE kin  Rotation
I
Richtung & Angriffspkt. der Kräfte sind relevant
F t=m⋅a t ⇒ M =r⋅F t =m r 2 
(Ft=tangential= F sin(a))
M ext =∑ M i =∑ mi r i  = ⋅I
 =r × F

M
2
Drehimpuls

L =r × p =mr 2   p =m v ; v=r 

Mext = ̇L=r × F

Bsp: Erde Lges= L
bahn L spin
L=I 

( 
 I =mr 2 für ein Teilchen))
, L
r ×
v ist konstant, Mext=0 → L = Eigendrehimpuls ist konst.
bahn =m 
Innere Kräfte haben keinen Einfluss auf den Drehimpuls!
Kreisel:
 ext =
Bewegungsgleichung: M
d
L
,
dt
L=I 
 (I und ω bzgl.Körpereigenen Achsen)
dL=M⋅dt =m g d dt (m g d = Drehmoment bzgl. Lagerung)
dL m g d m g d
=
=
Präzessionsfrequenz:  P =
(ω gross → stabiler Kreisel)
dt
L
I
ωP
L+dL
ω
dL
L
Achse (ω) horizontal: keine Bewegung, A. nach oben gerichtet → ganzes System dreht, da vertikale
Komponente des Drehimpulsvektors (dL) durch eine Drehung des Systems ausgeglichen wird.
[email protected]
V 1.3
3/15
Zusammenfassung
Physik I
Michael Müri
Schwingungen & Wellen
harmonische Schwingungen
F s=−k⋅x=m⋅a x =m⋅ẍ
⇒ x= A⋅cos t ; x=A⋅cos  tB sin  t=A e i t B e−i t
v t =− Asin  t , a x t=− 2 Acos t
v=ω/2π
Frequenz:
Kreisbewegungen:
(unabhängig von der Amplitude)
2
math. Pendel:  =g /l
→projezierte Bahnkurven Pendel/Feder identisch
2
 =k /m
Feder:
1 2 1
2
2
k x = k A cos  t
2
2
mv 2 1
2 2
2
E kin=
= m A  sin  t
2
2
−dE pot
F x=
=−k  x −x 0 
dx
1
2
E mech =E pot E kin= k A
2
Energie E pot =
Feder:
Kraft
(unabhängig von t)
mathematisch: −mg sin =m s̈ , s=l 
Pendel:
⇒ =0 cos  t
 ̈=−g /l⋅sin ≈−g /l 
mgd
mgd
2
M =m g d sin =I =I ̈ ⇒ ̈≈
 ⇒ =
I
I
physikalisch:
gedämpfte Schwingungen
v
Dämpfung prop. zur Geschwindigkeit: FR =−b 
−kx−b ẋ=m ẍ
Dämpfung: keine
Abklingzeit:
Ansatz: x=e t
b=0
∈ℂ


2
b
−20
2m
⇒ x=A e i  t B e−i  t
⇒ =±i  0
0
0
starke
b
≫ 0
2m
schwache
b
−b /2m t
 0 ⇒ x= A0 e
cos  ' t
2m
kritische
b
= 0 ⇒ =−b/2m (Abfallen auf 0 ohne Schwingung)
2m
=m/ b
∈ℝ , 0
−t /2 
A= A0 e
bei kritischer Dämpfung ist
Energie im harmonischen Oszillator:
Gütefaktor:
−b
⇒=
±
2m
⇒ x=Ae
2
2 −t /
(Energie ∝ A =A0 e
b k =2m  0
⇒ k=
t
 
