Elektrodynamik, Klausur FS16

Elektrodynamik
Klausur FS16
ETH/Uni Zürich, FS16
Prof. N. Beisert
29. 08. 2016
Bitte Name umseitig eintragen!
Aufgabe
Wert
1
2
3
4
5
Summe
15
20
20
24
21
100
Korr. 1
Korr. 2
Note:
Punkte
Information:
• Diese Klausur besteht aus 5 Aufgaben und 7 nummerierten Seiten (inkl. dieses Deckblatts); bitte stellen Sie jetzt sicher, dass Sie ein komplettes Exemplar erhalten haben.
• Alle Aufgaben können versucht werden; die Gesamtpunktzahl beträgt 100.
• Zugelassene Hilfsmittel: ein handgeschriebenes, beidseitig beschriebenes A4-Blatt.
• Die Klausur dauert 3 Stunden / 180 Minuten; ca. 09:00 – 12:00.
Anweisungen:
• Bitte tragen Sie jetzt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer auf der Rückseite dieses
Blatts ein und unterschreiben Sie die Klausur.
• Bitte bearbeiten Sie die einzelnen Aufgaben auf getrennten Blättern; verwenden Sie
nicht die Aufgabenblätter der Klausur!
• Bitte beschriften Sie jedes Blatt mit: Matrikelnummer, Aufgabennummer und Seitennummer; schreiben Sie nicht Ihren Namen!
• Bitte schreiben Sie mit einem permanenten Stift in schwarzer oder blauer Farbe; benutzen Sie nicht Bleistift, rote oder grüne Farbe!
• Nehmen Sie elektromagnetische Felder im Vakuum an (ε = ε0 , µ = µ0 ), es sei denn, die
Aufgabe spezifiziert explizit die Anwesenheit von Materie.
• Wenn Sie Konventionen/Notationen abweichend von der Vorlesung benutzen: Beschreiben Sie diese bitte je Aufgabe, und folgen Sie ihnen während dieser Aufgabe.
• Falls Sie Annahmen machen müssen, so kennzeichnen Sie diese bitte deutlich; z.B. falls
Ihnen Zwischenergebnisse oder benötige Relationen fehlen.
1
Elektrodynamik – Klausur FS16
Name:
Matrikelnummer:
ETH
Unterschrift:
2
UZH 1. Kurzfragen (15 Punkte)
Für die Kurzfragen genügt jeweils eine knappe Antwort ohne ausführliche Herleitungen
(falls nicht ausdrücklich verlangt).
a) Leiten Sie die Kontinuitätsgleichung ausgehend von den inhomogenen Maxwell-Gleichungen her. (2 Punkte)
Hinweis: Die Lösung ist einfacher im kovarianten Formalismus.
b) Zeigen Sie, dass magnetostatische Felder keine Arbeit an Punktteilchen verrichten.
(2 Punkte)
c) Betrachten Sie einen flachen Ring mit inneren und äusseren Radien a und b. Er trägt
eine homogene Flächenladungsdichte σ, und er rotiert mit Winkelgeschwindigkeit ω
~ im Zentrum des
um seine Symmetrieachse. Berechnen Sie das magnetische Feld B
Rings. (3 Punkte)
d) Ein langer, dünner und gerader Draht, der die Ladung je Länge λ trägt, wird im
Abstand d parallel zu einer geerdeten Ebene aufgestellt. Bestimmen sie Grösse und
Richtung der Kraft je Länge auf den Draht. (2 Punkte)
e) Betrachten Sie die Grenzfläche zwischen zwei verschiedenen Materialien. Leiten Sie,
ausgehend von den Maxwell-Gleichungen in Abwesenheit von freien Strömen, ~free = 0,
~ und H
~ her. (4 Punkte)
die Randbedingungen der Felder B
f ) Eine leitende Kugel mit Radius R und Ladung Q ist mit einer dielektrischen Schicht
der homogenen Dicke d und relativer Dielektrizitätskonstante εr bedeckt. Berechnen
~
~
Sie das elektrische Feld E(x)
und die dielektrische Verschiebung D(x)
im Inneren der
Schicht. (2 Punkte)
3
2. Strahlung eines oszillierenden Dipols (20 Punkte)
Betrachten Sie zwei kleine metallische Kugeln an den Orten ±d~ez = (0, 0, ±d), die
zeitabhängige Ladungen ±Q(t) tragen. Sie sind durch einen dünnen Draht verbunden,
der einen homogenen zeitabhängigen Strom I(t) von −d~ez nach +d~ez trägt.
a) Schreiben Sie einen Ausdruck für die Ladungsdichte ρ(~x, t) und die Stromdichte ~(~x, t)
auf. Leiten Sie eine Beziehung zwischen Q(t) und I(t) her. (4 Punkte)
Im Folgenden sollen die von der Quelle emittierten elektromagnetischen Felder an einem
Punkt ~x zur Zeit t berechnet werden.
