¨Ubungen zur Mathematik für Informatiker II

Übungen zur Mathematik für Informatiker II
Sommersemester 2003
Prof. Dr. K.-H. Indlekofer
Blatt 7
Abgabe der elektronischen Aufgaben: Bis Montag, den 23. Juni 2003, 12 Uhr.
Abgabe der theoretischen Aufgaben: (gekennzeichnet mit einem ∗) werden stochastisch in
den jeweiligen Übungen abgegeben (in der Woche vom 16. bis 20. Juni 2003).
Sei M Ihre Matrikelnummer mit den Ziffern m1 , m2 , m3 , m4 , m5 , m6 , m7 .
Es seien r := m1 + m6 + m7 , p := m1 + m5 + m7 + 10 und q := m1 + m5 + m6 + m7 + 20.
Aufgabe 71 (1 Bonuspunkt) (Partialbruchzerlegung): Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung
von
4 z − 5 r z + 2 r2 + 3 z 2
.
r2 z − 2 r z 2 + z 3
(Geben Sie die Hauptteile an.)
Aufgabe 72 (1 Bonuspunkt) (Reihenbestimmung): Bestimmen Sie die Summe der folgenden
Reihen mit Hilfe der Partialbruchzerlegung
∞
X
k=0
1
(k + p)(k + q)
und
∞
X
k=r+1
k−r
.
(k 2 − r2 )(k + p)
Aufgabe 73 (1 Bonuspunkt) (Komplexe Wurzeln): Es seien k := p mod 2 und n = k + 3 ∈ Z.
Bestimmen Sie die n-ten Wurzeln von a := −r. (Geben Sie dazu den Betrag und die Argumente
der Ergebnisse an. Benutzen Sie dazu den Hauptwert des Arguments von a.)
Aufgabe 74∗ (5 Bonuspunkte) (Halbwinkelsätze): Bestimmen Sie mit den aus den Additiontheoremen folgenden Halbwinkelsätzen (vgl. Aufgabe 64) die Werte der Sinus- und Cosinusfunktion
an den Stellen
π
π
und
.
24
20
p
√
√
(Hinweis:
√ Es gilt sin(π/6) = 1/2, cos(π/6) = 1/2 · 3, sin(π/5) = 10 − 2 5/4 und cos(π/5) =
(1 + 5)/4.)
Aufgabe 75∗ (5 Bonuspunkte) (Erzeugende Funktion der Fibonacci-Folge): Es sei (Fn ) die Folge
der Fibonacci-Zahlen (d.h. F0 = 0, F1 = 1 und Fn+1 = Fn + Fn−1 für alle n ∈ N). Wir betrachten
die Reihe
∞
X
Fk xk .
k=0
(a) Man zeige, daß die Reihe positiven Konvergenzradius hat. (Hinweis:
Zeigen Sie, dass für alle
√
natürlichen n > 0 gilt αn−2 ≤ Fn ≤ αn−1 mit α = 1/2 · (1 + 5).)
(b) Auf Grund von (a) definiert
∞
P
Fk xk eine Funktion G(x) auf dem Konvergenzintervall. Man
k=0
gebe G(x) explizit an. (Hinweis: Man benutze die Rekursionsformel für Fn !)
(c) G(x) ist auf Grund von (b) eine rationale Funktion mit einem quadratischen Nenner. Dieser
zerfällt in zwei Linearfaktoren, sagen wir L1 und L2 . Man bestimme L1 und L2 . Berechnen
Sie die Partialbruchzerlegung von G(x), d.h. schreiben Sie G(x) in der Form
a
b
+
L1
L2
mit reellen Zahlen a, b.
(d) Schreiben Sie nun die Summanden aus (c) wieder als je eine Reihe und leite daraus eine
explizite Formel für Fn her.