b
 ' = −
2m
2
2
0
2
)
m
1
1
=
= ⋅T
b k 2 0 4 
1
2 2
−b t / m
E mech = m A ≈E mech t=0⋅e
2
Q=0⋅
(Energieverlust/Zeitintervall = T /=2 /Q )
je geringer die Dämpfung desto grösser die Güte
[email protected]
V 1.3
4/15
Zusammenfassung
Physik I
Michael Müri
Erzwungene Schwingungen
externe Kraft FA = FA ,0 cos  t
m ẍb ẋm 20 x=F A , 0 cos  t
Ansatz: x= Acos  t−
Lösung: A=
Extremfälle: ≪ 0
⇒ tan ≈0 ⇒ ≈0 ,
≫ 0 ⇒ tan =
b
2
−m 
=−
(ω=Frequenz der Anregung)
F A,0
 m  −  b 
A=
2
2
0
F A, 0
m
2
0
=
2 2
2
tan =
2
b
2
2
m0− 
F A, 0
k
b
=0 ⇒ = ,
m
A=
F A, 0
 m2 4 b2 
=
2
F A, 0
  b m 
2
2
2
A
A max
normale Dämpfung
schwache Dämpfung
Δω=ω0/Q
Amax/2
ω
ωres
 res= 0  1−1/Q
Amax =
ω/ω0
π
2
4 F A , 0 Q 2  20 /m
 4 Q 2−1
∝Q Q≫1
ω/ω0
Ausbreitung von Wellen
Wellenfunktion:
f  x±v⋅t
(v=Ausbreitungsgeschw. im entspr. Material)
Bsp: Seilwelle F x =F s⋅cos 1−cos 2 ≈0
F y =F s⋅sin 1−sin 2 ≈F s tan 1−tan 2 
Steigung
x x
∂ y  ∂ y
−
=0 Ansatz: y= f  x−v⋅t (Fs=Seilspannung, μ=m/l)
2
2
∂ x F s ∂t
f ' '  x−v t −/ F s v 2 f ' '  x−v t= f ' '  x−v t1−v 2 / F s =0
⇒ v=  F s /
2
2
Wellengleichung für Seilwelle:
allgemeine Wellengleichung
2
2
∂ y 1 ∂ y
− 2 2 =0
2
∂ x v ∂t
[email protected]

3D :  f −
2
1 ∂ y
=0 ,
2
2
v ∂t
V 1.3
2
=
2
2
∂
∂
∂
 2 2
2
∂x ∂ y ∂ z

5/15
Zusammenfassung
Physik I
Michael Müri
harmonische Wellen
f(x – vt)=A sin(kx – ωt)
k: Wellenzahl k=2π/λ
ω: Kreisfrequenz ω=2π/T=2πf
Ausbreitungsgeschwindigkeit: A sin k  x− /k⋅t 
λ: Wellenlänge
T: Schwingungsdauer
f: Frequenz der Schwingung
⇒ =v⋅k Dispersionsrelation
:=v
f  x−v t =∑ Ak sin kx−k t  (Superpositionsprinzip)
k
Energietransport
dy
dy
∂y
∂ y ∂y
2
2
P=F y =−F s sin  ≈−F s tan 
=−F s ⋅
(harm.W: P=−F s A k − cos t  x − t )
dt
dt
∂t
∂x ∂t
1
1
2 2
A  v
zeitliches Mittel: Pt = ∫ P t dt =
T
2
1
2
2
E = P  t=  A   x (mittl. Energie eines Wellenzugs der Länge Δx)
Energie:
2
Schallwellen in Gasen & Flüssigkeiten
Druckgradient → Gasbewegung → Dichteänderungen → Druckänderung
Überlagerung und stehende Wellen
Überlagerung von Wellen
Superpositionsprinzip: Sind y1 und y2 Lösungen der Wellengleichung, so ist c1y1 + c2y2 ebenfalls Lösung
Wellengleichung:
fixer Ort:
y  x ,t =A sin k x− t
k =2/ Wellenzahl,  = Phasenverschiebung
k x−t 1 − k x−t 2=t 1−t 2 −= t−=0
⇒  t=/
(Zeitunterschied für gleiche Amplitude an gleichem Ort)
fixe Zeit:
Phasendifferenz k x 1− t−k x 2− t=0
Gangunterschied  x= /k =⋅ /2
Überlagerung allgemein:
y 1 y 2=2A cos1/ 2⋅sin k x− t1/2 
const.
laufende Welle
=0⇒ cos 0=1
=⇒ cos /2=0
resultierende Welle:
harmonisch mit gleicher Wellenzahl & Frequenz
werden 2 Wellen P i=P m sin  i t addiert, so ergibt sich eine Schwebung:
1
1
P=2Pm cos  
1 − 2  t sin  
1 2  t ,die mit der Frequenz 