b) Betrachten Sie einen Punkt ζ~ez = (0, 0, ζ) auf dem Draht. Definieren Sie die retardierte Zeit s für diesen Punkt, und finden Sie einen Ausdruck für s(ζ, ~x, t). (2 Punkte)
c) Schreiben Sie einen exakten Ausdruck für das retardierte skalare Potential in LorenzEichung auf. (2 Punkte)
d) Nehmen Sie nun an, dass die Quelle harmonisch oszilliert,
Q(t) = Re Q0 e−ı̊ωt ,
I(t) = Re I0 e−ı̊ωt ,
(1)
und dass ~x sich in grosser Entfernung in der Strahlungszone befindet. Entwickeln Sie
s(ζ, ~x, t) bis zum Term linear in ζ einschliesslich. Zeigen Sie, dass das Vektorpotential
durch folgenden Ausdruck angenähert wird
Z +d
µ0~ez I0 ı̊kr−ı̊ωt−ı̊kζ cos ϑ
~ x, t) = Re
dζ
e
+ ...,
(2)
A(~
4πr
−d
wobei k := ω/c die Wellenzahl ist und (r, ϑ, ϕ) die Kugelkoordinaten bezeichnen.
Werten Sie schliesslich das Integral aus. (6 Punkte)
Hinweis: Das exakte Vektorpotential in Lorenz-Eichung lautet
Z +d
µ
e
x
,
t)
0~
z I s(ζ, ~
~ x, t) =
.
dζ
A(~
4π ~x − ζ~ez −d
~ der allgemeinen Form
e) Ausgehend von einem Vektorpotential A
~ x, t) = Re A0 (~x) eı̊kr−ı̊ωt ~ez ,
A(~
(3)
(4)
~ und E
~ in der Strahlungszone. Dann
berechnen Sie die elektromagnetischen Felder B
~ im zeitlichen Mittel. (6 Punkte)
bestimmen Sie die Energieflussdichte S
~ ≈ ı̊k~n (innerhalb des
Hinweis: In der Strahlungszone dürfen Sie die Näherung ∇
~ = −c~n × B
~ ausnutzen, wobei ~n = ~er .
Realteils) annehmen, und die Beziehung E
4
3. Felder in verschiedenen Bezugsystemen (20 Punkte)
Betrachten Sie zwei unendlich ausgedehnte Platten, die in den Ebenen bei z = 0 und
z = d liegen. Zu Beginn befinden sich beide Platten in Ruhe. Die obere Platte bei z = d
hat eine Flächenladungsdichte von σ1 , für die untere bei z = 0 beträgt sie σ2 .
z
(5)
y
σ1
z=d
x
σ2
z=0
~ und B
~ in allen Raumbereichen.
a) Berechnen Sie das elektrische und magnetische Feld E
(2 Punkte)
Das elektrische Feld soll nun in den Bereichen ausserhalb der Platten zum Verschwinden
gebracht werden. Dazu wird die untere Platte entlang der y-Richtung beschleunigt, so
dass sie sich schliesslich mit konstanter (relativistischer) Geschwindigkeit ~v = v~ey bewegt.
z
y
x
σ1
z=d
~v
(6)
σ3
z=0
b) Wie gross ist die beobachtete Ladungsdichte σ3 der unteren Platte für eine beliebige
Geschwindigkeit v? Wie lautet die Stromdichte ~(~x ) inklusive aller delta-Funktionen?
(3 Punkte)
c) Für welchen Wert von v verschwindet das elektrische Feld in den Bereichen ausserhalb
der Platten (z < 0 and z > d)? Unter welchen Bedingungen an Vorzeichen und Betrag
von σ1 und σ2 ist dies möglich? (2 Punkte)
d) Bestimmen Sie das elektrische Feld zwischen den Platten und das magnetische Feld
in allen Regionen des Raums in der Situation von Teil c). (3 Punkte)
Bislang haben Sie das Ruhesystem O der oberen Platte bei z = d untersucht. Im Folgenden
wird die Situation von Teil c) in anderen Intertialsystemen betrachtet.
e) Finden Sie das elektrische und magnetische Feld im Ruhesystem O0 der unteren Platte
bei z = 0 indem Sie ein Lorentz-Boost auf die Felder in O anwenden. (4 Punkte)
f ) Gibt es ein Inertialsystem O00 , in dem das magnetische Feld ausserhalb der Platten (im
Bereich z > d oder z < 0) verschwindet? Falls ja, wie lautet die Relativgeschwindigkeit
~u = u~ey bezüglich des Inertialsystems O? Begründen Sie Ihre Antwort. (3 Punkte)
g) Gibt es ein Inertialsystem O000 , in dem das magnetische Feld im Bereich zwischen den
Platten (0 < z < d) verschwindet? Falls ja, wie lautet die Relativgeschwindigkeit
~u = u~ey bezüglich des Inertialsystems O? Begründen Sie Ihre Antwort. (3 Punkte)
5
4. Zylindrisches Randwertproblem (24 Punkte)
Betrachten Sie ein kompaktes zylindrisches Gebiet, welches an der z-Achse ausgerichtet
ist. Auf der oberen Kappe bei z = L wird ein vorgegebenes Potential V (r, ϕ) angelegt,
während der Mantel bei r = R und die Bodenfläche bei z = 0 geerdet sind. In dieser
Aufgabe soll das elektrostatische Potential im Inneren des Zylinders berechnet werden.
