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Übung zur Vorlesung PNI
“Physik für Chemiker”
Wintersemester 2007/08
Nadja Regner und Thomas Schmierer, Department für Physik, LMU München
Zusammenfassung der 2ten Halbzeit, mit Kommentaren zum Spiel!
Nach der Zusammenfassung des Stoffs aus dem ersten Teil der Vorlesung vor Weihnachten folgt
nun der zweite Teil.
Wellen und Akustik
Eine sich fortbewegende Schwingung wird Welle genannt. Schwingungen können longitudinal
(Schwingung in Ausbreitungsrichtung) oder transversal (Schwingung senkrecht zu Ausbreitungsrichtung) sein. Ein typisches Beispiel für eine longitudinale Schwingung sind Schallwellen.
Bei Schallwellen bewegt sich eine periodische Druckschwankung fort. Hierzu sind Teilchen notwendig die den Druck weitergeben. Ein Beispiel für transversale Wellen sind elektromagnetische
Wellen die im nächsten Semester ausführlich behandelt werden. Die wichtigste Besonderheit von
transversalen Wellen ist die Polarisation.
Wellen gehorchen allgemein der Differentialgleichung
∂2y
∂2y
=
const
·
∂x2
∂t2
wobei für die Konstante gilt
1
c2
mit der Phasengeschwindigkeit c. Harmonische Wellen sind eine mögliche Lösung der Differentialgleichung, ihre allgemeine Form lautet:
const =
y(x, t) = y0 · sin(kx − ωt − Φ)
Hierbei ist k = 2π
die Wellenzahl, ω = 2π
die Kreisfrequenz und Φ die Phase. Handelt es sich
λ
T
bei der Welle um eine longitudinale Welle sind y(x, t) und y0 Skalare, bei transversalen Wellen sind beide Größen Vektoren. Ein wichtiges Prinzip bei der Behandlung von Wellen ist das
Superpositionsprinzip, das heisst wenn sich mehrere Wellen überlagern ergibt sich die resultierende Welle einfach durch Addition der Auslenkungen aller Einzelwellen. Da die Sinusfunktion
je nach Argument ein positives oder negatives Vorzeichen haben kann, kann die resultierende
Welle eine kleinere oder größere Amplitude als die Einzelwellen haben. Löschen sich Wellen gegenseitig aus spricht man von destruktiver Interferenz (Wegunterschied zwischen beiden Wellen:
∆s = ( 12 + n)λ), wenn die Erreger in Phase sind. Verstärken sich die Einzelwellen spricht man
von konstruktiver Interferenz (Wegunterschied der Wellen: ∆s = n · λ), die Wellen sind “in
Phase”. Jede periodische Schwingung, egal welcher Form, kann durch Addition von unendlich
vielen Sinusfunktionen dargestellt werden. Dies nennt man Fourier-Analyse. Ein Spezialfall der
Überlagerung von Wellen ist die Überlagerung von sich gegenläufig ausbreitenden Wellen mit
gleicher Frequenz. Dies kommt zum Beispiel vor wenn eine Welle an einem Hindernis reflektiert
wird. Beträgt der Abstand zwischen Wellenerzeugung und Reflexionspunkt ein Vielfaches der
halben Wellenlänge bildet sich eine stehende Welle aus. Eine stehende Welle bewegt sich nicht
fort sondern schwingt nur zeitlich.
Die Intensität
<P >
<P >
=
A
4πr2
einer Schallwelle nimmt mit r12 ab da sich die Leistung der Schallquelle bei Ausbreitung auf die
mit r2 anwachsende Oberfläche einer Kugel verteilt. Für die Druckamplitude p0 gilt
I=
I=
1 p20
2 ρc
mit der Dichte des Mediums ρ und der Schallgeschwindigkeit c. Wenn wir uns in den beiden
oberen Gleichungen für die Intensität die Abhängigkeit in r und p0 ansehen, so fällt auf dass
diese für beide Größen quadratisch ist. Daraus folgt dass sie sich zueinander linear verhalten.
Die Druckamplitude nimmt also nur mit 1r ab. Die Lautstärke wird üblicherweise in Dezibel (dB)
gemessen. Diese Skala ist logarithmisch und damit ideal für unser Ohr geeignet das Lautstärken
auch logarithmisch wahrnimmt.
I
β = 10 · log
I0
mit der Hörschwelle I0 = 10−12 mW2 .