 schwingt.
2
2



Die Amplitude schwingt mit einer Frequenz von   .
Stehende Wellen
Grundwelle
n. Harmonische
Frequenz
Beidseitig
ℓ=λ/2
eingespannt
ℓ=n λ/2
vn= v/ λn = n * v / 2ℓ = n * v1
(v1=v / 2ℓ = Frequenz der Grundschwingung)
Einseitig
ℓ=λ/4
eingespannt
ℓ=(2n'+1) λ/4
(n'=0,1,2,)
vn= v/ λn = n * v / 4ℓ = n * v1
Anregung:
Laufzeit:
Periodisch mit Zeitintervallen Tn
2ℓ / v = Periode der Anregung
(Geschwindigkeit v=λn vn = const.)
2ℓ / v = n * Tn
(beidseitig eingespannt)
Resonanzbedingung: vn=1/Tn = nv/ 2ℓ
[email protected]
(beidseitig eingespannt)
V 1.3
6/15
Zusammenfassung
Physik I
Michael Müri
Wellenfunktion für stehende Wellen
Y n=An  x cos n tn 
An  x = An sin k n x  k n=2/n
Jeder Punkt schwingt harmonisch, zwei Punkte schwingen in Phase oder Gegenphasig (δ=0,π)
Überlagerung: Y  x , t=
Doppler-Effekt
v
 '= 0
v±v a
∑ An sin k n x cos nt n
n
v
= ,

 ' =1±
va
 Bewegt sich Quelle auf uns zu: - / von uns weg: +
v
va=Geschwindigkeit der Quelle (Auto, etc.) v=Schallgeschwindigkeit
1±v e /v
Bewegen sich Quelle & Empfänger, gilt  '= 0
1±v a / v
Bewegt sich das Medium, gilt zusätzlich v e eff =v e ±v m ,
Das elektische Feld
Coulomb'sches Gesetz:
Elektrisches Feld:
Feldlinien:
v0=ursprüngliche Frequenz
v a eff =v a ±v m
1 q1 q 2 r
⋅
⋅
4 o r 2 ∣r∣
FC
1
q r

E=
=
⋅ 2⋅
q 2 4 o r ∣r∣
FC =
q i r
1

E =∑ E i =
∑
4 0 i r i2 ∣r∣
i
(q2 ist eine kleine Probeladung)
gehen von + nach -. Feldstärke = Dichte der Linien
Fernfeld
[
 ]
 
cos 
cos 
e
a
a
13
sin

−1−3
sin

a
a
2
r
sin −
r
sin 
4  0 r
r
r
Fernfeld:

E=
Dipol im Fernfeld:
3sin cos 
2e a

E=
3
2
4 0 r −13sin 
elektrisches Dipolmoment:
a⋅q
p =
Bewegung von Ladungen:
 r , t
m ̈r =F =q E


(Abstand r vom Dipol >> 2a)
 = p × E
 (a = Abstand zwischen q und -q, M=Moment)
M
kontinuierliche Ladungsverteilung
Raumladungsdichte:
 r =q /V =const.
Obeflächenladungsdichte:
Linienladungsdichte:
dq=⋅dA
dq=⋅dl
Feld:

E =∫
V
Bsp: endliche Linienladung
1 dq r
4 0 r 2 r
dE x⋅ex =
l
dq= r dv
dE=
q
1
2
4 0 x p−1/4 l 2
1 dq r
⋅ ⋅
4 0 r 2 ∣r∣
dq=  r  dA , dq= r dl 
 dx
1
dq
1
e =
ex
2 x
4 0  x P −x 
4 0  x P −x 2
E x =∫ dE x =...=
0
 V : dq=⋅dV

 l=q
1
 grosse Entf. x p ≫l
2
xp
gemessen am Punkt P. Linienladung von x=0 bis x=l mit Ladung q
[email protected]
V 1.3
7/15
Zusammenfassung
Physik I
Michael Müri
Ist P nicht auf der Achse, so gilt dE =dE x dE y
E x=
1
q
cos  2−cos  1
l
4 0 y
E y=
1 q
sin  2−sin 1 
4 0 l y
θ ist der Winkel zwischen y-Achse und Anfang(1)/Ende(2) des Stabs
kreisscheibe/ringladung
Das Gauss'sche Gesetz
el =∬ 
E  x , y , z d A
Elektrischer Fluss:
( d
A ⊥ Fläche, zeigt nach Aussen)
A
qinnen
(A=geschl. Oberfläche, Radius & Form egal)
0
 
