Magnetisches Feld - II-Wiki

Magnetisches Feld
Bezeichnung
Fz.
Einheit
Formeln
Magnetische Spannung
V
A
 l∥ =R m⋅
V =∫ H⋅d
Magnetischer Fluß

Wb=Vs
= ∫ B⋅dA ⊥ =
A⊥
Flussdichte

B
Magnetischer Widerstand
Rm
T=
Wb H⋅A Vs
= 2 = 2
m2
m
m
V
Rm
A S
=
Vs s
Rm =
Fe
l
1
V 
= Fe = =
 ⋅A Fe  

H
A
m

 = B = dV =
H
 dl ∥ l ∥
Permeabilität

Vs
Am
=0⋅r
Magnetischer Leitwert

Elektrische Durchflutung

Induktivität
L
verketteter magnetische Fluss

H=
Wb Vs
=
A
A
=
0=1,257⋅10−6
Rm =

 A⊥ =0
∮ B⋅d
1− 
0⋅A
Vs
Vs
=4 ⋅107
Am
Am
1 ⋅A 
=
=
Rm
l

 l =⋅R m=0
=∑ I UmfaßtVzb=N Windungen⋅I =V Umlauf =∮ H⋅d
A
H=
magn. Knotensatz

 l
 A⊥ V  H
= d  = V =

B
=
⋅H


l
d A⊥ R m A⊥
A⊥ l
Magnetische Feldstärke
(magnetische Feldkonstante)
∑ Vorzeichen=0
Analogie im
Wb Vs
=
A
A
d  N⋅d  N⋅V N⋅H⋅l ∥ N⋅⋅l ∥ N 2⋅I
=
=
=
=
=
di
di
R m⋅I
R m⋅I
R m⋅I⋅l ∥ R m⋅I
N 2⋅⋅A N 2⋅⋅A
L=
=
l mittel
l mittel
L=
=n⋅= N
2

V
NI N
=N
=N
=
I = L⋅I
Rm
Rm
R m Rm
Strömungsfeld
El.-stat. Feld
U

I

J
D
R
1
C
E
E


G
C
Maschensatz
Maschensatz
Elektrostatisches Feld
Bezeichnung
Fz.
Einheit
Formeln
Analogie im
Potential

V
∞
∞
∞
⋅d l =∫ J d l =∫ I d l
=U ab=∫ E
r
r 
r A⋅
Elektrischer Fluss

C = As
 ⋅d A⊥
 ⇔Q =∫ D
Elektrische Flussdichte
D
C As
=
m 2 m2
D=

A
Kapazität
C
C=
Q Q  D⋅A 0 r E⋅A 0 r E⋅A 0 r⋅A
= = =
=
=
=
U  U
U
U
E⋅d
d
Elektrische Feldstärke
E
V
m
E=
U
d
Permitivität

As
Vm
=0⋅r
(elektrische Feldkonstante)
F=
As
V
d =D dA ⊥
dA ⊥ =dA⋅cos 
D=⋅E
E=
J

E=
F
Q
0 =8,854⋅10−12
As
Vm
Strömungsfeld
mag. Feld
U
V
I

J
B
1
R
1
Rm
E
H


Strömungsfeld
Bezeichnung
Fz.
Einheit
Formeln
Spannung
U
V
⋅d l
U =R⋅I =∫ E
Strom
I
A
U Q
I =∫ J ⋅d A⊥ = =
R t
Stromdichte
J
A
m2
1 
dI

J ⋅E=⋅
E=

d A⊥
Widerstand
R
=
V
A
R=
∮ E⋅d l =0
Analogie im
U ab=
 W el
Q
∮ J⋅d A⊥ =0
U E l ∥ ⋅l
l
=
=
=
I
JA
A ⋅A
R =R 20  1    bzw. R =R 20  1   2 
Elektrische Feldstärke

E
Spezifischer Leitwert
(Spezifischer Widerstand)


[ ]=
Ladung
Q
C = As
Elektrische Arbeit
W el Ws=VAs
Elektrische Leistung
P el W =VA
V
m
[]
m
1
=
2