a) Benutzen Sie Trennung der Variablen in zylindrischen Koordinaten um die LaplaceGleichung zu lösen. Leiten Sie Differentialgleichungen für die Winkel- und longitudinalen Abhängigkeiten her und finden Sie ihre allgemeinen Lösungen. Zeigen Sie, dass
der radiale Teil F (r) die Bessel-Gleichung erfüllt (mit gewissen Konstanten m und k)
m2
1 0
2
00
(7)
F + F + k − 2 F = 0.
r
r
Die Lösung dieser Gleichung ist nicht gefragt; hier sind es die Bessel-Funktionen Jm :
F (r) ∝ Jm (kr),
m ≥ 0.
(8)
Spezialfälle wie m = 0 oder k = 0 sollen nicht untersucht werden. (8 Punkte)
Hinweis: Der Laplace-Operator in zylindrischen Koordinaten (r, ϕ, z) lautet
∆=
∂2
1 ∂
1 ∂2
∂2
+
+
+
.
∂r2 r ∂r r2 ∂ϕ2 ∂z 2
(9)
b) Zeigen Sie, dass die allgemeine Lösung für Φ(r, ϕ, z) innerhalb des Zylinders aufgrund
der geerdeten Randbedingungen die folgende Form hat (die Konstanten Am,n und
Bm,n werden später festgelegt)
Φ(r, ϕ, z) =
∞ X
∞
X
Am,n sin(mϕ) + Bm,n cos(mϕ) sinh(km,n z) Jm (km,n r),
(10)
m=0 n=1
wobei km,n = xm,n /R mit xm,n der n-ten Nullstelle der Funktion Jm (x). (4 Punkte)
c) Die Bessel-Funktionen sind auf dem Intervall 0 ≤ r ≤ R wie folgt orthogonal:
Z
0
R
2
dr r Jm (km,n r) Jm (km,n0 r) = 21 R2 Jm+1 (xm,n ) δn,n0 .
(11)
Zeigen Sie die Orthogonalitätsrelation nur für n 6= n0 . (6 Punkte)
Hinweis: Multiplizieren Sie die Bessel-Gleichung (7) mit r Jm (km,n0 r) und integrieren
Sie von 0 bis R. Dann verwenden Sie partielle Integration, um die zweite Ableitung
zu eliminieren. Schliesslich können Sie die Orthogonalität begründen. Verwenden Sie
die Abkürzung Fm,n (r) = Jm (km,n r).
d) Bestimmen Sie die Koeffizienten Am,n und Bm,n mit m 6= 0 der Entwicklung des Potentials aufgrund der Randbedingungen auf der Zylinderkappe unter Verwendung der
Orthogonalitätsrelationen der Bessel- und trigonometrischen Funktionen. (6 Punkte)
6
5. Wellenausbreitung mit freien Elektronen (21 Punkte)
Eine monochromatische elektromagnetische Welle mit Kreisfrequenz ω breitet sich in einem homogenen Medium aus, welches nicht-relativistische freie Elektronen mit Masse me
und Ladung qe = −e besitzt. Die Dichte der Elektronen ist homogen und konstant ne , und
es gibt einen fixen Hintergrund positiver Ladungen, so dass die Gesamtladungsdichte Null
beträgt. Die Wechselwirkungen zwischen den Elektronen sollen vernachlässigt werden.
a) Betrachten Sie zunächst die elektromagnetische Kraft auf ein Elektron. Zeigen Sie,
dass aufgrund allgemeiner Eigenschaften elektromagnetischer Wellen die Wirkung des
magnetischen Feldes vernachlässigt werden kann. (2 Punkte)
b) Zeigen Sie dann, dass die von der Welle induzierte Stromdichte lautet:
ωp2
~
~ = −ε0 2 ∂t E.
ω
(12)
Bestimmen Sie die Konstante ωp anhand von ne , me und e. (5 Punkte)
c) Ausgehend von den Maxwell-Gleichungen (im Vakuum, mit Quelltermen), zeigen Sie
explizit, dass eine monochromatische ebene Welle in diesem Medium die folgende Wellengleichung mit einem frequenzabhängigen Geschwindigkeitsparameter u(ω) erfüllt
(6 Punkte)
c
1 2 ~
with
u(ω) = q
(13)
∆ − 2 ∂t E(x, t) = 0
.
u
2
2
1 − ωp ω
~ betrachten.
Hinweis: Alternativ dürfen Sie eine analoge Wellengleichung für B
d) Was ist die Bedeutung der Geschwindigkeit u? Beschreiben Sie eine zweite charakteristische Geschwindigkeitsgrösse v der Welle. In welcher qualitativen Beziehung stehen
u und v zur Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c? (4 Punkte)
e) Unter welcher Bedingung kann sich die Welle ungedämpft im Medium ausbreiten?
Drücken Sie Ihre Antwort als Schranke für die Dichte ne aus. (4 Punkte)
7