¨Ubungen zur Mathematik für Informatiker I

Übungen zur Mathematik für Informatiker I
Wintersemester 2002/03
Prof. Dr. H. Lenzing
Blatt 15
Abgabe: Bis Mo, 10.2.2003, 24:00 Uhr im Netz
Sei stets Ihre Matrikelnummer M als Ziffernfolge m1 m2 . . . m7 gegeben.
Aufgabe 141 (1 Bonuspunkt): Seien x < y die beiden größten Ziffern von M . Bestimmen
Sie die Menge aller natürlichen Zahlen p mit 2 ≤ p ≤ 1000, so dass xp−1 ≡ 1 mod p und
y p−1 ≡ 1 mod p gilt, so dass ausserdem p keine Primzahl ist.
Aufgabe 142 (1 Bonuspunkt): Berechnen Sie ϕ(n) für
a) n = m1 m2 m3
b) n = m1 m2 m3 m4
c) n = m1 m2 m3 m4 m5
(die Zahl, die als Ziffern die ersten drei, vier bzw. fünf Ziffern der Matrikelnummer hat).
Aufgabe 143 (1 Bonuspunkt): Sei Q die Quersumme von M und
( 2Q
Q /2, Q 2er Potenz
n=
2Q
Q /4, Q keine 2er Potenz
Gibt es ein [x] ∈ Zn mit [x] 6= [0] und [x]2 = [0]? Falls ja, so berechnen Sie ein solches. Falls
nicht, so bestimmen Sie den größten Primteiler von n.
Aufgabe 144 (2 Bonuspunkte): Sei n = 65.
a) Bestimmen Sie einen geeigneten geheimen Schlüssel (n, d) mit d > 1.
b) Bestimmen Sie dazu einen öffentlichen Schlüssel (n, e).
c) Verschlüsseln Sie die Nachricht Q (die Quersumme von M ).
(Abgabe: d; e; verschlüsselte Nachricht.)
Aufgabe 145∗ : Zeigen Sie (möglichst einfach)
13402 ≡ 68 mod 101.
Aufgabe 146∗ : Seien a und b natürliche Zahlen mit
a=
r
Y
pαi i
und
b=
i=1
r
Y
pβi i
i=1
mit paarweise verschiedenen Primzahlen p1 , . . . , pr und natürlichen Zahlen αi , βi ≥ 0. Für
jedes i = 1, . . . , r sei γi = min(αi , βi ), das Minimum der beiden Zahlen αi und βi . Zeigen Sie:
Es ist
r
Y
g. g. T.(a, b) =
pγi i .
i=1