⇒ Gesamtenergie: E = U + E + E

3 Energiebilanz
3.1 Energie
3.1.1 Formen der Energie
• Innere Energie: U
- thermisch
- latent
• Äußere Energien:
- kinetisch Ekin
Ea
- potentiell Epot
⇒
Gesamtenergie:
E = U + Ekin + Epot
3.1-1
3.1.2 Die Innere Energie U
Wie der Druck, das Volumen und die Temperatur ist auch die innere Energie
eine Zustandsgröße. Es besteht deshalb z. B. der funktionale Zusammenhang
Eine solche Beziehung heißt kalorische Zustandsgleichung. Die innere Energie
ist eine Zustandsgröße.
Über die thermische Zustandsgleichung
sind Volumen, Druck und
Temperatur voneinander abhängig, so dass die innere Energie auch wahlweise
als Funktion der anderen Zustandsgrößen geschrieben werden kann.
3.1-2
Da die Innere Energie eine Zustandsfunktion ist, besitzt sie ein vollständiges
Differential.
Falls die Innere Energie als Funktion der
Temperatur und des spezifischen
Volumens gegeben ist
lautet das vollständige Differential:
oder:
3.1-3
Spezialfall: Die kalorische Zustandsgleichung des idealen Gases
Beim idealen Gas beschreibt die innere Energie die thermische Energie
des Systems auf Grund der Bewegung von Molekülen (Billardkugelmodell).
Innere Energie
Molare innere Energie
.
Für ein einatomiges, ideales Gas hatten wir
gefunden:
Es folgt für die molare innere Energie
und für die spezifische innere Energie:
Für ein ideales Gas ist daher die innere Energie nur eine Funktion der Temperatur.
3.1-4
3.1.3 Energietransfer durch Arbeit und Wärme
• Transfer von Energie über die Systemgrenze durch
- Arbeit
- Wärme
- Massenfluss
• Arbeit und Wärme sind keine Energien sondern Energietransfers
• Arbeit und Wärme sind keine Zustandsfunktionen
• Arbeit und Wärme sind Wegfunktionen oder Prozessgrößen
Beispiel:
Erwärmen von Wasser bei
konstantem Druck mit und ohne Pause
Zustand 1: 1 bar, 20 ΟC,
Zustand 2: 1 bar, 50 ΟC
3.1-5
• Vorzeichenkonvention:
- Arbeit/Wärme kann dem System von der Umgebung zugeführt werden: W, Q > 0
- Arbeit/Wärme kann vom System an die Umgebung abgegeben werden: W, Q < 0
Beispiel: Erwärmung eines Teigs durch Rühren
betrachtetes System – Teig: Arbeit W durch Rührer positiv
Wärme Q wegen Wärmeabgabe an die Umgebung negativ
Grafische Darstellung:
3.1-6
3.2. Energietransfer
3.2.1 Arbeit
Arbeit einer Kraft
Die auf dem Weg von 1 nach 2 geleistete
Arbeit berechnet sich durch Integration
entlang der Bahnkurve von 1 nach 2:
3.2-1
Arbeit und kinetische Energie
Nach Newton sind für ein Inertialsystem Beschleunigung und Kraft verknüpft
durch
Definition Geschwindigkeit:
Definition Beschleunigung:
Es gilt mit der Kettenregel:
Arbeit der Kraft:
3.2-2
Definition kinetische Energie:
Damit ist in der Mechanik die Arbeit der Kraft mit der Änderung
der kinetischen Energie des Massenpunktes verknüpft:
Arbeit
Änderung der kinetischen Energie
3.2-3
Beispiel: Bremsweg eines PKW bei konstanter Bremskraft
(68iger Modell, Bremsen vorne kaputt)
Die Arbeit der Bremskraft erwirkt eine Änderung der kinetischen Energie
Befreiung des Systems PKW
Bremsweg
3.2-4
Arbeit und potentielle Energie
Um einen Körper im Schwerefeld zu verschieben ist eine der
Gewichtskraft entgegengesetzte Kraft nötig
Falls z2 > z1 ist die von der Kraft am System (Masse m)
geleistete Arbeit positiv:
3.2-5
Definition der potentiellen Energie:
(Energie der Lage, die im System gespeichert)
Wir erhalten damit für die Arbeit der Kraft:
Arbeit
Änderung der potentiellen Energie
Die potentielle Energie ist wegen
die negative Arbeit der Gewichtskraft
(vergl 3.2-5).
3.2-6
Beispiel: Pendelversuch von Galilei
Zustand 0:
Zustand 1:
Fadenkraft leistet keine Arbeit am System, da
sie stets senkrecht auf der Bahnkurve steht
⇒ Energieerhaltung:
Zustand 2:
Freischnitt des Systems
in allgemeiner Lage
Eine Kenntnis der Zwischenzustände ist nicht nötig!