Das Huygens-Prinzip liefert eine Beschreibung der Ausbreitung von Wellen(-fronten) und besagt das jeder Punkt einer Wellenfront als Ausgangspunkt einer neuen Elementarwelle gesehen
werden darf. Es kann z.B. angewendet werden wenn eine Welle durch ein Hindernis eingeschränkt wird (Beugung). Oder aber kann damit das Verhalten der Wellefront bei Übergang in
ein anderes Medium ermittelt werden (Brechung).
Spezielle Relativitätstheorie
Eine einschneidende Erkenntnis der Relativitätstheorie ist, dass das Licht in jedem Inertialsystem die gleiche Geschwindigkeit besitzt, egal mit welcher Geschwindigkeit sie sich relativ
zueinander bewegen. Ein Inertialsystem ist ein Bezugspunkt (Nullpunkt des Koordinatensystems) in dem das Trägheitsprinzip gilt. Zwei Raketen die sich im Weltall mit unterschiedlichen
konstanten Geschwindigkeiten bewegen stellen beide Inertialsysteme dar. In jeder von ihnen
gelten die Newton’schen Axiome. Ein rotierendes System (wie zum Beispiel die Erde) ist kein
Inertialsystem, da aufgrund der Rotation ständig eine Scheinkraft wirkt, d.h. das 1. Newton’sche
Axiom wäre hier nicht mehr erfüllt.
Dass die Lichtgeschwindigkeit eine Konstante ist hat weitreichende Konsequenzen für Bewegungen mit hohen Geschwindigkeiten. Wechselt man von einem Inertialsystem in ein anderes
können die Geschwindigkeiten nicht einfach addiert werden. Da die Eigenzeit der Systeme unterschiedlich ist müssen Lorentztransformationen durchgeführt werden. Man nennt die Transformation der Eigenzeit Zeitdilatation
t = γ(t0 +
mit
vx0
)
c2
1
γ=q
1−
v2
c2
Ebenso wie die Zeit verändern sich auch Längen bei Wechsel des Inertialsystems
L0 =
L
γ
Wird ein Körper mit konstanter Kraft beschleunigt so nimmt sein Impuls stetig zu. Nach
dem klassischen Impulsverständnis würde dabei seine Geschwindigkeit wegen ∆p = m · ∆v
immer weiter steigen. Nach den Gesetzen der Relativitätstheorie ist dies nicht möglich da kein
Körper schneller als die Lichtgeschwindigkeit sein kann. Die Lösung zu diesem Problem ist eine
Massenzunahme:
m0
m= q
2
1 − vc2
Aus dieser Massenzunahme ergibt sich auch die weltberühmte Äquivalenz von Masse und Energie (wird ein Körper beschleunigt nimmt seine kinetische Energie zu, ebenso nimmt seine Masse
zu):
E = mc2
In Kernkraftwerken und vielleicht in ferner Zukunft auch in Fusionskraftwerken wird diese
Äquivalenz genutzt um aus Masse Energie zu gewinnen. Radioaktive Substanzen verlieren beim
Zerfall in Tochterkerne Masse die in Form von Energie frei wird. Der stabilste Atomkern ist
56
26 F e. Alle Kerne mit niedrigerer Ordnungszahl könnten durch Kernfusion Energie freisetzen,
alle Kerne mit höherer Ordnungszahl durch Kernspaltung.
Thermodynamik
Die Thermodynamik beschäftigt sich mit Vielteilchensystemen. Deren Beschreibung nach Art
der Mechanik (mit Bewegungsgleichungen usw.) ist aufgrund der Menge an Teilchen nicht
möglich. Deshalb führt die Thermodynamik neue physikalische Begriffe ein, die geeignet sind
um Eigenschaften von Vielteilchensystemen zu beschreiben. Die Temperatur beschreibt gewissermaßen die durchschnittliche Energie der Teilchen im System. Für die Temperatur gibt es
einen absoluten Nullpunkt (kälter geht nicht!) der bei 0 K bzw. −273, 15◦ C liegt.
Ein wichtiges Modellsystem der Thermodynamik ist das ideale Gas. Es besteht aus Gasteilchen die nicht untereinander wechselwirken und auch keine Ausdehnung besitzen. Dann gilt die
Zustandsgleichung
pV = nRT
Die innere Energie eines idealen Gases hängt nur von der Temperatur ab. Bei Volumenänderung
gegen einen äußeren Druck können Gase Arbeit leisten (Energie umwandeln; denke an Motor!).