E und nA )
Ist A nicht gleich orientiert wie E, so gilt =∫ E d B , B=A cos  (θ=Winkel zwischen 
el =∯ 
Ed 
A=
B
Bsp:
qinnen
4 0


E Kugelschale  r =
E Kugelschale
20
0
Innerhalb der Kugelschale gilt q innen=0 ⇒ el =0 ⇒ E=0 da A≠0
E Kugel  r =
∣E Fläche h∣=
innen
r =0
Ladungen und Felder auf Leiteroberflächen
Elektrostat. GGW:
Ladungen im Leiter bewegen sich nicht (Kraft auf jede Ladung = 0, Einnen=0)
Das Innere des Leiters ist elektrisch neutral, die Ladungen sitzen nur auf der Oberfläche, 
E⊥A
Das elektrische Potential
Potentialdifferenz
 =−q E

 dl
 dl
d E pot =d E el =− F
b
E el

d =d
=− 
E dl
q

 =b−a =−∫ 
E dl
(ΔΦ ist stetig & Wegunabhängig)
a
Das elektische Feld zeigt in die Richtung, in der das Potential am schnellsten abnimmt.
Potential & kontinuierliche Ladungsverteilungen
P
rP
P
 dr
 = −q ∫ 1 dr = −q  −1  1 
=∫ d =−∫ E
4 0 r r 2
4 0 r P r B
B
B
r =
B
E=
−d  x 
dx
r B ∞

 =−d r  er =−∇
E
dr
1
∑ 4 
kontinuierliche Ladungsverteilung: =
i
homogen gel. Ring:
homogen gel. Ring:
q
=
4 0
1
 x 2a 2
,
qi
1 dq
=∫
 Annahme r ∞ ⇒  0
4 0 r
0 ri
q
x

E=
ex (a=Radius Ring, x=Distanz)
2
4 0  x a 2 3/ 2
Im Innern des Rings (r1<r<r2) ist das Feld konstant, sonst nimmt es prop. 1/r ab
1 q
,
4 0 r p
Kugelschale:
=
unendl. Linienladung:
 P − B=
[email protected]
1 q
4 0 r
=
E
1 q
er
4  0 r 2
 
rP
−1
 ln
2 0
rB
,
V 1.3
E=

=

2 0 r
1 q
,
4 0 r k
 =0
E
∀ r pr k

8/15
Zusammenfassung
Physik I
Michael Müri
Elektrostatische Energie & Kapazität
Bringe q2 aus dem Unendlichen: W 2=q2 2 =
1 q1 q 2
4 0 r 1 ,2
N
1
1
E el = ∑ q j  j (Φ j=Potential aller anderen Ladungen) , kontinuierliche Ladungsvert.: E el = q 
2
2 j=1
Kapazität:
U = 
Plattenkondensator:
C=Q/U =4  0 r

