¨Ubungen zur Mathematik für Informatiker II

Übungen zur Mathematik für Informatiker II
Sommersemester 2003
Prof. Dr. K.-H. Indlekofer
Blatt 5
Abgabe der elektronischen Aufgaben: Bis Dienstag, den 10. Juni 2003, 20 Uhr.
Abgabe der theoretischen Aufgaben: (gekennzeichnet mit einem ∗) werden stochastisch in
den jeweiligen Übungen abgegeben (in der Woche vom 2. bis 6. Juni 2003).
Sei M Ihre Matrikelnummer mit den Ziffern m1 , m2 , m3 , m4 , m5 , m6 , m7 .
Es seien r := m1 + m6 + m7 , p := m1 + m5 + m7 + 10 und q := m1 + m5 + m6 + m7 + 20.
Aufgabe 51 (1 Bonuspunkt) (Grenzwerte von Funktionen):
(a) Es sei die Funktion f : R \ {q/r, −q/r} −→ R mit
f (x) :=
r4 · x4 − q 4
r3 · x3 + q 3
gegeben. Entscheiden Sie, ob diese Funktion stetig auf ganz R fortgesetzt werden kann.
Untersuchen Sie dazu die Grenzwerte
lim f (x) und
x→q/r
lim
f (x) .
x→−q/r
(b) Bestimmen Sie Grenzwert
rp − xp
.
rq − xq
lim
x→r
(c) Bestimmen Sie die einseitigen Grenzwerte
q · e|x| − q
x→0− (p + x) · x
und
lim
q · e|x| − q
.
x→0+ (p + x) · x
lim
Kann die Funktion f : R \ 0 −→ R mit f (x) =
q · e|x| − q
auf ganz R stetig fortgesetzt
(p + x) · x
werden?
Aufgabe 52 (1 Bonuspunkt) (Implizit gegebene Funktionen, Asymptotik): Bestimmen Sie eine
stetige Funktion f : D −→ R mit maximalen Definitionbereich D ⊆ R, so dass y = f (x) die
folgende Gleichung erfüllt
x2
y2
− 2 = r2 .
2
p
q
Geben Sie D und f an. Bestimmen Sie die uneigentlichen Grenzwerte
lim
x→∞
f (x)
x
und
lim
x→−∞
f (x)
.
x
Aufgabe 53 (1 Bonuspunkt) (Konvergenzradien von Potenzreihen): Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen.
∞
∞ ∞
X
X
X
xk
p
xk
xk
q · k · k+1 ,
· k+2 ,
,
r
r
k
q
q · (k + 10)p
k=1000
∞
X
k
r ·
k=1
∗
k!
· xk ,
kk
k=0
∞
X
k=0
k
k
(−1) · p
· x2k ,
q · (2 · k)!
k=1
∞
X
k=0
k! ·
pk k
·x .
rk
Aufgabe 54 (5 Bonuspunkte) (ε−δ-Definition der Stetigkeit): Weisen
Sie mit der ε−δ-Definition
√
der Stetigkeit nach, dass die Funktion f : R≥0 −→ R mit x 7−→ x stetig ist.
(Hinweis: Es wird auf die genaue Formulierung wertgelegt!)
Aufgabe 55∗ (5 Bonuspunkte) (Abschätzungen): Beweisen Sie die folgenden Abschätzungen:
n
1
−1 X (−1)k (a) Es gilt e −
,
≤
k! (n + 1)!
k=0
n
X
1 2
(b) Es gilt e −
,
≤
k! (n + 1)!
k=0
n
2
z X zk (c) Für alle komplexen Zahlen z ∈ C gilt e −
· |z|n+1 .
≤
k! (n + 1)!
k=0
(Hinweis: Einige Abschätzungen, die in den reelen Zahlen gelten, erhalten sich auch für
komplexe Zahlen, insbesondere gilt das für einige Resultate für die Konvergenz von Reihen.)