In der Natur kommen ideale Gase nicht vor, die Teilchen jedes Gases besitzen eine Ausdehnung
und üben Kräfte aufeinander aus. Bis zu einem gewissen Grad verhalten sich Edelgase wegen
ihrer geringen gegenseitigen Anziehung wie ideale Gase. Bei tiefen Temperaturen und hohem
Druck fällt jedoch die van der Waal’s Wechselwirkung ins Gewicht, weshalb sich auch Edelgase
verflüssigen lassen. Kondensation tritt also nur bei nicht idealen Gasen auf!
Im Kapitel über Energie hatten wir gesehen, dass die klassische Energieerhaltung nur gilt,
wenn keine “nicht konservativen” Kräfte vorhanden sind (Reibung, Deformation). Die Energie,
die “verloren” geht, wird in Wärme umgewandelt, die damit ihrerseits auch eine Energie ist.
Schlagen wir also die Brücke zwischen Mechanik und Thermodynamik indem wir Wärme als
weitere Energieform zulassen, so gilt Energieerhaltung allgemein!
Um welche Temperatur sich ein Körper erwärmt wenn ihm eine bestimmte Menge an Wärme
zugeführt wird hängt von der Wärmekapazität des Stoffes ab, einer Materialeigenschaft. Für
Wärmezufuhr bei konstantem Volumen verwendet man CV . Diese Wärmekapazität kann sich
auf verscheidene Größen wie besispielsweise Stoffemnge oder Masse beziehen.
Q = CV · ∆T
Laufen Zustandsänderungen langsam ab und bleibt die Temperatur konstant, bewegt man
sich auf Isothermen, da sich die Probe stets im Gleichgewicht mit der Umgebung befindet.
Schnelle Volumenänderungen verlaufen adiabatisch, d.h. keine Wärme kann mit der Umgebung
ausgetauscht werden. Im p − V -Diagramm sind Adiabaten “steiler” als Isothermen.
In der Natur laufen Prozesse oft nicht bei konstantem Volumen, sondern bei konstantem Druck
ab (der Luftdruck in Mitteleuropa ändert sich nicht wenn ich meine Luftpumpe betätige).
Hierfür ist die innere Energie U als Zustandsfunktion schlecht geeignet, deshalb führt man eine
neue Zustandsfunktion ein, die Enthalpie H:
H = U + pV ⇒ ∆H = U + p · ∆V
Die entsprechende Wärmekapazität für konstanten Druck heisst Cp = ( ∂H
) . Bei Phasenübergängen
∂T p
ändert sich die Temperatur nicht, obwohl Wärme zugeführt wird. Diese Wärme die nötig ist
um die Phase zu ändern, nennt man auch latente Wärme.
Die Entropie ist ein Maß für die Ordnung eines Systems/die Qualität der Energie. Sie ist außerdem auch eine Zustandsfunktion.
∆qrev
∆S =
T
Sie gibt Prozessen, die nach den bisherigen Betrachtungen gleichberechtigt wären, eine Vorzugsrichtung. Wärme ist “schlechte” Energie, sie kann nie zu 100 Prozent in andere Energieformen
umgewandelt werden. Wärme verteilt sich und gleicht Temperaturunterschiede aus. Bei idealen
Gasen hängt die Entropie mit dem Volumen zusammen:
∆S = R · ln
V2
V2
= k · N · ln
= k · ln(p)
V1
V1
Dies kann mit der statistischen Thermodynamik besser erklärt werden. VV21 ist nämlich eine
Wahrscheinlichkeitsaussage. Es gibt an um welchen Faktor es wahrscheinlicher ist dass sich
die Teilchen in V2 befinden als dass sie sich nur im Volumen V1 befinden obwohl ihnen V2 zur
Verfügung steht. Die Entropie nimmt also zu, weil sich von selbst immer der wahrscheinlichste
Zustand einstellen wird!