q
=
2 0 A 0

E=2⋅
1 Platte
auseinanderziehen d. Platten:
Zylinderkondensator:
[ F =C /V ]
⇒ U = =E⋅d =
U U0
=
,
d d0
2 0
C=l⋅
ln r 2 / r 1
Speicherung elektr. Energie:
E el =
E=1/ 2C U
qd
0 A
2
⇒ C=
q 0 A
=
U
d
d
1
F 1 ,2=−F 2 ,1= q E , W =
E el  d 0 
2
d
(r2=Radius des äusseren Leiters, r1=R.d. inneren L.)
1 q2 1
= qU0
2C 2
1
1 0 A
1
2
2
2
E el = C U =
 E d  = 0 E  A⋅d 
2
2 d
2
Volumen
1
2
E el /V = 0 E
2
1
1
=∑
in Serie:
parallel: C ges= ∑ C i
i
C ges i C i
( C= 0 A/d )
Energie des elektr. Feldes:
Energiedichte:
Kondensatoren...
Dielektrika:
U =E⋅d =
q
= 
A
E0 d U 0
=
r
r
C=C 0 r=0  r A/ d
q
CU 1
=
= ⋅U (U'=mit Dielektr.)
r C r C r
⇒ q '=C ' U '=C ' U =r 0 A/d U =r C U =r q
ohne Batterie: q ' =q=C ' U ' = r C U '
mit Batterie: U =U '
εLuft = 1
elektrischer Strom
I = q / t=q⋅n/V A v D durch Fläche A,
⇒ U '=
Teilchenzahl = n/V A vD Δt , (vD = Driftgeschwindigkeit)
freie Ladung  q=q n/V A v D  t
Widerstand
 =e 
E
elektrisches Feld E beschleunigt Ladungsträger: F
R=
U
l
=r
(r = spezifischer Widerstand)
I
A
⇒ U = a −b=∣
E∣ l
seriell: R ges=
∑ Ri
parallel:
1
1
=∑
Rges
Ri
Energetische Betrachtung
Welche Arbeit wird an Δq verrichtet? − E el = q⋅U
Rate des Energieverlusts:
− E el  q
=
U = I⋅U
t
t
Kirchhoffsche Regeln
 ds=0

Maschenregel: ∮ E
[email protected]
U =a −b 
Knotenregel:
V 1.3
∑ I i=0
9/15
Zusammenfassung
Physik I
Michael Müri
RC-Stromkreise
q0
Schalter offen: U c ,0 =
C
−t
U c ,0 q 0
wird geschlossen: I 0=
=
R
RC
Aufladen eines Kondensators: U −R
dq q t
−
=0
dt
C
−dq
I=
=I 0 e RC
dt
q t=C U 1−e −t / RC =q end 1−e−t / RC 
Das Magnetfeld
Die magnetische Kraft
v× 
B
Lorenzkraft: FL =q⋅
 ⊥
⇒ 
F ⊥ v , F
B [ B]=Tesla (Erdmagnetfeld ~10-4 T = 1 Gauss)
 =q vD× 
B
Gesamte Kraft auf Draht: F
n
⋅A l=I l × 
B
V
⇒
 
dFges= I dl×
B (für bel. Leiter)
Eigenschaften von Feldlinien beim Elektrischen Feld E und Magnetfeld B:
E
in Richtung der elektrostat. Kraft
B
⊥ Kraft auf bewegte Ladung
von q nach -q
es gibt keine
magn. Monopole!
sind immer in sich selbst geschlossen
Bewegungen einer Punktladung im Magnetfeld
magnetische Kräfte leisten keine Arbeit → Ekin bleibt konstant
2
z.B. Kreisbahn: q v B=m v / r
⇒ r =mv /qB Zyklotronenbahn ,
 q v × 
B
Geschwindigkeitsfilter: F ges =q E
F el
FL
⇒ ∣v∣=
2 q B q
=
= ⋅B
T
m m
∣E∣
∣B∣
Drehbare Leiterschleife bei B≠0
 ∣=I⋅∣
a∣⋅∣
B∣ ,
F1=−F2 ⇒ F ges =0
Kräfte ∣F

 ∣=∣F
 ∣⋅2 b sin =I⋅a⋅B⋅b sin =I A∣
Drehmoment: ∣M
B∣sin 
2
 =
⇒ M
× 
B
=n⋅I⋅
A (n: Anzahl Windungen)
magnetisches Dipolmoment: 
∣∣
Potentielle Energie:
c =
I
n
θ
B
F1
F2
b
Arbeit für die Drehung um dθ
 ∣ d =−∣
dW =−∣M
∣∣
B∣sin  d  ⇒ dE pot =−dW = Bsin d 
E pot = B cos  E pot , 0
 E pot 90 ° =0 ⇒ E pot , 0=0
⇒ E pot = B cos =−
B (ist relativ, Epot, 0 kann irgendwie definiert werden)