⋅mm
E=
U
d
=
1

E=
J

E=
Q=∫ I⋅dt=n⋅q=n⋅e
El.-stat. Feld
V



B
D
Rm
1
C

H

E


ab 200°C
F
Q
−19
Elementarladung e=−1,602⋅10
C
W el =P el t=U I t W el =U ab⋅Q
P el =U⋅I =
magn. Feld
U2 2
⋅d l ⋅∫ J ⋅d A⊥ =∫ E
 J⋅d V
=I R=∫ E
R
Allgemeines:
Widerstandstransformationen:
U
I
•
Spannungsquelle:
Ri =
•
Spannungsteiler:
U 1 R1
=
U 2 R2
•
Stromteiler:
I1
R2
=
I ges R1R 2
I K=
Uq
Ri
U kl =U q−U R
•
i
Der Teilstrom verhält sich zum
Gesamtstrom wie der nicht vom
Teilstrom durchflossene Widerstand
zum Ringwiderstand der Masche.
•
Wirkungsgrad:
•
Kräfte:
Lorentzkraft

F Lorentz =Q⋅v × B
•
zw. 2 Ladungen
F el =
Q 1⋅Q 2
4 0 r⋅r Q Q
1
•
Ampèresches Kraftgesetz
R10 =
•
P
= ab
P zu
•
Dreieck – Stern – Transformation:
R12 R31
R12 R 23 R31
R 20 =
R12 R 23
R12 R 23R31
R30 =
R 23 R31
R12 R 23R31
G 20 G 30
G 10G 20 G 30
G 31=
Stern – Dreieck – Transformation:
2

F Amp= I⋅ l × B

dF Lorentz =dQ⋅v × 
B= I dt⋅v × B
 B=d
 I⋅ dl×

=I⋅v dt× B=
F Amp
G 12=
G 10 G 20
G 10G 20 G 30
G 23=
G 30 G 10
G 10G 20G 30
R10 R 20
R10R 20
R30
R R
R R
R 23= 20 30 R 20 R30
R31 = 30 10 R30 R10
R10
R 20
R12=
Zweipoltheorie:
•
Reihenschaltung:
n
Rers =∑ R k
k =1
•
Knotenspannungsanalyse:
1) Festlegen eines Bezugsknotens (0-Knoten) und Nummerierung der verbleibenden
Knoten. Einzeichnen der Knotenspannungen von den verbleibenden Knoten zum
Bezugsknoten. Einzeichnen von Strömen in den jeweiligen Zweeigen zwischen 2 Knoten
angenommene Richtungen.
−∑ I n
2) Aufstellen der Knotengleichungen 0=∑ I n
, wobei das Vorzeichen
n
U q ers =∑ U q vorzeichen
k=1
n
hinfließend
n
wegfließend
zwischen hin- und wegfließenden Strom vertauscht werden kann, aber innerhalb der
Schaltung einheitlich sein muss. Es gibt: ∑ Knotengleichungen=∑ Knoten−1
unabhängige Gleichungen.
3) Aufstellen der Stromgleichungen (Ströme In für jede Masche)
 Es gibt ∑ verschiedene Ströme I k
k
Parallelschaltung:
k
 Drehrichtung darf sich innerhalb einer Schaltung unterscheiden
 Die Drehrichtung beim Aufstellen einer Gleichung innerhalb der Masche ist
beizubehalten.
 2 Möglichkeiten des Aufstellens:
n
R ers =∑
k=1
•
1
Rk
∑
n
U q ers =
k =1
U q vorzeichen
k
Rk
∑ R ⋅I
1. 0=

k
k Reihe
nVorzeichen
∑ U qk
k
Vorzeichen
k
•
•
R ers= R1 ∥  R 2 R3  ∥  R 4R5  R 6

1
R ers=
1
1
1


R1  R 2R3   R 4 R5 

U q ers =


∑ U Knoten k
k
Vorzeichen
mit folgenden Vorzeichen:
Strom Ik in Drehrichtung:
+
Quellspannung Uk in Drehrichtung:
+
Knotenspannungen Uknoten k in Drehrichtung: +
2. Die bessere Möglichkeit, da das Umstellen der 1. Variante in diese Form entfällt,
ist:
∑ U q k ∑ U Knoten k
k
I n= k
mit folgenden Vorzeichen:
∑ Rk
•
•
•
⋅R ers
Beispiel:
•
Vorzeichen
4)
5)
R6
6)
7)
Reihe
Quellspannung Uq entgegen Flussrichtung von I:
+
Knotenspannungen Uknoten k entgegen Flussrichtung von I: +
Einsetzen der Stromgleichungen in die Knotengleichungen
Umstellen des Gleichungssystems, sodass auf der einen Seite des Gleichungssystems die
Quellspannungen Uq mit ihren Widerständen und auf der anderen Seite die
Knotenspannungen Uknoten k mit ihren Widerständen als Parameter stehen. Es entsteht eine
Gleichung mit Matrizen der folgenden Form:
1
1
1
1
U q 1⋅∑ ⋯U q n⋅∑
⋯
U Knoten 1 ∑ R ∑ R
R
R
=
⋮
⋱
⋮
⋮ ⋱ ⋮ ,
⋮
1
1
U Knoten n
U q 1⋅∑ ⋯U q n⋅∑
∑ R1 ⋯∑ R1
R
R
wobei die letzte Matrix eine n×n - Matrix ist
Lösen des entstandenen Gleichungssystems für die Knotenspannungen Uknoten n
Errechnen der Ströme anhand der Stromgleichungen
•
•

