H LW G raz Mathem atik

2HLMd
10. Jänner 2013
1. Eine Schokoladenfabrik weiß aufgrund von Marktanalysen: Wenn eine Schachtel Pralinen
€ 2 kostet, ist ein Jahresgewinn von 4 Mio. € zu erwarten. Bei einem Preis von € 5 pro
Schachtel ist der voraussichtliche Jahresgewinn sogar 5,5 Mio. €. Beträ gt der Preis einer
Schachtel € 7, kann die Fabrik nur mit einem jä hrlichen Gewinn von 1,5 Mio. € rechnen.
Ermitteln Sie jene quadratische Funktion, welche den Jahresgewinn 𝐺𝐺 (in Mio. €) in
Abhä ngigkeit vom Preis 𝑥𝑥 (in €) einer Schachtel beschreibt.
Angewandte
Mathematik
1. Test
2 P.
Die Termdarstellung einer quadratischen Funktion lautet allgemein 𝐺𝐺(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎 ⋅ 𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏 ⋅ 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐.
Es gilt:
𝟏𝟏
𝟐𝟐
Die Termdarstellung der gesuchten Funktion lautet also 𝑮𝑮(𝒙𝒙) = − 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟒𝟒𝟒𝟒 − 𝟐𝟐 .
2. Bei Crashtests wird je nach Masse und Geschwindigkeit des Fahrzeuges beim Aufprall Ener-
11–12 Punkte: Gut
13–14 Punkte: Sehr gut
9–10 Punkte: Befriedigend
�
7–8 Punkte: Genügend
�
HLW Graz
𝐺𝐺(2) = 𝑎𝑎 ⋅ 22 + 𝑏𝑏 ⋅ 2 + 𝑐𝑐 = 4
𝐺𝐺(5) = 𝑎𝑎 ⋅ 52 + 𝑏𝑏 ⋅ 5 + 𝑐𝑐 = 5,5
𝐺𝐺(7) = 𝑎𝑎 ⋅ 72 + 𝑏𝑏 ⋅ 7 + 𝑐𝑐 = 1,5
1
2
gie freigesetzt. Es gilt dabei nä herungsweise das Gesetz 𝐸𝐸 = ⋅ 𝑚𝑚 ⋅ 𝑣𝑣 2 .
𝐸𝐸 … freigesetzte Energie in Joule (J)
𝑚𝑚 … Masse des Fahrzeuges in Kilogramm (kg)
𝑣𝑣 … Geschwindigkeit beim Aufprall in Meter pro Sekunde (m/s)
a)
b)
Beschreiben Sie, wie sich eine Vervierfachung der Geschwindigkeit auf die Energie
auswirkt.
1
1
𝐸𝐸neu = ⋅ 𝑚𝑚 ⋅ (4 ⋅ 𝑣𝑣)2 = ⋅ 𝑚𝑚 ⋅ 16 ⋅ 𝑣𝑣 2 = 16 ⋅ 𝐸𝐸
2
2
Bei einer Vervierfachung der Geschwindigkeit versechzehnfacht sich die Energie.
Ermitteln Sie die Geschwindigkeit eines Fahrzeuges mit 1 800 kg, wenn eine Aufprallenergie von 2 025 000 J freigesetzt wurde.
Geben Sie das Ergebnis sowohl in m/s als auch in km/h an.
1
2025000 = ⋅ 1800 ⋅ 𝑣𝑣 2 ⇒ 𝑣𝑣 ≈ ±47,43 m/s
2
Da es sich um physikalische Grö ßen handelt, ist die negative Lö sung nicht sinnvoll.
𝒗𝒗 = 𝟒𝟒𝟒𝟒, 𝟒𝟒𝟒𝟒 m/s = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏, 𝟕𝟕𝟕𝟕 km/h
1 P.
2 P.
1
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = − 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 − 1.
3
Kreuzen Sie jeweils an bzw. vervollstä ndigen Sie und ergä nzen Sie die Begrü ndungen:

Der Graph der Funktion 𝑓𝑓 ist nach
 oben
geö ffnet.
 unten
3 P.

1
Begrü ndung: Der Koef�izient von 𝑥𝑥 2 ist negativ (nä mlich − 3).
Angewandte
Mathematik
3. Gegeben ist die Funktion 𝑓𝑓 mit

Der Graph der Funktion 𝑓𝑓
 geht durch den Koordinatenursprung.
 geht nicht durch den Koordinatenursprung.

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Begrü ndung: Der Funktionswert an der Stelle 0 ist 𝑓𝑓(0) = −1 ≠ 0.
4.