Der Hall-Effekt
Ein Strom I (┴ B) fliesst durch eine Platte mit Längen d und Höhe b. Die Spannung top/bottom UH:
q v 0 B=q E H
⇒ EH =
UH
b
⇒ U H =E H⋅b=v D B b
(UH ist linear abh. von B (klassischer Hall-Effekt))
[email protected]

n
I = q vd A
v
V 1.3
⇒

I

⋅B n∈ℕ 
d e n/V
n
I q=e
I
IB
=
=
=
v Aq v D
b d evD d eU H
d 0 ⇒ U H =
10/15
Zusammenfassung
Physik I
Quellen des Magnetfelds
0 v ×r /r
B=
q
bewegte Punktladung: 
2
4
r

q v = I dl
Ströme:
dB=
Leiterschleife (Mitte):
0
4
Michael Müri
−7
0 =4 10 Tm / A Permeabilität des Vakuums
 ×r /r
0 dl
1

∣
⇒ dB=
I⋅
dB∣∝ 2
2
4
r
r

0 I
I ∣dl∣
 ∣= 0 I
∣dl
⇒ B=∫ dB=
2 ∮

r LS
2 r LS
4 r LS

2  r LS
sin=sin 90=1
∣
dB∣=
Leiterschleife (Achse):
 0 I⋅dl
4  x 2r 2LS
2
r LS
0 2 r SL I
⇒ B x=∮ dB x =
4   x 2r 2LS 3 /2
⋅2  r LS
 x r

2
2
LS
sin 
2
∣∣=∣A⋅I∣=I r LS ⇒ B x =
magnetisches Moment der Schleife:
elektr. Dipol: e x =
q n
B x = 0 I
2 l
Spule:

q 2p
4 0 ∣x∣3
x2
2
2
x 2r LS
−
,∣p∣=e⋅a
a =dist.q /−q
Feld ...im Innern l≫r SL 
2
1
⇒ es entsteht ein Drehmoment

x 2=l / 2
x1
 x r
2
LS
x 1=l /2
⇒ B x =0 n/l I
q n
 I
2 0l
0 2I
⇒ B= ⋅
4 r ⊥
...am Ende B x =
2
0 I
0 2I
 =0
cos  d =
⋅ cos  1−cos  2  ℓ=∞: 1
4 r ⊥
4 r ⊥
2=180 °
1
dF 2
0 I 1
 = I ⋅dl × B
⇒
=−I 2
∝ I 1⋅I 2
Bsp: 2 parallele Drähte, I1 // I2: dF
2
2
2
1
dl 2
2 r ⊥
langer Draht:
0 2
4  ∣x∣3
B=∫
Ampère'sches Gesetz
C eine beliebige geschlossene Kurve,
∮C E dr =0
 konservativ
E

B∥dl
Bsp: langer Draht 
∮C B dr =∮C Bt dr=0 I C
∮ B r  dl=B r ∮ dl=B r ⋅2 r ⊥ =0 I
⇒ B=
0 I
2 r ⊥
Induktionsgesetz
magnetischer Fluss:
 mag=∫ 
B
dA
U ind =
A
Lenz'sche Regel:
−d mag −d
=
dA
∫ B⋅
dt
dt A
⇒
ds≠0
∮C E 
Induktionsspannung ist ihrer Ursache entgegengerichtet. Sind 2 Stromkreise
induktiv gekoppelt, hängt das Vorzeichen in 2 davon ab, ob 1 zu/abnimmt.
Spule induziert Spannung, die der angelegten Spannung entgegengerichtet ist
Selbstinduktion:
Induktion durch Bewegung