U q1
U q2

⋅ R ers −R6 
R1 R 4 R5
Vorzeichen
   
•
Knotenspannungsanalyse - Beispiel
Induktivität, gegenseitige Induktivität und Induktion:
•
•
Definition:
Eine Größe G XY ist definiert mit:
X als Wirkung und
Y als Ursache
•
Induktivität L:
L11=
d 11 N 1⋅d 11
=
di 1
di 1
Die Berechnungen erfolgen wie im
elektrischen Strömungsfeld:
11 =
11
=
Rm
ers
•
•
•
•
 I : 0=I 1I 2− I 4−I 5
−U 10U q1
R1
U q2−U 10U 20
I 2=
R2
I 1=
 II : 0=−I 2I 3 I 5−I 6
−U 20U q2
R3
U 10
I 4=
R4
I 3=
L11=
−U 20 U 10
R5
U 20
I 6=
R6 R7
I 5=
U 10 U q1 U q2 U 10 U 20 U 10 U 20 U 10


−

−

−
R1
R1
R2
R2
R2
R4
R5
R5
U q2 U 10 U 20 U 20 U q3 U 20 U 10
U 20
 II : 0=−

−
−

−

−
R2
R2
R2
R3
R3
R5
R5 R6 R7
  
U q1 U q2
1
1
1
1
−
− − − −
R1
R 2 = U 10
R 1 R 2 R 4 R5
U q2 U q3
U 20
1
1

−
R5 R 2
R2
R3
 
1
1

R 2 R5
1
1
1
1
− − − −
R 2 R3 R5 R6R 7
N 1⋅d 11
=
di 1
Die Berechnung für
N 12
N 2
= 1
R R
Rm
R m1 m2 m3
R m2R m3
ers
L22 erfolgt analog:
2
 I : 0=−
−
N 1⋅i 1
R R
R m1 m2 m3
R m2 R m3
L 22=
N2
N
= 2
R R
Rm
R m2 m1 m3
R m1R m3
2
ers

•
gegenseitige Induktivität:
L12= L21 =
d 12 N 1⋅d 12
N 1 N 2 R m3
=
=
di 2
di 2
R m1 R m2 R 2 R m3R m1R m3
Transformator:
•
Idealer Transformator:
Transformatorgleichung
N 1 i 1 – N 2 i 2=0=0
Durchflutungsgleichgewicht:
N 1 i 1 – N 2 i 2=0=0
Leistungsübersetzung:
P 1=u1 i 1=P 2=u 2 i 2
Widerstandsübersetzung:
 
2
R1
N
= 1 =ü 2
R2
N2
Spannungsübersetzung:
U1 N1
= =ü
U2 N2
Stromübersetzung:
I1 N2 1
= =
I2 N1 ü
•
Realer Transformator:
Beweise:
•
L12=
gegenseitige Induktivität
Beweisführung für L12 =L 21
Analog zur Stromteilerregel gilt:
12 =
R m3

R m1R m3 22
N2I2
N 1 N 2 R m3
=
R R
R m1 R m2R 2 R m3R m1R m3
R m2  m1 m3
R m1R m3
Analog hierzu erhält man:
L21 =
d  12 N 1⋅d 12 N 1
R m3
L12=
=
= ⋅

di 2
di 2
di 2 R m1R m3 22
Analog dem elektrischen Strömugsfeld gild für den Fluß:
N1
R m3
⋅
di 2 R m1R m3
22=
N2I2
R R
R m2  m1 m3
R m1R m3
d  21 N 2⋅d 21
N 1 N 2 R m3
=
=
= L12
di 1
di 1
R m1 R m2 R 2 R m3R m1R m3