3.2-7
Arbeit und Federenergie
Arbeit zur Veränderung der Länge der Feder
(x = 0: ungespannte Länge, k: Federkonstante)
Arbeit
Änderung der Federenergie
3.2-8
Volumenänderungsarbeit (Verschiebearbeit) und Nutzarbeit
Betrachtet wird exemplarisch ein System aus
Zylinder und Kolben. Die Kraft an der Kolbenstange
leistet die Arbeit
Bei quasistatischer, reversibler Zustandsänderung
durchläuft das System eine Reihe von Gleichgewichtszuständen.
Die träge Masse des Kolbens spielt dann keine Rolle.
Eine Kräftebilanz am Kolben liefert deshalb
für die Kraft:
3.2-9
Nutzarbeit und Volumenänderungsarbeit
Die an die Kolbenstange abgeführte Arbeit, die
Nutzarbeit, bei quasistatischer, reversibler
Zustandsänderung ist daher:
Der erste Term ist die Volumenänderungsarbeit des im
Zylinder eingeschlossenen Gases:
oder da m=const:
Die Volumenänderungsarbeit des eingeschlossenen Gases
wird bei Volumenvergrößerung von diesem an die Umgebung abgegeben:
3.2-10
Volumenänderungsarbeit
Volumenänderungsarbeit führt zu einer Änderung der inneren Energie!
Sonderfälle
• Isobar (nebenstehendes Beispiel)
• Isochor
3.2-11
Verschiebearbeit
Der zweite Term ist die von der Umgebung
aufgenommene Verschiebearbeit
Sie entspricht der Volumenänderungsarbeit der
Umgebung, wenn, wie in der Skizze angedeutet, die
Umgebung als Bilanzsystems herangezogen wird.
Die Verschiebearbeit ist also die Volumenänderungsarbeit gegen einen konstanten
Druck. Der Begriff tritt bei vom Fluid durchströmten Systemen, also offenen Systemen,
nochmals in Erscheinung (vgl. 4.2-14).
Die Nutzarbeit ist nur ein Teil der vom System abgegebenen Arbeit.
Ein Anteil der vom Gas abgegebenenVolumenänderungsarbeit wird als
Verschiebearbeit an die Umgebung übergeben und kann nicht genutzt werden.
3.2-12
Volumenänderungsarbeit als reversible Arbeit
Die gegebene Definition zur Volumenänderungsarbeit zeigt, dass sich die
Volumenänderungsarbeit durch Umkehrung der Kolbenbewegung vollständig
zurückgewinnen lässt.
Solche Vorgänge werden als verlustlos oder reversibel bezeichnet.
Die Volumenänderungsarbeit ist also eine reversible Arbeit.
Die Umkehrbarkeit des Kompressionsprozesses für das System „Gas“ setzt voraus,
dass keine Verwirbelung durch innere Reibung im Gas auftritt.
Die Kolbenbewegung muss dazu sehr langsam, eigentlich unendlich langsam
erfolgen. Es besteht zu jedem Zeitpunkt mechanisches Gleichgewicht.
Bemerkung: Der Verluste durch Reibung zwischen Kolben und Wand spielt für das System „Gas“
keine Rolle. Der Kolben gehört ja gar nicht zum System! Erst bei der Betrachtung der Nutzarbeit am
System „Kolben“ macht diese Reibung ihren Einfluss geltend und verringert die erzielbare Nutzarbeit.
Der Terminus „reibungsfreier Kolben“ meint oft lax die Vernachlässigung aller Verluste.
3.2-13
Elektrische Arbeit
Zum Beispiel durch Zufuhr elektrischer Energie an Motor M aus der Umgebung
Wel > 0 oder Abgabe an ein Leitungsnetz außerhalb des Systems erzeugt durch
einen Generator G innerhalb des Systems Wel < 0.
Oder elektrische Heizarbeit:
3.2-14
Wellenarbeit
Übertragen durch eine über die Systemgrenze ragende Welle
Eine Welle, angetrieben von einem außerhalb des Systems stehenden Motor M, wird
Arbeit ins System einspeisen W > 0.
Eine Welle, die einen Generator G außerhalb des Systems antreibt, entzieht dem
System Arbeit W < 0.
Durch die Welle eines Rührwerks wird von außen Arbeit in das System Welle
übertragen W > 0.