∫ B dA=b⋅l⋅b
B  mag =
⇒  mag =B⋅l⋅x t
dx=v⋅dt
FL  Fel =0
FL =q⋅vD × 
B , vD  v
[email protected]
Fel =q E⊥
V 1.3
U=
⇒
d  mag d
= Bl x
dt
dt
=B l v=−U ind
F L l q⋅v⋅B⋅l
Arbeit
=
=
=v⋅B⋅l
Ladung
q
q
11/15
Zusammenfassung
Physik I
Michael Müri
Induktivität L einer Spule
n
mag =0 I An
Selbstinduktion:
l


 mag
n
L=
=0
I
l
2
Al
U L =U ind −I R=−L
dI
−I R
dt
B
Gegeninduktion: L 21=
 mag ,1 , 2  mag ,2 , 1
n
=
=L12 ⇒ B1=0 I 1 Magnetfeld der inneren Spule
I1
I2
l
n2
n2 n1
2
2
2
 mag , 2 , 1=n 2⋅B1  r 1 = ⋅l⋅B1⋅ r 1=0 ⋅ ⋅l  r 1 I 1
l
l l
Energie des Magnetfelds (RL-Stromkreis)
U 0 I = I 2 R LI dI /dt
P Batterie
P=
PWiderstand
P Spule
dE mag
= L⋅I⋅dI /dt
dt
1
1 2
2
⇒ E mag =∫ dE mag = L I =
B Al
2
2 0
⇒ dE mag =L I dI
R-L-Stromkreis
einschalten: I 0⋅R=0
ausschalten: −I R⋅L
dI
⇒ U 0=L⋅
dt
dI
=0
dt
⇒ I =I 0 e
U0
U0
L
−t R / L
−t / 
1−e
=I E 1−e   I E=
, = 
R
R
R
U
L
 I 0= , = 
R
R
⇒ I=
−t /
Erzeugung von Wechselstrom
∣∣A∣ cos =n B Acos  t
Rotierende Leiterschleife in Magnetfeld,  mag =n⋅∣B
Induzierte Spannung: U ind =
−d mag
=n B A  sin  t=U max sin t
dt
Wechselstromkreise
1
2
2
2
I = I max cos  t  ⇒ P= R I max cos  t  P = R I max
2
U L ,max
U L = L dI /dt =U max cos t  ⇒ I =
sin t
P =0
L
U C =q/ C=U c , max cos  t , I = I max⋅−sin  t  I max =U max⋅ C 
P =0
Annahme δ=π/2: U R =U max cos  t ,
R-L-C-Stromkreis: U R U L U C =0 ,
Ansatz : q=q0 e
At
⇒ A=
2
schwache Dämpfung:
[email protected]
R
1
≪
2
LC
4L
V 1.3

−R
R2
1
±
−
2
2L
4C LC
⇒ q t=q0 e
−R / 2L t
e
i t
2
 =
1

LC
12/15
Zusammenfassung
Physik I
Michael Müri
Maxwell'sche Gleichungen
Verallgemeinerter Strom=realer Strom + Verschiebungsstrom
Verschiebungsstrom: I V = o
d  el
dt
⇒
 1q
∮A E dA=
 innen
Gauss'scher Satz: el =
⇒ q innen =o  el
0
 1 qinnen
∮A E dA=

1
d iv 
E =  r 
0
2.

∮A B dA=0
rot 
E=
3.

∮C E dl=
∫
dt
1.
0
−d
−∂ B
∂t
d iv 
B =0


B dA

∂E 

dA
∮C B dl=
0 I  0  0∫
∂t
 
 I =∫ J dA

J =Stromdichte
elektr. Ladungen sind Quellen von E
es gibt keine magnetischen Monopole
induzierte Spannungen = Änderungsrate des magnetischen Flusses
A C 
4.
d  el
dt
d qinnen
d  el
⇒
=0
= IV
dt
dt
∮C B dl =0  I  I v =0 I 0 0
rot 
B=0 
J 0 0
∂
E Magnetfeldlinien umgeben eine
∂t Fläche, durch die der Strom fliesst
Elektromagnetische Wellen
Im Vakuum gilt: =1 , =1 ,=0 , j=0
(in einer Dimension:
 