Der Gasdruck lässt sich molekular gesehen so erklären, dass die Gasteilchen sich mit bestimmter
Geschwindigkeit bewegen und bei Reflexion an einem Hindernis einen Impuls an dieses Hindernis übertragen. Die große Menge an Gasteilchen, mit der wir es üblicherweise zu tun haben,
sorgt dafür dass jedes Hindenis einem ständigen Hagel von Gasteilchen ausgesetzt ist, deren
Impulse “in der Summe” den Gasdruck bilden:
1
v2
2
mvx2 1
p= N ·m· x = N ·
·
3
V
3
2
V
Multiplizieren wir diese Gleichung auf beiden Seiten mit V und vergleichen sie mit der Zustandsgleichung des idealen Gases:
mvx2
2
p·V = N ·
·↔p·V =n·R·T =N ·k·T
3
2
bekommen wir ein Maß für die kinetische Energie von Gasteilchen bei bestimmter Temperatur 32 Ekin “ =00 kT . Es sind jedoch auch im Gleichgewicht in einem solchen Gassystem nicht
alle Teilchen gleich schnell, die Gleichung bezieht sich auf die mittlere kinetische Energie der
Teilchen. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Geschwindigkeiten ist eine Maxwell-BoltzmannVerteilung. Diese lautet für eine Dimension:
m 1 − mvx2
) 2 e 2kT
p(vx ) = (
2πkT
Für den Geschwindigkeitsbetrag lautet sie:
m 3 2 − mv2
p(v) = 4π(
) 2 v e kT
2πkT
Aus dieser Verteilung lässt sich die wahrscheinlichste Geschwindigkeit (Maximum der Kurve)
s
2kT
m
ebenso berechnen wie die mittlere Geschwindigkeit der Gasteilchen:
vw =
s
8kT
πm
Für das mittlere Geschwindigkeitsquadrat ergibt sich:
< v >=
3kT
m
Ergänzen wir dies zum Erwartungswert der kinetischen Energie < Ekin >= 32 kT so kommen
wir auf das gleiche Ergebnis wie weiter oben, jedoch auf ganz anderem Weg. Die Annahme,
die Maxwell-Boltzmann Verteilung gelte für die Geschwindigkeitsverteilung der Gasteilchen ist
also konsistent mit unserer bisherigen Thermodynamik. Außer der kinetischen Energie tragen
auch noch Rotations- und Schwingungsenergie zur inneren Energie bei.
< v 2 >=
Das soll es mit der Zusammenfassung der Themengebiete gewesen sein. Es gibt aber noch einige
andere Dinge, die man für die Klausur wissen sollte (eigentlich nicht nur für die Klausur, aber
für die Klausur ganz bestimmt) bzw. Fehler die man leicht vermeiden kann die aber immer
wieder auftauchen.
Funktionen
Es gibt einige Funktionen die muss man als Naturwissenschaftler einfach kennen und falls verlangt darstellen können. Hierzu gehört auch zu wissen wo Nullstellen und Polstellen sind, bzw.
charakteristische Maxima, Minima oder ähnliches. Insbesondere gehört zur Funktionenkenntnis
auch die Fähigkeit Grenzwerte zu bilden.
Einige Beispiele (NICHT VOLLSTÄNDIG! Lediglich die Funktionen, die man auf alle Fälle
kennen√muss!):
x2 , x1 , x, Sinus, Cosinus, Tangens, Exponentialfunktion, Logarithmus
Einheiten
Die Einheiten physikalischer Größen sind nicht nur Ballast auf dem Physiker vor lauter Korinthenkackerei beharren, Einheiten haben einen Zweck! Sie dienen zur Kontrolle, ob bei einer
komplizierten Formel eventuell etwas vergessen wurde und ermöglichen das einfache Umrechnen
in verschiedene Einheitensysteme, manchmal genügen die Einheiten um die richtige Formel zu
rekonstruieren!
(1) Ein Fußgänger legt eine Strecke von x = 5000 m mit einer Geschwindigkeit von v = 1 ms
zurück. Wie lange braucht er dafür?
(2) Ein Massenpunkt mit m = 1 kg fliegt um ein Zentrum und hat dabei die Rotationsenergie
Erot = 5 J. Die Umlaufdauer beträgt T = 2 s. Wie groß ist der Radius der Kreisbahn?
(3) Eis besitzt die Schmelzenthalpie HS = 332, 5
um 200 g Eis in 5 Minuten zu schmelzen?
kJ
.Welche
kg
Leistung muss ein Heizstab liefern
Lineare Bewegungen
Kräfte
Impuls + Drehbewegungen
Energie
Ekin=1/2mv2 kinetische Energie
Epot=mgh potentielle Energie
Rlativitätstheorie
Schwingungen und Wellen
Thermodynamik