Die Funktion 𝑓𝑓 besitzt folgende Nullstelle(n): −0,25 und −11,74
a)
Schreiben Sie als Potenz mit rationaler Hochzahl:
�𝑥𝑥 2 = 𝑥𝑥 3
b)
13–14 Punkte: Sehr gut
9–10 Punkte: Befriedigend
c)
𝑎𝑎
√𝑎𝑎
1
= 𝑎𝑎2
Schreiben Sie ohne Nenner (mit negativen Hochzahlen):
1
= 𝑢𝑢−1
𝑢𝑢
�
11–12 Punkte: Gut
7–8 Punkte: Genügend
�
2
3
Schreiben Sie als eine Wurzel:
1
𝑦𝑦 2 = �𝑦𝑦
2𝑟𝑟
= 2𝑟𝑟 −3
𝑟𝑟 4
2 P.
5
�3−5 = 3−2
2 P.
1
5
√2
1
= 2− 5
2 P.
3
8
𝑥𝑥 8 = �𝑥𝑥 3
𝑎𝑎 ⋅ √𝑎𝑎 = �𝑎𝑎3
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10. Jänner 2013
1. Eine Schokoladenfabrik weiß aufgrund von Marktanalysen: Wenn eine Schachtel Pralinen
€ 2 kostet, ist ein Jahresgewinn von 4,5 Mio. € zu erwarten. Bei einem Preis von € 5 pro
Schachtel ist der voraussichtliche Jahresgewinn sogar 6 Mio. €. Beträ gt der Preis einer
Schachtel € 7, kann die Fabrik nur mit einem jä hrlichen Gewinn von 2 Mio. € rechnen.
Ermitteln Sie jene quadratische Funktion, welche den Jahresgewinn 𝐺𝐺 (in Mio. €) in
Abhä ngigkeit vom Preis 𝑥𝑥 (in €) einer Schachtel beschreibt.
Angewandte
Mathematik
1. Test
2 P.
Die Termdarstellung einer quadratischen Funktion lautet allgemein 𝐺𝐺(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎 ⋅ 𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏 ⋅ 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐.
Es gilt:
𝟏𝟏
𝟐𝟐
2. Bei Crashtests wird je nach Masse und Geschwindigkeit des Fahrzeuges beim Aufprall Ener-
11–12 Punkte: Gut
13–14 Punkte: Sehr gut
9–10 Punkte: Befriedigend
�
7–8 Punkte: Genügend
𝟑𝟑
𝟐𝟐
Die Termdarstellung der gesuchten Funktion lautet also 𝑮𝑮(𝒙𝒙) = − 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟒𝟒𝟒𝟒 − .
�
HLW Graz
𝐺𝐺(2) = 𝑎𝑎 ⋅ 22 + 𝑏𝑏 ⋅ 2 + 𝑐𝑐 = 4,5
𝐺𝐺(5) = 𝑎𝑎 ⋅ 52 + 𝑏𝑏 ⋅ 5 + 𝑐𝑐 = 6
𝐺𝐺(7) = 𝑎𝑎 ⋅ 72 + 𝑏𝑏 ⋅ 7 + 𝑐𝑐 = 2
1
2
gie freigesetzt. Es gilt dabei nä herungsweise das Gesetz 𝐸𝐸 = ⋅ 𝑚𝑚 ⋅ 𝑣𝑣 2 .
𝐸𝐸 … freigesetzte Energie in Joule (J)
𝑚𝑚 … Masse des Fahrzeuges in Kilogramm (kg)
𝑣𝑣 … Geschwindigkeit beim Aufprall in Meter pro Sekunde (m/s)
a)
b)
Beschreiben Sie, wie sich eine Verdreifachung der Geschwindigkeit auf die Energie
auswirkt.
1
1
𝐸𝐸neu = ⋅ 𝑚𝑚 ⋅ (3 ⋅ 𝑣𝑣)2 = ⋅ 𝑚𝑚 ⋅ 9 ⋅ 𝑣𝑣 2 = 9 ⋅ 𝐸𝐸
2
2
Bei einer Verdreifachung der Geschwindigkeit verneunfacht sich die Energie.
Ermitteln Sie die Geschwindigkeit eines Fahrzeuges mit 1 500 kg, wenn eine Aufprallenergie von 1 825 000 J freigesetzt wurde.
Geben Sie das Ergebnis sowohl in m/s als auch in km/h an.
1
1825000 = ⋅ 1500 ⋅ 𝑣𝑣 2 ⇒ 𝑣𝑣 ≈ ±49,33 m/s
2
Da es sich um physikalische Grö ßen handelt, ist die negative Lö sung nicht sinnvoll.
𝒗𝒗 = 𝟒𝟒𝟒𝟒, 𝟑𝟑𝟑𝟑 m/s = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏, 𝟓𝟓𝟓𝟓 km/h
1 P.
2 P.
1
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 − 1.
3
Kreuzen Sie jeweils an bzw. vervollstä ndigen Sie und ergä nzen Sie die Begrü ndungen:

Der Graph der Funktion 𝑓𝑓 ist nach
 oben

geö ffnet.
 unten
3 P.
1
Begrü ndung: Der Koef�izient von 𝑥𝑥 2 ist positiv (nä mlich 3).
Angewandte
Mathematik
3. Gegeben ist die Funktion 𝑓𝑓 mit

Der Graph der Funktion 𝑓𝑓
 geht durch den Koordinatenursprung.
 geht nicht durch den Koordinatenursprung.

4.
11–12 Punkte: Gut
13–14 Punkte: Sehr gut
9–10 Punkte: Befriedigend
�
7–8 Punkte: Genügend
�
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Begrü ndung: Der Funktionswert an der Stelle 0 ist 𝑓𝑓(0) = −1 ≠ 0.

Die Funktion 𝑓𝑓 besitzt folgende Nullstelle(n): −0,24 und 12,24
a)
Schreiben Sie als Potenz mit rationaler Hochzahl:
4
3
�𝑥𝑥 4 = 𝑥𝑥 3
b)
�𝑦𝑦
1
= 𝑦𝑦 2
Schreiben Sie ohne Nenner (mit negativen Hochzahlen):
1
= 𝑛𝑛−1
𝑛𝑛
c)
𝑦𝑦
Schreiben Sie als eine Wurzel:
1
𝑏𝑏 2 = √𝑏𝑏
3𝑟𝑟
= 3𝑟𝑟 −5
𝑟𝑟 6
2 P.
3
�5−3 = 5−2
2 P.
1
7
√3
1
= 3− 7
2 P.
8
3
𝑥𝑥 3 = �𝑥𝑥 8
√𝑎𝑎 ⋅ 𝑎𝑎 = �𝑎𝑎3