Ü-Edynamik_2 - TU Bergakademie Freiberg

Theoretische Physik
2. Übungsblatt - Elektrodynamik
20. Juni 2007
Poisson-Gleichung − Dipol − Quadrupol −
Dipolmomente im externen Feld −
x
y
z
1. Bestimmen Sie für die Ladungsverteilung ρ(~r) = ρ0 sin · sin · sin
a
b
c
~ r)!
das elektrostatische Potential U (~r) und die Feldstärke E(~
(Hinweis: Berechnen Sie ∆ρ, und vergleichen Sie mit der Poisson-Gleichung!)
2. Wie groß ist die sogenannte Bildkraft F~ auf eine elektrische Ladung Q, die sich
in einer rechtwinkligen metallischen Ecke im Abstand a vor der einen und im
Abstand 2a vor der anderen Wand befindet (Betrag, Richtung)?
3. An den Eckpunkten eines gleichseitigen Dreiecks (Seitenlänge a = 1µm) befinden sich drei Ladungen: 2Q bei (0, h),−Q bei (− a2 , 0) und −Q bei ( a2 , 0).
Dabei habe Q einen Wert von 10 Elementarladungen
(1.6·10−19 As). Bestimmen Sie das Dipolmoment dieser
Konfiguration, sowie die Kraft auf die große Ladung
(2Q) nach Betrag und Richtung.
(ε0 = 8.86 · 10−12 Asm−1 )
4. Bestimmen Sie die Komponenten des Quadrupolmomententensors
Qij =
X
h
qα 3 xαi xαj − rα2 δij
i
(α = Nummer der Ladungen)
α
- für den linearen Quadrupol mit Ladungen 2q im Nullpunkt (0 0 0) und −q
jeweils bei (0 0 a) und (0 0 − a)!
- für den quadratischen Quadrupol mit Ladungen q wechselnden Vorzeichens
auf den Ecken eines Quadrates der Kantenlänge a!
5. Für die Wechselwirkungsenergie zweier Dipole p~1 und p~2 im Abstand ~r folgt mit
der elektrischen Feldstärke eines Dipols
"
p~
3(~r · p~)~r
~ p~ (~r) = 1
− 3
E
5
4πε0
r
r
#
"
~ p~2
Wp~1 p~2 = −~p1 ·E
p~1 · p~2 3(~r · p~1 )(~r · p~2 )
1
−
=
4πε0
r3
r5
Die Wechselwirkungsenergie hängt vom Abstand und von der Orientierung der
Dipole ab. Berechnen Sie Wp~1 p~2 wenn |~p1 | = |~p2 | = p und ihr Abstand a beträgt
die Orientierungsfälle:
a) ← →
b) ↑ ↓
c) ↑ ↑
d) → →
6. Die Wechselwirkungsenergie zweier magnetischer Momente (Dipole) m
~ 1 und m
~2
im Abstand ~r berechnet sich entsprechend:
"
Wm
~ 1m
~2
#
µ0 m
~1·m
~ 2 3(~r · m
~ 1 )(~r · m
~ 2)
=
−
!
3
5
4π
r
r
Bestimmen Sie die Gesamtenergie dreier Momente vom gleichen Betrag m, die
sich an den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks der Seitenlänge a befinden (Abb.)!
Wie ändert sich diese Energie, wenn die magnetischen Momente im Uhrzeigersinn
mit ”Blickrichtung” parallel zur angrenzenden Seite zeigen oder alle zum Mittelpunkt des Dreiecks gerichtet sind? Welche Konfiguration ist am stabilsten?
7. Welcher Strom müßte um den Äquator fließen, damit das magnetische Moment
der Erde mE = 7.25 · 1022 Am2 entsteht?
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