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Übungen zur Mathematik für Informatiker I
Wintersemester 2002/03
Prof. Dr. H. Lenzing
Blatt 10
Abgabe: Bis Di, 7.1.2003, 24:00 Uhr im Netz
Sei stets Ihre Matrikelnummer M als Ziffernfolge m1 m2 . . . m7 gegeben.
Aufgabe 91 (1 Bonuspunkt): Gegeben seien




1
m3 + 2
0
m1 0 m3
0
m2
 0 

 0
m4 + 1 1 m7 0
−1
0




 m5 

 0
0
1
1 m3
0
−1




 und b :=  1 
0
0
0
m
1
0
0
A := 
1




 0 

 0
0
0
0
1
0
m2




 m6 

 0
0
0
0
0 m2 + 2
1
m4 + 1
0
0
0
0
0
0
m2 m4 + 1
a) Finden Sie eine Lösung x ∈ R7 für die Gleichung Ax = 0.
b) Finden Sie eine Lösung x ∈ R7 für die Gleichung Ax = b.
c) Ist in b) die Lösung eindeutig bestimmt, oder gibt es mehrere Lösungen?
Aufgabe 92 (1 Bonuspunkt): Nehmen Sie aus der Menge X = {m1 , m2 , . . . , m7 } die drei
größten Zahlen a, b, c und so, dass a > b > c gilt, falls die Menge X mindestens drei Elemente
enthält; falls X nur aus ein oder zwei Elementen besteht, nehmen Sie a := 7, b := 5 und c := 2.
Dann sei


1 1 1
A :=  a b c  .
a2 b2 c2
a) Hat die Gleichung Ax = 0 nur die triviale Lösung?
 
1
3

b) Finden Sie ein x ∈ R mit Ax = 0.
0
c) Ist ein x wie in b) eindeutig bestimmt?
Aufgabe 93 (1 Bonuspunkt): Sei α :=
π
m5 +3 ,
seien




cos α
sin α
 sin α 


 , v2 := − cos α .
v1 := 
m3 + 2
m4 + 8
m5 + 3
1
a) Ergänzen Sie v1 , v2 zu einer Basis von R4 . D. h. bestimmen Sie v3 , v4 ∈ R4 , so dass v1 ,
v2 , v3 , v4 eine Basis von R4 bilden.
b) Bestimmen Sie dimhv1 , v2 i und dim(hv1 i ∩ hv2 i).
Aufgabe 94 (1 Bonuspunkt): Sei die Matrix

0 m1
0 0

A=
0 0
0 0
0 0
m1 m2
m4 m3
0 m6
0
0
0
0

m3
m4 

m5 

m7 
0
gegeben.
a) Berechnen Sie die Potenzen A2 , A3 , A4 und A5 .
b) Sei f : R5 −→ R5 die zu der Matrix A gehörige lineare Abbildung. Gibt es eine lineare
Abbildung g : R5 −→ R5 mit g ◦ f = 1R5 ?
Aufgabe 95 (1 Bonuspunkt): Seien die linearen Abbildungen f : R5 −→ R3 und g : R3 −→ R4
gegeben durch die Matrizen




m3 + 2
m1
m5 + 3
m1
m3
m7 + 7 m3 + 2 m7 + 1
m4 + 3 m6 + 1 m2 + 2
.
m6 + 3 m4 + 1
m3
m5 + 8 m6 + 1 bzw. 
 m1
m7 + 5 m3 + 1
m5 + 2
m1
m4 + 1 m4 + 2 m5 + 1
m5 + 4 m2 + 2
m4
Bestimmen Sie die Matrix, die zu der linearen Abbildung g ◦ f gehört.
Aufgabe 96∗ : Seien V und W R-Vektorräume der Dimension n bzw. m. Durch die Regeln
(v1 , w1 ) + (v2 , w2 ) := (v1 + v2 , w1 + w2 ), α.(v, w) := (α.v, α.w)
für alle v1 , v2 , v ∈ V , w1 , w2 , w ∈ W und alle α ∈ R wird das kartesische Produkt V × W zu
einem R-Vektorraum.
a) Seien v1 , . . . , vn und w1 , . . . , wm Basen von V bzw. W . Konstruieren Sie daraus eine Basis
von V × W . Weisen Sie für Ihre Konstruktion die Basiseigenschaft nach.
b) Bestimmen Sie die Dimension von V × W .
Aufgabe 97∗ : Seien V und W R-Vektorräume der Dimension n bzw. m. Sei f : V −→ W
eine lineare Abbildung. Zeige Sie: f ist surjektiv genau dann, wenn rg(f ) = dim W gilt.
Aufgabe 98∗ : Sei V = Mmn (R) der R-Vektorraum der m × n-Matrizen mit reellen Koeffizienten. Sei A ∈ Mkm (R) eine fest gewählte k × m-Matrix. Zeigen Sie:
a) U := {X ∈ V | A · X = 0} ist ein Unterraum von V .
b) Sei W := Mkn (R). Zeigen Sie, dass durch f : V −→ W , X 7→ A · X eine lineare Abbildung
definiert wird.
c) Sei jetzt speziell k = m = 2. Bestimmen Sie rg(f ).
Wir wünschen frohe Festtage und ein erfolgreiches Neues Jahr!