3.2-15
3.2.2 Wärmeströme
Physikalische Deutung des Wärmestroms über Wände ins Bilanzsystem
Wärmestrom
J/s , 1 J = 1 Nm
Wärmeleitung (Fouriersches Gesetz) ,
z. B. in der ebenen Wand
Wärmeleitfähigkeit: λ
[λ] = J/(msK)
3.2-16
Wärmestrom bei Konvektion
Wärmeübertragung
Wärmeübergangskoeffizient α
[α] = J/(m2sK)
Temperaturprofil T(r) wird durch die mittlere Temperatur Tm ersetzt,
α wird empirisch für verschiedene Strömungen bestimmt.
3.2-17
Wärmestrom durch Wärmestrahlung
Stehen zwei Körpern verschiedener Temperaturen T1 > T2 gibt der heißere
Körper 1 den auf die Austauschfläche A bezogenen Wärmestrom
ab.
Die Konstante heißt Stefan-Boltzmann-Konstante:
Definition:
Ein System heißt wärmedicht oder adiabat, wenn keine Wärmeströme über die
Systemgrenzen treten.
3.2-18
Wärmetransport und Irreversibilität
Die vorgenannten Prozesse der Wärmeübertragung haben, wie die Erfahrung lehrt,
eine eindeutige, vorgegebene Richtung.
Wärme fließt stets vom heißeren zum kälteren Körper.
Zwischen dem thermodynamischen System und der Umgebung wird es zu einem
Temperaturausgleich kommen.
Die dargestellten Prozesse der Wärmeleitung und Konvektion sind also nicht
umkehrbar oder irreversibel.
3.2-19
Reversibler Wärmetransport
Dieser Begriff erscheint nach der vorstehenden Bemerkung sinnlos. Wir werden aber
sehen, dass er für theoretische Konzepte eine wichtige Rolle spielt.
Reversibler Wärmetransport erfordert eine verschwindende Temperaturdifferenz ΔT
zwischen System und Umgebung. Der Wärmestrom tendiert mit ΔT → 0 selbst gegen
Null. Damit geht aber ein unendlich langsamer Temperaturausgleich einher.
Sind praktisch keine Temperaturunterschiede vorhanden, ist der Wärmefluss im
Prinzip umkehrbar.
System und Umgebung sind bei der reversiblen Wärmezufuhr zu jedem Zeitpunkt im
thermischen Gleichgewicht.
(Vergl. auch die Bemerkung zur reversiblen Arbeit Folie 4.2-13)
Wir werden bei der späteren Quantifizierung von Irreversibilitäten darauf geführt, dass
das Maß für die Irreversibilitäten proportional zu ΔT 2 ist und damit von höherer
Ordnung gegen Null tendiert als der Wärmestrom (Abschnitt 5).
3.2-20
3.2.3 Energietransfer durch Massenfluss
Beispiel: stationär durchströmte, adiabate Drossel
Wie groß ist die mit dem Massenstrom transportierte Energie?
3.2-21
Betrachte Einlass in zwei Schritten:
1. Vergrößern des Systems um
Massenelement dm mit dem
Zustand 1:
2. Verschieben von dm am geschlossenen System durch
gedachten Kolben → Volumenänderung, Verschiebearbeit
Für das System gilt insgesamt:
3.2-22
Für das System gilt insgesamt:
Definition der Enthalpie: h = u+pv
Ergebnis: Beim Einströmen einer Masse dm wird die Enthalpie H=h dm und
die mitgeführten kinetischen und potentiellen Energien in den Bilanzraum eingebracht.
3.2-23
Übergang vom geschlossenen System zum offenen Kontrollraum
Die am geschlossenen System abgeleiteten Verschiebearbeiten pro Zeiteinheit
können als Arbeitsströme gedeutet werden, die zu jedem Zeitpunkt einem System
mit durchströmter Bilanzhülle (Kontrollraum), dem offenen System , zu- bzw.
abgeführt werden.
Für den Energietransfer durch Massenflüsse
am durchströmten System
Sind ein- und austretende Massenflüsse gleich groß, ergibt sich
3.2-24
Die Enthalpie H
Wir definieren die Summe aus innerer Energie U und Verschiebearbeit pV als neue
Größe:
Die molaren und spezifischen Größen lauten:
Wie die innere Energie ist auch die Enthalpie eine Zustandsgröße:
Sie besitzt deshalb wie diese ein vollständiges Differential (vergl. 4.1-3):
3.2-25
Spezialfall: ideales Gas
Aus
folgt mit der thermischen Zustandsgleichung des idealen Gases
und der inneren Energie
sofort, dass auch die Enthalpie beim idealen Gas nur eine Funktion der Temperatur
ist:
3.2-26
Totalenthalpie
Als Summe aus Enthalpie und kinetischer und potentieller Energie wird auch
die Totalenthalpie eingeführt:
Für die molaren und spezifischen Größen gilt:
Entsprechend wird der Energietransfer
durch Massenflüsse am Kontrollvolumen
noch kompakter darstellbar:
3.2-27