∂2 B
E
⇒ 
B
E − 0 0
=0 Wellengleichung
2
∂t
∂2 B
∂2 B
−

=0 )
0 0
2
2
∂x
∂t
Anwendung von Maxwell 2,4

laufende Welle : ∣k∣=2 /
1 2
1
2
8
−1
k = 2  ⇒ =k⋅v=k⋅c c=v= =
=3⋅10 m s
v
0 0
Annahme : B0 =B0 ex , 
k =k ey  Ausbreitungsrichtung
 1
∂E
i  ky−t 
T
rot 
B= B0 e
0 , 0 ,ik  =
∂t c 2
1
2
i ky − t 
i  ky−t 

E t =c B 0 k ez e
=E 0 e

Die Lösung für das elektrische Feld:
k
1
E 0=c2 B 0=c 2 B0=c⋅B 0

c
E∥ez , 
B∥ex 
Eine elektromagnetische Welle hat Wellen in 2 Richtungen  
B = B0 e i k x−t 
Die Lösung der Wellengleichung ist 
1
2
W el = 0 E  Kondensator
2
2
Energiedichte:
 E /c  1 1 E 2 1
1 1 2
2
W magn =
B  Spule  =
=
=  E =W el
2 0
0 2 2 0 c 2 2 0
[email protected]
V 1.3
13/15
Zusammenfassung
Physik I
Michael Müri
Eigenschaften des Lichts
Reflexion und Brechung
Huygens'sches Prinzip: Jeder Punkt einer Wellenfront ist Ausgangspunkt für eine Kugelwelle
Fermat'sches Prinzip:
Reflexion
Das Licht wählt den scnellsten Weg zwischen zwei Punkten
Einfallswinkel=Ausfallswinkel
Brechung:
Welle trifft Spiegel
→ Auslaufende Kugelwelle
Kürzester Weg:
Spiegelung von A → A'
2 Medien mit Brechungsindex c n=c /n , gesamte Laufzeit t=
die Geometrie ergibt sin 1 =
Totalreflexion: Grenzwinkel 2=90 ° ,
x
,
l1
sin 2=
d −x
l2
l 1 l 2 n1 l 1n2 l 2
 =
c1 c 2
c
⇒ n1 sin 1 =n2 sin  2
sin 1=n2 /n 1
Geometrische Optik
n1 n2 n 2−n 1
Linse:
mit Distanzen: g=Objekt-Linse, b=Linse-Bild, r=Linse-Fokus
 =
g b
r
1 1 1
1
=  mit Brechkraft D=
f g b
f
dünne Linse:
−1
[ D]=1 dpt.=m
Wellenoptik
Interferenz:
Räumliche Amplitudenmodulation durch Superposition
Beugung:
Abweichung der Ausbreitung von geom. Strahlrichtung an einem Hindernis
Gangunterschied: b=d sin  (Grafik: b := ,
 := )
Maxima:
konstruktive Interferenz d sin =m 
Minima:
destruktive Interferenz d sin =m− 
m={0 ,1 ,...}
1
2
m={0 , 1 , ...}
Kennzahlen
Schallgeschwindigkeit:
Lichtgeschwindigkeit:
[email protected]
343 m/s in Luft (20° C, 0 müM) und 1407 m/s in Wasser
3 * 108 m/s
V 1.3
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Zusammenfassung
Physik I
Michael Müri
Anhang
α
0°
sin
0
cos
1
30°
45°
 2 /2  3/2
 3/2  2 /2 1/2
1/2
System
Zylinder
Kugel
60°
90°
1
0
sin(90-α) = cos(α)
cos(90-α) = sin(α)
sin(90+α) = cos(α)
cos(90+α) = -sin(α)
Parametrisierung
sin(180-α) = sin(α) sin(-α) = -sin(α)
cos(180-α) = -cos(α) cos(-α) = cos(α)
sin(180+α) = -sin(α)
cos(180+α) = -cos(α)
Jac.-Det.
 
 
R cos 
R sin 
z
r
Def: θ an x-Achse:
R cos cos 
∈[0 , 2 ]
,
R cos sin 
 
∈[− , ]
Rsin 
2 2
2
r cos 
Def: θ an z-Achse:


R sin cos 
R sin sin  ,
Rcos 
[email protected]
∈[0 , 2]
∈[0 ,]
2
r sin 
V 1.3
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